《数学分析》第三章函数极限

1、第三章函数极限(计划课时：1 4时)P4268§ 1 函数极限概念(4时)一、XT 0c时函数的极限：一 .1 -1 .以xt十如时f (x)= 和g(x) =arctgx为例引入. Xa).2 .介绍符号：XT +8,XT +8, XT+8的意义，lim f(x)的直观意义.3 .函数极限的“名一M” 定义(lim f(x) = A,lim f (x) = A,lim f (x)= X j 二X j 一二X j二4 .几何意义：介绍邻域 U(+8)=xM ,U (g) = xx< M , U(oo)= <X x > M >其中M为充分大的正数.然后用这些邻域

2、语言介绍几何意义.5 .函数在00与+00 ,00极限的关系：Th1 f (二)=A= f (-二)=f (二)=A.例1 验证liml=0.X X证明格式： Vs > 0 (不妨设 0 < 6 <口)(不妨设x > 口或X > , X <)要使f (x) A =必袜册加条件逐次放大不等式V8 ,只须 X > ( XT g)或 X口(XT +妙)，X < (XT -00)于是 V 8 >0；M=Da0,当 XAM (或 xM,x<M)皮 - <£.=口).根据函数极限的“8一m ”定义知!劈口二匚(或四* = ,理毛例

3、2 验证：1)71J取a2gx =-； 2)limarctgx =-,r 入2x2 x例 3 验证 lim2X X=2.x2 -22x2 x -2 2x2 -2x 4x2 -2lx3 I x +4 lx>4 2 x£ w x -2 x4x-6 .的正值性，任意性与确定性，6以小为贵7 . M的存在性与非唯一性，对M只要求存在，在乎其大的一面xt x0时函数f(x)的极限:2x + 1, x=2, 1.由x = 2.考虑xt 2时的极限引入2 .函数极限的“ -6”定义.3 .几何意义.4 .用定义验证函数极限的基本思路例4 验证lim C =C. x 沟例5 验证limx=x0

4、.X%12532验证x -3x 3x -9lim ；X 3 2x2 -7x 3证由x #3,x3 -3x2 3x-9 1222x2 -7x 352(x2 3) (x - 3) 12(2x -1)(x -3)5x2 +3 12|5x-9|x-3|5x-9|x-32x-1 552x-1 一|2x-1为使 5x9 =5x15+6 W5x3+6W11,需有 x-3 <1;为使 2x1| = 2x6+5 之52x3 >1,需有 x-3 <2.于是，倘限制0< x-3 <1 ,就有32x -3x 3x-9 122x2 -7x 35<|5x_9x_3一 |2x-1<

5、1l|x-3一 1=11x -3证明格式：V® >0 (不妨设 0 <君<)(不妨设x -x0 <口或x-x0 >, x -x0 <, 则口 <x <)要使f (x) A =丽上附加条件逐次放大不等式V8 ,只须 x -Xo <D(XT Xo)或 0<X Xo<D(XT Xo+0), 0 < Xo - x < (X T X0 - 0 ).于是 /ea0,三 6 = 口>0,当 0<XX0<6 (或 0<X X0<6,0 < x0 x < 6 )时，有：- 名.根据函

6、数极限的“66”定义知lim 口 = 口(或lim 口 二 口， lim 口 二 口). xxx )x)0x )X0 -0例 7 验证 lim %1 x2 = Jl x2,( X0 <1).x-Xc例 8 验证 l i msi 灰=si rx0.(类似有 lim cosx = cosx0.)x )X0x K05. 的正值性，任意性与确定性，6以小为贵.6. 6的存在性与非唯一性，对6只要求存在，在乎其小的一面.7. lim f (x) = A存在并不意味着f (x)在X。有定义，即就是有定义也并不意味着 X 典0A = f (%)(如例 6).例 9 证明 lim ax =1 (a &g

7、t;1).x0三.单侧极限：1 .定义：单侧极限的定义及记法.2 .几何意义：介绍半邻域 U十(a,6)=x0Wxa<6, U_(a,6)= (a-6,a00J 4(a, 6) = (a , a + 6), Ua,Q = (a a).然后介绍 lim f(x)等的几何意义.X )X0例 9 验证 lim V1 -x2 =0.X-1 -;2证考虑使 £1X2<82的6.3 .单侧极限与双侧极限的关系：Th2 lim f (x) = A = f (X0 0) = f (X0 - 0) = A. X )X0例10证明：极限x不存在.例11 设函数f(x)在点x0的某邻域内单调.

8、若lim f(x)存在，则有lim f(x)=f(x0).x >x0x_x0EX1P47 17.§ 2函数极限的性质(2时)我们引进了六种极限：lim f(x), lim f (x), limf(x), limf(x),x j 二x j 一二x J： ：x )xof(x0+0), f (x0 -0).以下以极限lim f(x)为例讨论性质.均给出证明或简证.x-xo一.函数极限的性质：以下性质均以定理形式给出.1 .唯一性：2 .局部有界性：3 .局部保号性：4 .单调性(不等式性质)： 0Th 4若lim f(x)和lim g(x楮B存在，且存在点x0的空心邻域U(x0,6)

9、,使 x_K0x_K00Vx 亡 U(x0, 6 )都有 f (x) <g(x), = lim f (x) < lim g(x). x >x0x )x0证 设 lim f (x)= A, lim g(x) = B.(现证对 卡名 >0,有 a<B+2a.) xx0x )x0、0一；0, T ；0, 一x (x0,、)，= A -；二 f (x)工 g(x) : B ；, = A ： B 2 ；.：若在Th 4的条件中，改“ f(x)Mg(x)”为“ f (x) <g(x)"，未必就有A<B.以2f(x)=1+x , g(x) =1, x0=0

