《数值计算方法》试题集及标准答案资料

1、数值计算方法试题集及答案 资料作者:日期:#数值计算方法复习试题7、填空题:A1、4 ，则A的LU分解为1A 1 4答案：0410115 414 15 156153、f1，f（2）2，f（3） 1 ,则过这三点的二次插值多项式中x2的系数为拉格朗日插值多项式为答案：-1,11L2(X)2(x 2)(X 3) 2(X 1)(X 3) 2(x 1)(X2)4、近似值x* 0.231关于真值x 0.229有（2 ）位有效数字;5、设f（X）可微，求方程X f（X）的牛顿迭代格式是（）；Xn 1答案Xn f(Xn )1 f(Xn)6、对 f(X)X3X 1,差商 f0,1,2,3(1), f0,1,2

2、,3,4(0)；7、计算方法主要研究（ 截断）误差和（ 舍入 ）误差;8、用二分法求非线性方程f （x）=0在区间（a,b）内的根时，二分 n次后的误差限为b a(2n 1）；10、已知 f(1) = 2, f(2) = 3,f(4)=5.9,则二次 Newton 插值多项式中X2系数为（0.15 ）;11、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为（A的各阶顺序主子式均不为零）。1012、为了使计算4(X 1)26（x 1）3的乘除法次数尽量地少，应将该表y 10达式改写为_(3 (46t)t)t,t1x 1,为了减少舍入误差，应将表达式52001 v 1999 改写为、须1 V1

3、999313、用二分法求方程f（X） x x 1 0在区间0,1内的根，进行一步后根的所在区间为0.5, 1，进行两步后根的所在区间为0.5, 0.7514、3x1 5x2 1求解方程组0.2x1 4x20斯高斯塞德尔迭代格式为(kXi(kX21)1)(1 5x2k)/3(k 1)x1/20 一该迭1代格式的迭代矩阵的谱半径（M）=12 015、设 f(0) 0, f(1) 16, f (2) 46,则 k(x)li(x)x(x2)f（x）的二次牛顿插值多项式为 N2(x) 16x 7x(x 1) o16、求积公式a(x)dxnAkf（Xk）k 0的代数精度以（高斯型）求积公式为最高,有（2n

4、 1）次代数精度。21、次。如果用二分法求方程0在区间1,2内的根精确到三位小数，需对分（1022、a=(23、nS(x)已知3),1o(x),1i(x),3x12(xb=(1)3a(x21) b(x1) c 13是三次样条函数，则lk(x)k 024、(1 ),ln(x)是以整数点nxklj(xk)k 0(Xj )c=(x0,x1，1）。, xn为节点的nLagrange插值基函数，贝U(X4 X23)lk(x)0(25、区间26、a,b上的三次样条插值函数变函数f（x） v，x 11S(x)在 a,bx ( x上具有直到阶的连续导数。1 ）的形式，使计算结果27、若用二分法求方程f x 0

5、在区间1,2内的根，要求精确到第 3位小数，则需要对分1028写出求解方程组x1 1.6x210.4x1x22 的 Gauss-Seidel 迭代公式k 1x1k 1乂21 1.6x0.4xikt 1 ,k 0,1,迭代矩阵为1.60.64,此迭代法是否收敛收敛。31、设，则A32、设矩阵33、若 f（x）4213x434、线性方程组101136、设矩阵二、单项选择题:2x2110的A LU ,则U ,则差商 f2,4,8,16,321523的最小二乘解为1、2、4、A.C.5、A.2612分解为A LU ,则UJacobi迭代法解方程组Ax b的必要条件是A. A的各阶顺序主子式不为零C.A

6、.aii0,i1,2,nB.求解线性方程组对称阵任意阵舍入误差是只取有限位数B.D.(A)则为(C ).C. 7D.110W21 万Ax=b的LU分解法中，A须满足的条件是（B ）。D .各阶顺序主子式均不为零A ）产生的误差。B .模型准确值与用数值方法求得的准确值C.观察与测量D.数学模型准确值与实际值6、3.141580是冗的有(B )位有效数字的近似值。A. 6B. 5C. 4D. 77、用i+x近似表示e所产生的误差是( C )误差。A.模型 B.观测C.截断D.舍入8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是(A )。A.控制舍入误差B.减小方法误差C.防止计算时溢出D.简化计

