矩阵运算ppt课件

1、数数=线线性性代代1.2 矩阵的运算定义定义1.3 矩阵加法矩阵加法对于对于nmijaA)(nmijbB)(,规定规定nmijijbaBA)(如如8885202342016543211.2 矩阵的运算矩阵的运算留意：留意：.111112不能相加不能相加与与例如，例如， BA数数=线线性性代代1.2 矩阵的计算定义定义1.4 数乘矩阵数乘矩阵对于对于nmijaA)(,k为常数,规定规定kA(或记为或记为Ak)nmijka)(kBkABAklAkAAlkAklkAlAA)()()()(1数乘矩阵的运算满足数乘矩阵的运算满足:123246如 245681012数数=线线性性代代1.2 矩阵的计算定义

2、定义1.5 矩阵乘法矩阵乘法nsijsmijbBaA)(,)(规定规定nmijcCAB)(,其中skkjiksjisjijiijbabababac12211阐明阐明(1)AB有意义有意义,必需是必需是A的列数等于的列数等于B的行数的行数(2)当当AB有意义时有意义时,AB的行数等于的行数等于A的行数的行数,AB的列数等于的列数等于B的列数的列数如如,例例1.1中的旋转变换可写成中的旋转变换可写成yxyxcossinsincos或yxyxcossinsincos数数=线线性性代代1.2 矩阵的计算例例:设设ABBA求,3211,21432173911553211214321:AB解但是但是 BA

3、无意义无意义111246121111,00340034003311110011111211341234,003400123412O 但 是例例 : :数数=线线性性代代1.2 矩阵的计算1111222233331 12233:abbaabbaabbaa ba ba b 例小结小结: (1)矩阵乘法无交换律矩阵乘法无交换律,有有“左乘和左乘和“右乘之分右乘之分 (2)AB=0,未必有未必有A=0或或B=0 (3)AB=AC,且且A0时未必有时未必有B=C数数=线线性性代代1.2 矩阵的计算矩阵乘法满足以下运算规律矩阵乘法满足以下运算规律BCACCBAACABCBAABkkBABkABCACABO

4、BOOOAAIAAIpmpnnmpmpnnmnnmnmm)(6()()5()()()(4()()(3(,)2()1(.),(),6(,)(,)()(,)(,)(,)(: )6(元相等即可只要证两端的明故要证矩阵亦为矩阵为则设下证jipmBCACpmCBAbaBAcCbBaAnmijijpnijnmijnmij数数=线线性性代代1111()( ,)()()nikikk jknikk jikk jknnikk jikk jkkABCijabcacbcacbc的元1.2矩阵的计算上式右端第上式右端第1项为项为AC的的(i,j)元元,上式右端第上式右端第2项为项为BC的的(i,j)元元,故上式右端为故

5、上式右端为AC+BC的的(i,j)元元(6)式两端的式两端的(i,j)元相等元相等pjmi, 2 , 1;, 2 , 1证毕数数=线线性性代代1.2 矩阵的计算方阵的幂方阵的幂AAAAAAAAAAIAAmnn,210规定对于m个个但对于同阶方阵但对于同阶方阵A、B来说来说,以下等式不一定成立：以下等式不一定成立：22222)(;2)( ;)(BABABABABABABAABmmm这些等式在这些等式在ABBA时才成立时才成立,()klk lklklA AAAA(k,l为非负整数为非负整数)方阵的幂满足：方阵的幂满足：数数=线线性性代代1.2 矩阵的计算11,(2 , 3 ,)01nAAn 求23

6、2111112010101121113010101101nAAAAnA 猜 测112,0111111010101kkkknAkkAAA 时 成 立设成 立则故 结 论 成 立例例解：解：证之证之数数=线线性性代代1.2 矩阵的计算定义定义1.6 矩阵的转置矩阵的转置的转置矩阵为矩阵称对于AaaaaaaaaaAmnaAmnnnmmTnmij212221212111,)(TTTTTTTTTTABABkAkABABAAA)(4()(3()(2()(1(转置的运算规律数数=线线性性代代1.2 矩阵的计算可将可将(4)推行为：推行为：TTTmTmAAAAAA1221)()()()TTTTTTTABCAB

7、 CCABC B A例如 BCAAICAAIBATT求例2,2100219 . 1()(2)222()12()2TTTTTTTTTTTBCIAAIAAIAAAAAAAAIAAAAAAIAAAAI解：解：数数=线线性性代代1.2 矩阵的计算21410041210021210021TAA其中对称矩阵对称矩阵:njiaaAAaAjiijTnnij, 1,)(、其中或满足同阶对称矩阵之和、差及数乘对称矩阵，所得同阶对称矩阵之和、差及数乘对称矩阵，所得矩阵仍为对称矩阵，但对称矩阵之积却不一定矩阵仍为对称矩阵，但对称矩阵之积却不一定是对称矩阵。是对称矩阵。数数=线线性性代代1.2 矩阵的计算反对称矩阵：反

8、对称矩阵：032301210), 1(0,),2, 1,(,)(BnibbbjinjibbBBbBiiiiiijiijTnnij如有故当或满足例：例： 试证：任一试证：任一n阶方阵阶方阵A可表示为一个对称矩阵可表示为一个对称矩阵 与一反对称矩阵之和与一反对称矩阵之和证：证：11(),()2211()() )2211()()22TTTTTTTTTTBAACAABAAAAAAAAB令 则 =即即B为对称矩阵为对称矩阵数数=线线性性代代nmnmmmnnnnmnijxaxaxayxaxaxayxaxaxayyyxxnjmia2211222212121212111111,), 1;, 1(10. 1的变

9、换到变量，称变量为常数设线性变换与矩阵例)81 ( 11()() )2211()()22TTTTTTTTAAAAAAAAC 而 C =即即C为反对称矩阵为反对称矩阵111111()()222222TTTTBCAAAAAAAAA且 1.2 矩阵的计算数数=线线性性代代1.2 矩阵的计算为由n维向量到m维向量的一个线性变换.利用矩阵乘法可将(1-8)式写成mnnnmijmnmnnnmmmFyFxxxxxaAyyyyAxyxxxaaaaaaaaayyy,)(,21212121222121211121其中或数数=线线性性代代1.2 矩阵的计算FkFkTkTFTTTTFxAxxTFFnnnmn,),()

10、(,),()()(,)(,:)81 (满足由此可知其定义为为记变换)()()()()()(kTkTTTAAAT同理有事实上数数=线线性性代代1.2 矩阵的计算矩阵为其中定义为矩阵为其中定义为设mpBFyByySFFSnmAFxAxxTFFTmpmnmn,)(:,)(:那么复合线性变换那么复合线性变换ST为为xBAAxBAxSxTSxST)()()()()(nFx ,故故ST的矩阵为的矩阵为BA数数=线线性性代代1.2 矩阵的计算例例1.11 线性方程组与矩阵线性方程组与矩阵mnmnmmnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxaxxxnmnm2211222221211121211121),(组成个未知量个方程、由线性方程组)121 ( mnmnmmnnbbbxxxaaaaaaaaa2121212222111211bAx )131 ( 或数数=线线性性代代1.2