《有理数》复习与巩固(提高)知识讲解教师版

1、有理数复习与巩固（提高）【学习目标】1 理解正负数的意义，掌握有理数的概念学会借助数轴来理解绝对 知识.2 理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算3.值、有理数比较大小等相关4 .理解科学记数法，有效数字及近似数的相关概念并能灵活应用;5 .体会数学知识中体现的一些数学思想【知识网络】-有关概,钿一利用运算律解有 理教的涯警运算-科学记救、有敢数字与近何数【要点梳理】7要点一、有理数的相关概念1.有理数的分类：（1）按定义分类：r正整数整批L负整数 正分数 负分数非员鞭数旦魏非正整数非员数非正数作用表示数的性质要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量;（2

2、）有理数“。”的作用:举例 。是自然数、是有理数表示没有3个苹果用+ 3表示，没有苹果用0表示表示某种状态0表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数2 .数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线要点诠释：(1)一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理 数，如(2 )在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大3 相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0.要点诠释：(1 )一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的.(2)求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可.(3 )多重符号的

3、化简：数字前面"”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负4 .绝对值：(1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.数a的绝对值记作| a .(2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.要点二、有理数的运算1 法则(1) 加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.一个数同0相加，仍得这个数.(2)减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.即a-b=a+(-b)(3 )乘法法则：两数相乘，同号得正

4、，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0.1(4) 除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.即a+ b=a(b工0)b(5)乘方运算的符号法则：负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕是正数；正数的任何次幕都是正数，0的任何非零次幕都是0,(6)有理数的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行要点诠释：“奇负偶正” 口诀的应用：(1 )多重负号的化简，这里奇偶指的是“一”号的个数，例如：一(-3)= - 3,-+ (-3) =3.(2)有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，

5、正负指结果中积的符号，例如：(-3)X(- 2)X(- 6)=-36,而(一 3)X(- 2)X 6=36.(3)有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幕为负；指数为偶数，则幕为正，例如：(3产9 , ( 3)327.2 运算律：(1) 交换律：加法交换律：a+b=b+a;乘法交换律：ab=ba;(2) 结合律：加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c);乘法结合律 * (ab) c=a(bc)(3)分配律：a(b+c)=ab+ac要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有：(1)数轴比较法；(2)法则比较法：正数大于0, 0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大

6、的反而小；(3)作差比较法.(4)作商比较法；(5)倒数比较法.要点四、科学记数法1 .科学记数法：把一个大于10的数表示成a 1 (T的形式(其中1|a 10, n是正整数)，此种记法叫做科学记数法例如：.200 000= 2 105.2 .有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字.女口 ： 0.000 27有两个有效数字：2, 7.注意:万=1。4 ,亿=108【典型例题】类型一、有理数相关概念1 .已知x与y互为相反数，m与n互为倒数，| x+y |+( a-1)2二。，求a2-( x+y+mn) a+( x+y) 2009+(- mn)201

7、0 的值.【思路点拨】(1)若有理数x与y互为相反数，则x+y=0,反过来也成立.(2)若有理数m与n互为倒数，则mn=1，反过来也成立.【答案与解析】因为x与y互为相反数，m与n互为倒数，3-1)2>0,所以 x+y = 0, mn= 1, a= 1,所以 a2-( x+y+mn) a+(x+y) 2009+ (- mn)2010=a2-( 0+1)a+02009+(- 1) 2010=a2-a+1./a= 1,.原式="I?/+1 = 1【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念 举一反三：【高清课堂：有理数的复习与提高357129复习例题2】【变式1】选择题（

8、1 ）已知四种说法:间=a 时 , a>0; |a|=-a 时，a<0.间就是a与-a中较大的数间就是数轴上a到原点的距离.对于任意有理数，|a | < a< |a|其中说法正确的个数是（,3（2）有四个说法：有最小的有理数有绝对值最小的有理数有最小的正有理数没有最大的负有理数上述说法正确的是（A .C .D .已知(七坊>0，则()A . ab<0 B , ab>0 C , a>0 且 b<0D . a<0 且 b<0(4)若 |x-1|+|y+3|+|z-5|=0是()A . 120 B . -15 C , 0 D , -1

