BB55傅立叶级数ppt课件

1、第五节第五节一、三角函数系的正交性一、三角函数系的正交性 第五章 傅里叶级数傅里叶级数 四、以四、以2 l 为周期的函数展开为为周期的函数展开为傅里叶级数傅里叶级数( 略）略） 问题的提出问题的提出非正弦周期函数非正弦周期函数: :矩形波矩形波otu11tttu0, 10, 1)(不同频率正弦波逐个叠加不同频率正弦波逐个叠加,7sin714,5sin514,3sin314,sin4tttttusin4 )3sin31(sin4ttu )5sin513sin31(sin4tttu )7sin715sin513sin31(sin4ttttu )7sin715sin513sin31(sin4)( t

2、ttttu)0,( tt)9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttu 一、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动 :)sin(tAy(谐波函数)( A为振幅, 复杂的周期运动 :)sin(10nnntnAAytnAtnAnnnnsincoscossin令,200Aa,sinnnnAa,cosnnnAbxt得函数项级数)sincos(210 xnbxnaannn为角频率, 为初相 )(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.xxnkxnkd)cos()cos(21定理定理 1. 组成三角级数的函数系组成三角级数的函数系,1,cosx,

3、sin x,2cos x,2sin x,cos,nx,sinnx证证:1xnxdcos1xnxdsin0 xnxk coscos)(nk xxnxkdcoscos00dsinsinxxnxk同理可证 :),2, 1(nxnkxnk)(cos)(cos21上在,正交 ,上的积分等于 0 .即其中任意两个不同的函数之积在0dsincosxxnxk)(nk 上的积分不等于 0 .,2d11xxxn dsin2xxn dcos2),2, 1(n,22cos1cos2xnxn22cos1sin2xnxn且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 二、函数展开成傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数定理定

4、理 2 . 设设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数 , 且且)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn右端级数可逐项积分, 则有), 1,0(dcos)(1nxnxxfan),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn证证: 由定理条件由定理条件,10dsindcosd2)(nnnxxnbxxnaxadxxf0a,对在逐项积分, 得xxkaxxkxfdcos2dcos)(01nxxnxkandcoscosxxnxkbndsincosxxkakdcos2kaxxkxfakdcos)(1),2, 1(k(利用正交性),2, 1(dsin)(1kxxkxfbkxxfad)

5、(10类似地, 用 sin k x 乘 式两边, 再逐项积分可得叶系数为系数的三角级数 称为的傅里叶系数 ;10sincos2)(nnnxnbxnaaxf), 1,0(dcos)(1nxnxxfan由公式 确定的nnba ,以)(xf)(xf),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn的傅里的傅里叶级数 .称为函数)(xf 定理定理3 (收敛定理收敛定理, 展开定理展开定理)设 f (x) 是周期为2的周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2) 在一个周期内只有有限个极值点, 那么 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有10s

6、incos2nnnnxbnxaa, )(xf,2)()(xfxf x 为间断点其中nnba ,( 证明略证明略 )为 f (x) 的傅里叶系数 . x 为连续点注意注意: 函数展成函数展成傅里叶级数的条傅里叶级数的条件比展成幂级数件比展成幂级数的条件低得多的条件低得多.例例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为),xxxf0,10,1)(解解: 先求傅里叶系数先求傅里叶系数xnxxfandcos)(100dcos11dcos) 1(1xnxxnx),2,1,0(0n将 f (x) 展成傅里叶级数. oyx11xnxxfbndsin)(10dsin12xnx0)c

7、os(2nxnnncos12nn) 1(12,4n,0,5,3,1n当,6,4,2n当nxxfnsin) 1(1 n12)(1n),2,0,(xxxxxf0,10,1)(),2,0,(xx77sin x99sinx1) 根据收敛定理可知,时,级数收敛于02112) 傅氏级数的部分和逼近33sinsin4)(xxxf55sin xoyx11说明说明: :), 2, 1, 0(kkx当f (x) 的情况见右图.xoy例例2.上的表达式为),xxxxf0,00,)(将 f (x) 展成傅里叶级数. 解解: xxfad)(100dcos1xxnxxnxxfandcos)(10d1xx0221x20co

8、ssin1nnxnxxn2cos1nn2332设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 01xnnxdsin), 2, 1(nxnxxfbndsin)(1nn 1) 1(),2,1(k12 knkn2, 00dsin1xnxx)(xf42) 1(1nann,2) 12(2k),2,1,0,) 12(,(kkxx)sin) 1(cos) 1(1(121nxnnxnnnnxxfad)(100d1xx0221x2说明说明: 当当) 12(kx时, 级数收敛于22)(0)(xf4),2,1,0,) 12(,(kkxx)sin) 1(cos) 1(1(121nxnnxnnnnxoy例例2.上的

9、表达式为),xxxxf0,00,)(2332设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 , )(xxf周期延拓)(xF傅里叶展开,)(在xf上的傅里叶级数定义在定义在 ,上的函数上的函数 f (x)的傅氏级数展开法的傅氏级数展开法), , )(xxf, )2(kxf其它例例3. 将函数将函数xxxxxf0, 0,)(级数 .oyx那么xxFad)(10 xxfd)(10d2xx0222xxnxxFandcos)(1xnxxfdcos)(10dcos2xnxx02cossin2nnxnnxx解解: 将将 f (x)延拓成以延拓成以 展成傅里叶2为周期的函数 F(x) , na)1cos(