7、算x9、用1 + 3近似表示3n所产生的误差是(D )误差。A.舍入 B.观测 C.模型 D.截断10、-324. 7500是舍入得到的近似值，它有(C )位有效数字。A. 5B. 6 C. 7D. 811、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4，则抛物插值多项式中x2的系数为(A )。A.-0. 5 B. 0. 5 C. 2 D. -212、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C )。A. 3 B. 4 C. 5 D. 213、( D )的3位有效数字是 0.236X 102。(A) 0.0023549 X 103 (B) 2354.82 X 10-2(C) 235.418 (D)

8、 235.54X 10- 114、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根,把方程f(x)=0表示成x= (x),则f(x)=0的根是(B )。(A) y= (x)与x轴交点的横坐标(C) y=x与x轴的交点的横坐标15、用列主元消去法解线性方程组3x1X4x1(B) y=x与y= (x)交点的横坐标(D) y=x与y= (x)的交点x2 4x3 12x2 9x303x2 x3I第1次消元，选择主元为(A) -4(B) 316、拉格朗日插值多项式的余项是(C) 4(D)-9(B )，牛顿插值多项式的余项是(C )。23 x11(A) f(x,x0,x1,x2,xnx®(x x2)(x x

9、n 1)(x xn),x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.2523、有下列数表所确定的插值多项式的次数是()。(3)四次;(4)五次Rn(x) f(x)(B)f(n 1)()Pn(x)(n 1)!(C) f(x,x0,x1,x2,Rn(x) f (x)(D),xn)x0)(x x1)(x x2)(x xn 1)(xxn),f (n 1) ()Pn(x) n1(x)(n 1)!18、用牛顿切线法解方程f(x)=0 ,选初始值x0满足(A),则它的解数列xnn=0,1,2,定收敛到方程f(x)=0的根。(A) f (x0)f (x) 0(B)f(x0)f (x) 0(

10、C) f(x0)f (x)0(D)f(x0)f(x) 019、为求方程 x3x21=0在区间1.3,1.6内的一个根,把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )。2x(A)1,，迭代公式:xk1x 1x(B),迭代公式：xk1 x1-2xk3(C)xx2,迭代公式：xk 1(12、1/3 xk)3x(D)，迭代公式：xk 12xkxk21、解方程组(1)(A)Ax1b的简单迭代格式1,(k 1)(k)x Bx(A)g收敛的充要条件是1,(4)(B) 1(1)二次;25、取J3 1.732计算x (J3 1)4 ,下列方法中哪种最好？(16(C) (4 2圾2 ；)_

11、16_(D)(& 1)4。X11.522.533.5f(xi)-10.52.55.08.011.527、由下列数表进行 Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是()(D) 2。(B)4;(C)Newton(A)5；(A) 28 16出；(B) (4 2石)2；)3;29、计算迭代格式为(xkxk(A) xk xk ； (B)Xk1232xk；(C)xkxk 22xk ； (D)xk 1xk 3330、用二分法求方程 x 次数至少为（）（A）10;（B）12;4x2 10 0在区间1,2内的实根，要求误差限为(C)8；(D)9。32、设 li(x)是以 xk k(k0,1,L，9

12、）为节点的Lagrange插值基函数，则kli(k)k 0(A) x ；(B)(D) 1。,、一 335、已知万程x 2x2附近有根，下列迭代格式中在X010 * 3,则对分2不收敛的是（Xk 15.2x33x2X01234f(x)1243-5(B)确定的唯一插值多项式的次数为(A) 4；(B)2；(D)3。xk(D)()(C)1；253Xk - (C) xk 1xk xk(A) Xk 13 2xk5;36、由下列数据三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打，否则打）1、已知观察值（Xi，yi）（i 。，1，2， m），用最小二乘法求n次拟合多项式Pn（x）时,Pn（x）的次数n可以任意取。2、

13、用1- 2近似表示cosx产生舍入误差。3、5、矩阵A=1、用高斯-塞德尔方法解方程组求按五位有效数字计算）。4x1Xi 2x12x24x2X2X32x35X3111822，取x(0)（0,0,0）T ,迭代四次（要(x Xo)(X X2)答案：迭代格式Xi(k 1)-(112x2k)x3k)(k i)X24-(18 xi(k1) 2x3k)41 (22 2x1(k 1)x2k 1)5kx1(k)x2k)x3k)000012.75003.81252.537520.209383.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.70192、已知xi134

