抛物线的几何性质精编版

1、抛 物 线一、抛物线y22 px ( p0) 的简单几何性质1、范围：因为 p0，由方程 y22 px 可知，这条抛物线上任意一点M 的坐标x, y满足不等式 x0 ，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，y 也增大，这说明抛物线向上方和右下方无限延伸，它的开口向右.2、对称性： 以y 代 y ，方程 y22 px ( p0) 不变，因此这条抛物线是以x 轴为对称轴的轴对称图形 .抛物线的对称轴叫作 抛物线的轴3、顶点： 抛物线和它的轴的焦点叫作抛物线的顶点 .在方程 y22 px ( p0) 中，当y 0时， x 0 ，因此这条抛物线的顶点就是坐标原点 .4、离心率： 抛物线上的点

2、到焦点的距离与到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率，用 e 表示 .按照抛物线的定义，e1知识剖析：抛物线的通径：过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线与抛物线交于点M 1 , M 2 ，线段 M 1 M 2 叫作抛物线的通径，将 x0p 代入 y22 px 得 yp ，故抛物线 y22px 的通径长2为 2 p例 1、已知点 Mx, y 在抛物线 y28x 上，则 fx, yx2y212x9 的取值范围？分析：本题的实质是将 fx, y转化为关于 x 的二次函数，求二次函数在区间 0,上的最值 .f x, yx28x12x 9x25 ，又 x 0,，所以当 x0 时， fx, y取得最小值 9，2

3、当 x0,时， f x, yx25，无最大值 .故 fx, yx2y 212x9的取值范围为29,答案： 9,1二、抛物线的四种标准方程相应的几何性质：y22 pxy22 pxx22 pyx22 py标准方程( p0)( p0)( p0)( p0)yyyylllOxFO FxF OxFx图Ol像范围x 轴x 轴y 轴y 轴对称轴x0, y Rx0, y Ry 0, xRy 0, xR焦点坐标p(p0)p(0p)(，(0，)，20)2，22准线方程xpxpypyp2222顶点坐标O 0,0离心率e 1通径长2 p知识剖析：（ 1）通过上表可知， 四种形式的抛物线的顶点相同， 均为 O 0,0 ，

4、离心率均为 1，它们都是轴对称图形，但是对称轴不同 .（2）抛物线和椭圆、双曲线的几何性质的差异：它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形，抛物线不是中心对称图形；顶点个数不同：椭圆有 4 个顶点、双曲线有 2 个顶点、抛物线只有 1 个顶点；焦点个数不同：椭圆和双曲线各有 2 个焦点，抛物线只有 1 个焦点；离心率的取值范围不同： 椭圆的离心率的取值范围是0e1 ，双曲线离心率的取值范围是e 1，抛物线的离心率是 e 1 ；椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线，由于抛物线没有渐近线，因此在画抛物线时切忌将其画成双曲线2例

5、2、某抛物线的顶点是椭圆16x29y2144 的中心，而焦点为椭圆的左顶点，求此抛物线的标准方程 .分析： 因为该椭圆的中心在坐标原点，左顶点为3,0 ，所以可直接设抛物线的标准方程，求得 p 后可得方程 .答案：解： 由 16x29 y2144 得： y2x21，所以椭圆的左顶点为3,0 .由题意设所求抛169物线的标准方程为y22 px p 0，由 p3 ，得 p 6 ，故所求抛物线的标准方程为2y212 x .三、焦点弦问题及其应用1、焦点弦如图， AB 是抛物线 y22px p0过焦点 F 的一条弦 .设点 A x1 , y1, B x2 , y2，线段 AB 的中点为M x0 , y

6、0，过 A,B, M分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为A1 , B1, M 1 ，则根据抛物线的定义有 AFBFAA1 BB1 .又 MM 1 是梯形 AA1B1 B 的中位线，ABAA1BB12MM1.综上可得以下结论： AF x1px2pABx1ppx1 x2 p ，其常被称作抛物线的焦, BF,x22222点弦长公式 .AB 2x0 p （焦点弦长与中点的关系）2若直线 AB 的倾斜角为，则 AB2 psin2推导： ABAFBFx1x2 p由的推导知，当 AB 不垂直于 x 轴时， y1 y22 p k0k3x1y1p y2p y1y2p2 ppx22 k2kk 2kAB2 p112

7、 p2pk22 p2sin2tan当 k 不存在时，即90 时， AB2 p亦成立sin 2 A、 B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1x2p2， y1 y2p24分析：利用点斜式写出直线 AB 的方程，与抛物线方程联立后进行证明. 要注意直线斜率不存在的情况 .推导：焦点 F的坐标为p ,0，当 AB 不垂直于 x 轴时， 可设直线AB 的方程为：2pyk xpy kxk 0，由2 ，得： ky22 pykp202y22 pxy12 y222p4p2y1 y2p2, x1x2y1 y22 p 2 p4 p24 p24当 AB 垂直于 x 轴时，直线 AB 的方程为： xp2则 y1

8、p, y2py1 y2p2 , x1x2y12y22p22p2 p4 11为定值 2AFBFp推导： 由焦半径公式知，AFx1p , BFx2p221111x1x2p2AFBFx1ppp x1px1 x2x2x222242AB又 x1x2p , x1 x2ABp ，代入上式得：112 为常数p2pp24AFBFpp4AB42故 11为定值 2.AFBFp42、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质（1）抛物线以过焦点的弦为直径的圆和准线相切（2）抛物线 y22 px p0 中，设 AB 为焦点弦， M 为准线与 x 轴的交点，则AMFBMF（3）设 AB 为抛物线的焦点弦 . 点 A、 B

9、在准线上的射影分别为点 A1、 B1 ，若 P 为 A1B1 的中点，则 PA PB ； O 为抛物线的顶点，若 AO 的延长线交准线于点 C ，连接 BC ，则 BC 平行于 x 轴，反之，若过点 B 作平行于 x 轴的直线交准线于点 C ，则 A, O ,C 三点共线 .（4）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦.例 3、已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴， 经过焦点且倾斜角为的直线，被抛物线所4截得的弦长为 6，求抛物线方程 .解：当抛物线的焦点在 x 轴正半轴上时，可设抛物线的标准方程为 y22 px p0 ，则焦点 F的坐标为p ,0，直线 l 的方程为 yxp .设直线 l

10、 与抛物线的交点为 Ax1, y1, B x2 , y2 ，过22点 A, B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A1、 B1 ，则有：AB AF BFAA1 + BB1= x1ppx1x2p 6 ，2x22yxp2p22 ，消去 y ，得 xp2 px ，即 x20由3 pxy22 px24x1 x23p ，代入式得：3pp6,3p2所求抛物线的标准方程为y23x当抛物线的焦点在 x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是：y23x例 4、已知抛物线 y22 pxp0的焦点为 F ，点 P1x1 , y1 、P2 x2 , y2、P3x3 , y3在抛物线上，且 2x2x1x3 ，则有（）A. FP1FP2FP3B. FP1222FP2FP3C.2 FP2FP1FP3D. FP22FP1FP35P