10、22nn12 knkn2,0),2,1(k,2) 12(4kxnxxFbndsin)(1xnxxfdsin)(10)(xf2xnnnncos1) 1(212)(x例例3. 将函数将函数xxxxxf0, 0,)(级数 .展成傅里叶oyx0a例例4.2)(xxxf函数)(x叶级数展式为, )sincos(210nnnnxbnxaa则其中系. 3b数提示提示:xxxfbd3sin)(13xxxxd3sin)(21)3sin93cos3(2xxx03232利用“偶倍奇零”(93 考研)的傅里 xxxd3sin20三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数1. 周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数定理定

11、理4 . 对周期为对周期为 2 的奇函数的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数其傅里叶级数为为周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数 ,),2,1,0( dcos)(20nxnxxfan),3,2,1( 0nbn),2,1,0( 0nan0),3,2,1(dsin)(2nxnxxfbn它的傅里叶系数为正弦级数,它的傅里叶系数为例例5. 设设的表达式为 f (x)x ,将 f (x) 展成傅里叶级数.是周期为2 的周期函数,它在上),)(xf解解: 若不计若不计),2, 1,0() 12(kkx是则)(xf周期为 2 的奇函数, yxo0dsin)(2xnxxfbn),2,1,

12、0(0nan),3,2,1(n0dsin2xnxx因而02sincos2nnxnnxxnncos21) 1(2nnn1根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数:)(xf,(x)3sin312sin21(sin2xxx12nnxnnsin) 1(1),1,0,) 12(kkxyxo级数的部分和 n2n3n4上在),迫近 f (x) 的情况见右图.n52. 在0,上的函数展成正弦级数与余弦级数,0),(xxf)(xF周期延拓 F (x)(xF f (x) 在 0 , 上展成周期延拓 F (x)余弦级数奇延拓偶延拓xoy正弦级数 f (x) 在 0 , 上展成xoy, 0(),(xxf0, 0 x)

13、0,(),(xxf,0(),(xxf)0,(),(xxf1xyo例例6. 将函数将函数)0(1)(xxxf分别展成正弦级数与余弦级数 . 解解: 先求正弦级数先求正弦级数. 去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,0dsin)(xnxxf2nb0dsin) 1(2xnxx02cossincos2nnxnnxnnxxnnncoscos12, 2 , 1 , 00nan) 1() 1(12nn), 2, 1(n x012,1222knkknk2,1),2, 1(k21xxsin)2(x2sin2x3sin32x4sin4)0( x注意注意: 在端点 x = 0, , 级数的和为0 ,与给定函数1

14、xyo因此得 f (x) = x + 1 的值不同 . nxnxnnsin) 1() 1(1211) 1() 1(12nnnbnb), 2, 1(n再求余弦级数.x1y将)(xf则有o0a0d) 1(2xxna0dcos) 1(2xnxx0222xx202cossin2nnxnnxx1cos22nn12,) 12(42knkkn2,0),2, 1(k作偶周期延拓 ,0dcos2xnxxdcos0 xnx1) 1(22nn121xxcosx3cos312)0( xx5cos512说明说明: 令令 x = 0 可得可得8513112228) 12(1212nk即41212) 12(14kkxk)

15、12cos(1yox思考与练习思考与练习1. 将函数展开为傅立叶级数时为什么最好画出其图形 ?答答: 易看出奇偶性及间断点易看出奇偶性及间断点 , 2. 计算傅立叶系数时为什么有些系数要单独算 ?答答: 用系数公式计算时用系数公式计算时 , 如出现某些正整数作分母,这些正整数对应的系数就必须单独计算 .从而便于计算系数和写出收敛域 .内容小结内容小结1. 周期为 2 的函数的傅里叶级数及收敛定理 )sincos(2)(10 xnbxnaaxfnnn)(间断点x其中xxnxfandcos)(1xxnxfbndsin)(1),2, 1 ,0(n),2, 1(n注意注意: 假假设设0 x为间断点,则

16、级数收敛于2)()(00 xfxf2. 周期为 2 的奇、偶函数的傅里叶级数 奇函数正弦级数 偶函数余弦级数3. 在 0 , 上函数的傅里叶展开法 作奇周期延拓 , 展开为正弦级数 作偶周期延拓 , 展开为余弦级数1. 在在 0 , 上的函数的傅里叶展开法唯一吗上的函数的傅里叶展开法唯一吗 ?答答: 不唯一不唯一 , 延拓方式不同级数就不同延拓方式不同级数就不同 .思考与练习思考与练习处收敛于2.)(xf0 x,1 x0,12x则它的傅里叶级数在x在4x处收敛于 .提示提示:2)()(ff2 )(f)(f2222)4()4(ff2)0()0( ff21102设周期函数在一个周期内的表达式为 ,xyo113. 写出函数写出函数)(xf0, 1x x0, 1上在,傅氏级数的和函数 .)(xS0, 1x x0, 10 x,0 x,0答案:xyo11)(xfP355 1(1); 2 (1) , (2) ; 3(1) (3); 4; 5 ; 6作业作业 傅里叶傅里叶 (1768 1830)法国数学家. 他的著作热的解析 理论(1822) 是数学史上一部经典性 书中系统的运用了三角级数和 三角积分, 他的学生将它们命名为傅里叶级数和傅里叶积分. 最卓越的工具