14、5f(xi)2654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(x)的三次插值多项式P3(x),并求f(2)的近似值(保留四位小数)。(x3)(x4)(x 5)(x1)(x 4)(x5)L3( x) 2 6答案：(13)(14)(1 5)(31)(3 4)(35)5(x1)(x3)(x5)4(x1)(x3)(x4)54(41)(43)(45)(51)(53)(54)差商表为xiyi一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-10141P3(x)N3(x) 2 2(x 1) (x 1)(x 3) (x 1)(x 3)(x 4)4f(2)P3(2) 5.55、已知xi-2-1012f(xi)42

15、135求f(X)的二次拟合曲线P2(X),并求f (0)的近似值。答案：解:正规方程组为P2(X)103一 一 x7105a010a21510al310a°34 a241a0107,a13,a210/、3P2(x)1011一 x7f (0)P2(0)-311 2一 X141114ixiyi2 xi3 xi4 xixi yi2xi小0-244-816-8161-121-11-22201100r 0r 001313111334254816102001510034341216、已知sinx区间0.4, 0.8的函数表xi0.40.50.60.70.8yi0.389420.479430.56

16、4640.644220.71736如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该 近似值。答案：解： 应选三个节点，使误差M3|R2(x)|-| 3(x)|3!尽量小，即应使| 3(x)|尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点05060.乃最好，实际计算结果sin0.63891 0.596274,sin 0.63891 0.5962741 ,(0.63891 0.5)(0.63891 9 0.6)(0.63891 0.7)3!1-40.55032 10(Xn)，n0，1，2，讨论其收敛x7、构造求解方程e 10x 2 0的根的迭代格式xn 1性，并

17、将根求出来，|Xn1 Xn|10 402 0,f (1) 10 e 0X答案：解：令 f (x) e 10X 2, f (0)且f (x) ex 10 0对x (,)，故f(x) 0在(0,1)内有唯一实根.将方程 f(x)0变形为x (2 ex)10则当x (0,1)时1010(X).(2 ex)| (x)|10 , 故迭代格式收敛。取x0 0.5Xn 14(2 eXn)n0123xn0.50.035 127 8720.096 424 7850.089 877 325n4567xn0.090 595 9930.090 517 3400.090 525 9500.090 525 008计算结果

18、列表如下:6且满足 | x7 x6 | 0.000 000 95 10 所以 x 0.090 525 0088、利用矩阵的LU分解法解方程组x12x23x3142x15x22x3183x1x25x320A LU答案：解：3424令 Ly b得 y (14, 10, 72)T , Ux y 得 x (1,2,3)T3x1 2x2 10X3 1510X1 4x2x3 59、对方程组2x1 10x2 4x3 8(1)试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由;(2)取初值x(0)(O,O,0)T ,利用(1)中建立的迭代公式求解，要求|x(k 1) x(k)|103。解：调整方程组的位置，使系数

19、矩阵严格对角占优10x1 4x2 x3 52x1 10x2 4x3 83x1 2x2 10x3 15故对应的高斯塞德尔迭代法收敛.迭代格式为x(k 1) 110(4x2k)x3k) 5)x2k1) -1( 2x(k 1)4x3k) 8)10x3k 1)( 3x(k 1) 2x2k 1)15)取x(0) (0Q0)T,经7步迭代可得：x* x (0.999 991 459, 0.999 950 326,1.000 010)T10、已知下列实验数据xi1.361.952.16f(xi)16.84417.37818.435试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据解：当 0<x<1 时，f

20、 (x) ex,则要求近似值有5位有效数字,Rin)(f)(b a)312n2即可，解得11、解:f (x) e只须误差(),只要Rin)(e1口 eXdx且0R1(n)(f)有一位整数.210 4所以 n 68,因此至少需将用列主元素消元法求解方程组41211112、e212n2e212n210102 67.308770,1 68 等份。2X1X2X3124114121112 一152r3 -r151 r213回代得取节点x054312543121282313179005555551317912800555555543120,X1B(x)，并估计误差。13515 _5 13x30.5, x2