9、20，则(x+1)(y-3)( z+5)的值（5 ）下列各对算式中，结果相等的是（B .e3 与卜a|3 C . (-a) 23 与(e3)2 D . (ab) 3与 ab3【答案】（1） C;（ 2）C;（ 3）A；（4）D; （5）C【变式2】某市2008年的国民生产总值约为表示2009年这个市的国民生产总值应是（结果保留【答案】3.67 10 .提示：333.9 1.1333.9亿元，预计2009年比上一年增长10%3个有效数字）元.10 10367.29 （亿元）3.67 10（元）&2 .在下列两数之间填上适当的不等号:99100100101 .【思路点拨】在a、b均为正数的

10、条件下，根据a二b, avb”来比较两数的大小.【答案】>QQ1 00【解析】法一：作差法：（）100101991009910110010010010110110099100a-1 b1101001 , -1分别得到ab,b100101法二：作商法：由于9910099 10199991001,所以100 101100 100 10000100 1018101再根据两个负数，绝对值大的反而小，得到：10099100【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的 特征选择使用举一反三:【变式】在下列两数之间填上适当的不等号.1111111111111111 J【答案】 >(提示：倒数

11、法较简便)类型二、有理数的运算有理数的混合运算】【高清课堂：有理数专题复习3571334233362214(2)(151.5)(4)(3)2512152437355z/42 3 322 1116 21212原式1215(3)原式32(4) 1(4)F1-3A21 -1312(1516)310原式125 111 1 112 (3.9分别相加；分数中，同分母a(b+c)=【总结升华】有理数的混合运算有很多技巧，如：正、负数 或分母有倍数关系的分数结合相加；除法转化为乘法、正向应用乘法分配律:ab+ac ;逆向应用分配律：ab+ac= a(b+c)等.举一反三：【变式】(1

12、) ( 5)2 1# 7 °-25 侬9 2()2 25)(5)(135冷)2)9【答 案】Q)5产25 141449 £ 0 251) 199(|°1U.25J1 / 3 (|)281)4(39 23199- /9 2(93,2'2)213)2)29(5)1 o.25)(95、-W91W 21721)先观察下列各式:241-13根据以上观察， 计算:7 1010n(n 3)【答案与解析】7 10200512008'的值.原式11o2005120082005 200866920081 1 1 1 11 134 4 7 7 10111 2007八1!

13、320083 2008【总结升华】1 1根据题中提供的拆项方法把每一项拆成13 n的形式然后再进行计算.举一反三：【高清课堂：有理数的复习与提高【变式】用简单方法计算：1 111 18 2448 80 120【答案】原式111 1 1 1111111、5=一一 (. 24 46688 10 10 122244610 1224类型三、数学思想在本章中的应用5.( 1)数形结合思想：已知有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，且| a| >| b| ,求 | a|-| a+b|-| b- a| 的值.a0 bA . 2b+a B . 2b- a C. a D . b(2)分类讨论思想：已知

14、a是任一有理数，试比较| a|与2a的大小.(3)转化思想：(999)135【答案与解析】61 )从数轴上a、b两点的位置可以看出avO, b0,且| a| >| b|，所以| a|-| a+b|-| b- a| = - a+a+b- b+a= a.(2)a可能是正数，0或负数，这就需要分类讨论：当 a> 0 时，间二 a> 0, -2av 0,所以 | a| >-2a；当 0 时，间=0,2a= 0,所以 | a| = -2a；当 av 0 时 , | a| 二-a>0, - 2a> 0,又-av - 2a，所以 | a| v -2a.综上所述：当a0时，

15、| a|2a；当av 0时，| a| v -2a.(3)( 999)(1000 1) ( 35)( 1000) ( 35) 1 ( 35)34965 .35【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段数形结合一一 “以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知” 类型四、规律探索6.(安徽)下面两个多位数1248624，6248624都是按照如下方法得到的：将第1位数字乘以2,若积为一位数，将其写在第2位；若积为两位数，则将其个位数字写在第2位.

16、对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的.当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是().A . 495 B, 497C, 501 D. 503【思路点拨】多位数1248624是怎么来的？当第1个数字是1时，将第1位数字乘以2得2,将2写在第2 位上，再将第2位数字2乘以2得4,将其写在第3位上，将第3位数字4乘以2的8,将8写在第4位上，将第 4位数字8乘以2得16,将16的个位数字6写在第5位上，将第5位数字6乘以2得12,将12的个位数字2写 在第6位上，再将第6位数字2乘以2得4,将其写在第7位上，以此类推.根据此方法可得到第一位是3的多位 数后 再求和.【答案】A【解析】按照法则可以看出此数为36