《数理方程与特殊函数》课程教学大纲概要

1、数理方程与特殊函数课程教学大纲、课程总述本课程大纲是以2006年本科专业人才培养方案为依据编制的课程名称数理方程与特殊 函数课程代码33983课程性质学科基础课先修课程高等数学、线性代数、积分变换总学时数48周学时数3开课院系电子学院任课教师白耀辉编写人白耀辉编写时间2006-8-15课程负责人大纲主审人使用教材王元明数学物理方程与特殊函数（第三版）高等教育出版社教学参考资 料1谷超豪等数学物理方程（第二版）高等教育出版社2张慧清等 数学物理方程与特殊函数 （南工第三版）导数导学导考西北工业大学出版社3数学物理方程及其近似方法科学出版社课程教学目 的数学物理方程是一门应用广泛的基础课程。数学物

2、理方程一般是指自 然科学或工程技术中的某些物理问题导出的常微分方程、偏微分方程、积分方 程。本课程仅限于讨论一些典型的偏微分方程的求解，重点介绍一些典型的求 解方法，如分离变量法、积分变换法、格林函数法等。本课程涉及的内容在流 体力学、热力学、电磁学、声学等许多学科中有着广泛的应用。通过本课程的学习，要求学生了解一些典型方程描述的物理现象，理解典 型方程及定解问题的导出过程，掌握分离变量法等经典方法，并可熟练运用于 有美定解问题的求解。课程教学要 求着重培养学生对三类典型方程描述的物理现象及经典的常用解法的了解和 掌握，使之能熟练运用分离变量法、积分变换法、格林函数法等算法求解相应 的数理方程

3、。本课程的重 点和难点典型方程的物理背景和导出步骤，定解条件；分离变量法，非齐次方程的 固有函数法和齐次化原理；无界弦自由振动的达郎贝尔 （D' Alembert解法；拉普拉斯方程两种定解问题、调和函数、上半空间和球域的格林函数；贝塞尔方程、把函数展开成贝塞尔函数的级数形式；勒让德方程、函数展开成勒让德函数的 级数形式。课程考试1在考试形式上米取平时课堂小练习和期末考试相结合，这样使教师既及时地 了解教学情况，以改进教学，又系统地检查了学生学习情况。2在考题份量上采取 90%的测试基础内容的题和10%的有相当难度的题相结合，这样，既检验了广大同学是否掌握了大纲要求掌握的内容，又可使少数

4、冒 尖学生的能力得到充分发挥以达到因材施教的目的。二、教学时数分配早教学内容教学时数分配目课堂讲授实验（上机）本章将建立定解问题的有关概念，并从物理学中三 个典型的实例入手，介绍建立定解问题的一般方法 及步骤。复习常微分方程的有关概念。6本章将学习的分离变量法就是直接求特解的一种方 法，它是解数理方程的重要方法之一，适用于解大 量的各种各样的定解问题，特别在所研究问题的区 域是矩形、柱面、球面等情况卜，使用更为普遍。 本章将主要讨论用分离变量法求解各种有界问题。12二掌握对不同定解问题选用不同的积分变换，并能用 积分变换求解相应的定解问题。8四掌握格林函数的导出与特殊区域的格林函数的应 用，并

5、用以求解相应的定解问题。8五了解贝塞尔（Bessel）方程的导出及其级数解与 r函 数、贝塞尔函数的一些简单性质（递推公式、零点、正交性卜付里-贝塞尔函数展开定理及函数的付 里贝塞尔展开式；会求解有美贝塞尔函数的定 解问题。8六了解勒让德方程的导出及其哥级数解；了解勒让德 多项式的一些性质6合计三、单元教学目的、教学重难点和内容设置第一章一些典型方程和定解条件的推导【教学目的】了解典型方程的物理背景和导出步骤，定解条件所反映的物理意义，以及三种定解问题的提法；重重点难点】 典型方程的物理背景和导出步骤；定解条件【教学内容】1. 了解三类典型方程的物理背景和导出步骤。2. 了解定解条件所反映的物

6、理意义。3了解三种定解问题（初值问题、边值问题、混合问题）的区别。知道不同方程有不同的定解问题的提法。4知道并掌握线性偏微分方程解的叠加性质。第二章 分离变量法【教学目的】 掌握分离变量法，掌握求解非齐次方程的固有函数法和齐次化原理，了解对于非齐次边界条件的处理方法【重点难点】 分离变量法，非齐次方程的固有函数法和齐次化原理【教学内容】1掌握分离变量法，能应用于振动方程、传导方程的混合问题和特殊区域上拉普拉斯方程的狄里克莱问题。2掌握求解非齐次方程的固有函数法和齐次化原理。3了解对于非齐次边界条件的处理方法。4 Sturm-Liouville 理论的简单介绍。第三章 行波法与积分变换法【教学目

7、的】 会用行波法导出一维波动方程的达朗贝尔公式， 会用上述达朗贝尔公式求解定解问题，重重点难点】无界弦自由振动的达郎贝尔（D' Alembert解法【教学内容】1 会用行波法导出一维波动方程的达朗贝尔公式（限于齐次方程） 。2了解弦振动问题的“依赖区间”、 “决定区域”和“影响区域”的概念。3了解三维波动方程的泊松公式的导出方法。4 用降维法从三维波动方程的泊松公式导出二维波动方程的泊松公式以及一维波动方程的达朗贝尔公式。5用上述三种公式求解定解问题。6根据上述三种公式了解三维波的惠更斯原理（无后效现象）和一维、二维波的弥散现象。7付里叶变换和拉普拉斯变换简介。8会用付里叶变换和拉普拉

8、斯变换求解一些定解问题。第四章 拉普拉斯方程的格林函数法【教学目的】 了解拉普拉斯方程两种定解问题， 掌握调和函数的一些基本性质， 了解引进格林函数的目的。拉普拉斯方程两种定解问题、调和函数、上半空间和球域的格林函数重重点难点】【教学内容】1 . 了解拉普拉斯方程两种定解问题（狄里克莱问题和诺依曼问题）的提法，（每种问题又分内问题和外问题）。2 .会从高斯公式导出格林第一、第二公式。1 13 .知道三维（二维）拉普拉斯方程的基本解1 （ln 1 ）,会借助基本解从格林rM M0rM M0第二公式导出调和函数的积分表达式。4 .掌握调和函数的一些基本性质（边界性质平均值原理、极值原理）。5 .

9、了解引进格林函数的目的，及格林函数的物理意义。6 .掌握上半空间和球域的格林函数及相应的泊松公式。会用公式求解定解问题。7 .会用源象法写出一些特殊区域的格林函数。第五章贝塞尔函数【教学目的】 了解贝塞尔方程的一般形式、级数解以及其通解形式，掌握贝塞尔函数的基 本递推公式，会把函数展开成贝塞尔函数的级数形式。重重点难点】 贝塞尔方程、把函数展开成贝塞尔函数的级数形式【教学内容】1 . 了解贝塞尔方程的一般形式、它的级数解（贝塞尔函数），以及它的通解形式。2 .掌握贝塞尔函数的基本递推公式。3 . 了解贝塞尔函数的零点分布和带权正交性，会把函数展开成贝塞尔函数的级数形式。4 .应用贝塞尔函数求定解问题。第六章勒让德多项式【教学目的】 了解勒让德方程的一般形式、级数解（勒让德函数）以及其通解形式，掌握 勒让德函