10、 举例说明.5 .迫敛性(双逼原理)：例 1 求 lim x.| !6 .四则运算性质：(只证“ +”和“父”)Ex 1 P515 7.利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限:limC=C, limx=x0, lim sinx = sin x0,limcosx = cosx0;XX0x_x0x 凶x >x01lim 一 =0, lim arctgx = 土一.（汪息刖四个极限中极限就是函数值）xxx .2这些极限可作为公式用.通过有关性质，把所求极限化为基本极限，代入基本极限的值 即计算得所求极限.22例 1 lim (xtgx-1).(利用极限limsinx=sin =和limcos

11、x =.)x > x42x247?/ 131例 2 lim -3 .(-1 )T、x+1 x3 +1 )5x3 -3x 7l i m32x t3x 2x 5注:关于x的有理分式当xt g时的极限.例4例5x2 -2x 2 -1x2 x - 2例62x2 、3x2 13x 5利用公式 an -1 = (a -1)(anJ +an + +a +1).5/x4sin(2x2 +x -10) limx，二 3 -2xlim3*1.x 1 . x -13 1 x -1 lim x Q .1 x -1例10.x2 16 - A 已知lim = B.求A和B.x3Ex1P514.203 .)2x2 A

12、x B16补充题：已知limx2Ax B=B7.求A和B. (A = x 2 x2 -43§ 3函数极限存在的条件(2时)本节介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限lim f(x)为例.x 沁一、Heine归并原则一一函数极限与数列极限的关系： 0Th 1设函数f在点x0的某空心邻域 U(x0)内有定义.则极限lim f(x)存在u 对任何 x >x) 0*口石1)函)且*口-> x0, lim f(xn)都存在且相等.(证) n 二Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系，是证明极限不存在的有力工具对单侧极限，还可加强为xn单调趋于x0.参阅1P70. 例

13、1 证明函数极限的双逼原理.1-例 2 证明 lim sin # 0.J0x1 一一 例3 证明lim sin 不存在.x)0xTh 2设函数f(x)在点x0的某空心右邻域 U；(x0)有定义.则lim.f(x) = Au 对任何以 x >x)x0为极限的递减数列 &nUU +(x0)，有limf (xn) = A.Th 3设函数f(x)为定义在U kx0)上的单调有界函数.则lim+f(x)存在.x >x0二、Cauchy 准贝U：Th3 (Cauchy准则)设函数f (x)在点的某空心邻域U(x),")内有定义.则lim f(x)存在 x 跃00u Vs>

14、;0, 3d >0(5 < 6P), Vx*xffe U(x0, S) ,= f (x) f (x) < s.u )(利用Heine归并原则)Cauchy准则的否定：lim f (x)不存在的充要条件. jx1 一一，用Cauchy准则证明极限lim sin 一不存在. x 0 x jin 二一设在f (x)在a , + )上有2a,十8)上函数f(x).则极限lim f(x)存在yx 二界.(简证，留为作业).Ex 1P55 14.§ 4两个重要极限(2时一.l i ns12x=1.(证) x-p xsi nxlim.一,：,：x一 . 一 x(同理有limx 1

15、0 sin x=1,，. 1，l i mnsi n- =1.)nt n1 -co sx2xs i n5x.s i r3x arcsixisin x证明极限lim X0x不存在.x1一 二 e. xl i m1 x_0'证 对 nWx<n+1,11:11,1n 1xnl i ml kx x，1 -特别当 k = 1, k=等.21例 7 lim (1 2x)x x_0例 8 lim (1 -3sin x)cscx. x_0n一11例 9 lim M - 2二 nnEx1P581 4.§ 5无穷小量与无穷大量 阶的比较(2时) 一、无穷小量：1 .定义.记法.2 .无穷小的

16、性质：性质1(无穷小的和差积)性质2(无穷小与有界量的积)"2 2例 1 lim sin(n 3n 5).-n 13.无穷小与极限的关系：Th 1 lim f (x) -Af(x)-A =。(1), x > x0.(证)二、无穷小的阶： 设 xT小 时 f(x) = 1), g(x) = °(1).1. 高阶(或低阶)无穷小：2. 同阶无穷小：3. 等价：Th 2 (等价关系的传递性).等价无穷小在极限计算中的应用：Th 3 (等价无穷小替换法则).几组常用等价无穷小：设xT 0.以x作为基本无穷小，有等价关系：当 x t 0时,sin x x , tgx x, ax

17、 -1 x, ln(1 +x)x, arcsin x x,2arctgx x,1-cosx,n，1+x 1,(1+x)nnx.2n再加上nT S时（或xt时）n的（或x的）有理分式（分子次数小于分母次数）的等价无穷小.其中有些等价关系的证明以后陆续进行.arctgx例3 求lim .x 0 sin 4xtgx-si nx 例 41 i m-.x）0 si nx3三.无穷大量：1 .定义：例5验证lim工= .X 0 x2例6验证lim x=%x 3 x - 32 .性质：性质1同号无穷大的和是无穷大.性质2无穷大与无穷大的积是无穷大性质3与无界量的关系.无穷大的阶、等价关系以及应用，可仿无穷小讨论，有平行的结果3 .无穷小与无穷大的关系：无穷大的倒数是无穷小，非零无穷小的倒数是