21、1795_5131,X26, X1，求函数f(x)在区间0,1上的二次插值多项式解:0 (x 0.5)(x 1)0.5 (x 0)(x 1)e e (0 0.5)(0 1)(0.5 0)(0.5 1)(x 0)( x 0.5)(1 0)(1 0.5)_0 5_1一2(x 0.5)(x 1) 4e . x(x 1) 2e x(x 0.5)f(x) ex，f(x) ex，M3 xmiax11f (x)| 1故截断误差|R2(x)| |e x1P2(x)1 3!|x(x 0.5)(x 1)115、用牛顿(切线)法求M3的近似值。取x0=1.7,计算三次，保留五位小数。解：J3是f(x) x2 3 0

22、的正根,f (x) 2x，牛顿迭代公式为x2 3xn 1 xn-xn3xn 1(n 0,1,2,)2 2xnn123xn1.732351.732051.732052xn ,即取x0=1.7,列表如下:16、已知f (-1)=2, f (1)=3, f(2)=-4,求拉格朗日插值多项式L2(x)Sf (1, 5)的近似值, 取五位小数。2 (x1)(x 2)3 (x1)(x2)4 (x1)(x1)L2 (xj 234解：(11)( 1 2)(11)(12)(21)(21)系数矩阵120、解:ATX(k x1i)3(x3k)5)(k x2i)1( x"x3k)i)x3ki)1( x<

23、;k 1-x2k 1)8)ky(k) x1x2k)x3k)11.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.359-2.526严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛.取x(0)=(0,0,0)T,列表计算如下：x19253038小19.032.349.073.32span1, x (8分)用最小二乘法求形如y a bx2的经验公式拟合以下数据:1192解方程组111252312 382AT AC AT yyT19.0 32.3 49.0 73.3其中T 4ATA33913391 3529603ATy173.6179980.7C 解得：0.925557

24、70.0501025 所以0.9255577,b 0.0501025322、(15分)方程xx 1 0在x 1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式对应迭彳t格式xn 1111* J1 x对应迭代格式xxn ; (3)x x3 1对应3迭代格式xn 1 xn精确到小数点后第三位。判断迭代格式在x0 1.5的收敛性，选一种收敛格式计算 x 1.5附近的根,足(x)解：(1)13(x1)(1.5)0.18 1 ,故收敛;(2)(3)(x)(x)12x2 ：1 1%、彳2x 1x, | (1到 0.17 1,故收敛;3x2"(16 二f''' x -x 2 1.

25、52 1,故发散。823选择(1) ： x01.5 x1 1.3572 x21.3309 x3 1.3259 x41.3249x5 1.32476 x6 1.3247223、(8分)已知方程组 AX f ,其中4324A 341 f 301424(1) 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。(2) 求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。(k1)1(24 3x2k)解：Jacobi迭代法:(k2(x1(30 3x1(k) x3k)401( 24 x2k)4k 01,2,3,x1(k1)-(24 3x2k)4x2k1)1(30 3x1(k 1) x3k)4Gauss-Sei

26、del 迭代法:Bj D 1(L U)k Q1,2,3,(Bj)0.79056931、(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。用Newton插值方法：差分表：100100.0476190121110.0434783-0.00009411361441211510+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.7227555f'''115 100 115 121115 1443135-100 2 15 6 29 0.001636833、（10分）用Gauss列主

27、元消去法解方程组:x1 4x2 2x3243x1 X2 5X3342x1 6x2 x3273.0000 1.0000 5.0000 34.00000.0000 3.6667 0.3333 12.66670.0000 5.3333 -2.3333 4.33333.0000 1.0000 5.0000 34.00000.0000 5.3333 -2.3333 4.33330.0 0000 1.9375 9.6875x 2.0000,3.0000,5.0000 T34、（8分）求方程组Xix2521 的最小二乘解。3 6 XiAT Ax ATb6 14 x2若用Householder变换，则：81.3333x202.0000A,b1.73205003.46410 4.618800.366031.520731.366032.520731.732053.464104.6188001.414212.82843000.81650最小二乘解：(-1.33333 , 2.00000) T.A 1 11 b 237、