BBD32换元积分法ppt课件

1、主讲教师主讲教师: 王升瑞王升瑞高等数学 第二十一讲二、第二类换元法二、第二类换元法第二节一、第一类换元法一、第一类换元法换元积分法 第三章 问题的提出：计算问题的提出：计算dxexdxx32cos32212xdxdxxa利用基本积分的公式和性质计算不定积分是非常有限。本节介绍不定积分的换元积分法简称换元法），它的基本思想是把复合函数的求导法则反过来利用换元法，可以通过适当的变量代换，把某些不定积分化为积分表中所列的积分形式，从而可以求出不定积分。用于不定积分。第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法xxxfd)()(uufd)(基本思路基本思路 设, )()(ufuF)(xu可导,x

2、xxfd)()(CxF)()(d)(xuuuf)()(xuCuF)(dxFxxxfd)()(则有引例：下列积分是否正确引例：下列积分是否正确xdxxIcossin2xdxx cos)cos1 (2（无法做）xxd sinsin2xusinduu2Cu 331Cx3sin31检验：)sin31(3Cxxxcossin2又如：xdxI2cosxx2cos2)2(sinx2cos（不能直接用公式）若直接用公式xdxI2cosCx2sin错！错！xdxI2cosxxd22cos21Cx2sin21ux2cos是复合函数一、第一类换元法一、第一类换元法定理定理1.,)(有原函数设uf,)(可导xu则有换

3、元公式xxxfd)()(uufd)()(xu)(d)(xxf(也称配元法即xxxfd)()(, 凑微分法凑微分法)例例1. 求求).1(d)(mxbxam解解: 令令,bxau那么,ddxau 故原式原式 =muuad1a1Cumm1111)() 1(1mbxamaC注注: 当当1m时bxaxdCbxaaln1xbxamd)()d()(xabxama1bCbxamam1)() 1(1即)(1baxdadx例例2. 求不定积分求不定积分解：解：.d113xeexxxeexxd113xeexxd1) 1() 1(2xxeexeexxd) 1(2Cxeexx221221d1xa例例3. 求求.d22

4、xax解解:22dxax2)(1axaxda1Caxaarctan1想到公式21duuCu arctan)(ax例例4. 求求).0(d22axax21duu想到Cu arcsin解解:2)(1daxax)(d)(xxf(直接配元)xxxfd)()(2)(1)(daxaxCax arcsin22dxax例例5. 求求.dtanxx解解:xxxdcossinxxcoscosdCx cosln?dcotxxxxxsindcosCx sinlnxxsinsindxxdtan类似Caxaxaln21例例6. 求求.d22axx解解:221ax )(axax)()(axaxa21)11(21axaxa

5、原式原式 =a21axxaxxdda21axax)(da21ax lnax lnCaxax)( d常用的几种配元形式常用的几种配元形式: xbxafd)() 1 ( )(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd1)()3()(nxfnxdn1nx1万能凑幂法xxxfdcos)(sin)4()(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)5()(cosxfxcosdxxxfdsec)(tan)6(2)(tan xfxtandxeefxxd)()7()(xefxedxxxfd1)(ln)8()(ln xfxlnd例例7. 求求.)ln21 (dxx

6、xxln21xlnd解解: 原式原式 =xln2121)ln21 (dxCx ln21ln21例例8. 求求.d3xxex解解: 原式原式 =xexd23)3d(323xexCex332例例9. 求求.dsec6xx解解: 原式原式 =xdxx222sec) 1(tanxtandxxxtand) 1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanCdxxxd21例例10. 求求.1dxex解法解法1xex1dxeeexxxd1)1 (xdxxee1)1 (dxCex)1ln(解法解法2 xex1dxeexxd1xxee1)1 (dCex)1ln()1(ln)1ln(xxxeee两法结果

7、一样xxsin11sin1121例例11. 求求.dsecxx解解 xxdsecxxdcosxx2sin1sindxsindxsin1ln21Cxsin1lnCxxsin1sin1ln21xxxdcoscos2例例1212dxxx221)(arcsinxdxarcsin)(arcsin2cx3)(arcsin31dxxx221)(arctanxdxarctan)(arctan2cx3)(arctan31xxeedx12xxedxe2)(1xxedecex arctan注意xdx2sinxdxxcossin2cxxxd2sinsinsin2cxxxd2coscoscos2xxd22sin21cx

8、2cos21xx22cos1sin22cos1cos2xx三个答案之间只相差一个常数例例13222d)(2123xax例例14. 求求.d)(23223xaxx解解: 原式原式 =23)(22ax22dxx21222)(aax22222)(daxax23)(2222axa)(d22ax 22ax 222axaCxdxxInmcossin在中1. 假设nm,中至少有一个为奇数，则用公式1cossin22xx例如：xdxxxdxxsin)sin1 (sincossin24342. 假设nm,均为偶数，则用公式降阶xxx2sin21cossin22cos1cos22cos1sin22xxxx小结小结

9、常用简化技巧:(1) 分项积分:(2) 降低幂次:(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法(4) 巧妙换元或配元等xx22cossin1; )2cos1 (sin212xx; )2cos1 (cos212xx万能凑幂法xxxfnnd)(1nnnxxfd)(1xxxfnd1)(nxnnxxfnd)(11利用积化和差; 分式分项;利用倍角公式 , 如思考与练习思考与练习1. 下列各题求积方法有何不同? xx4d) 1 (24d)2(xxxxxd4)3(2xxxd4)4(2224d)5(xx24d)6(xxxxx4)4(d22221)(1)d(xx22214)4(dxxxxd441241xx2

10、121xd2)2(4x)2(dxxxxd) 1(1102. 求求.) 1(d10 xxx提示提示:法法1法法2法法3 ) 1(d10 xxx10)x ) 1(d10 xxx) 1(1010 xx ) 1(d10 xxx)1 (d1011xxx101x10d x10110(x10dx101) 1(d10109xxxx二、第二类换元法二、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求xxxfd)()(uufd)()(xu若所求积分xxxfd)()(易求,则得第二类换元积分法 .难求，uufd)(如对：dxaxdxxa2222dxaxdxx221111定理定理2 . 设设)(tx是单调可导函数 , 且,

11、0)( t)()(ttf具有原函数 ,)(1d)()(d)(xttttfxxf.)()(1的反函数是其中txxt则有换元公式例例1. 求求. )0(d22axxa解解: 令令, ),(,sin22ttax那么taaxa22222sintacosttaxdcosd 原式tacosttadcosttadcos22Ca2222sin tt ax22xa taxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa2222cos1cos2tt例例2. 求求. )0(d22aaxx解解: 令令, ),(,tan22ttax那么22222tanataaxtasecttaxdsecd2

12、原式 ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttax22ax tln22ax a)ln(1aCCCaxx22lnxa1C例例3. 求求. )0(d22aaxx解解:,时当ax 令, ),0(,sec2ttax那么22222secataaxtatanxdtttadtansec 原式td ttatansectatanttdsec1tanseclnCttax22ax t1 lnCCaxx22ln)ln(1aCC22ax axa,时当ax令,ux,au 则于是22daxx22dauuCaxx22ln22daxx，时ax 122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)l

13、n2(1aCCCaxx22ln21) 1(22ta221a例例4. 求求.0d422xxxxa解解: 令令,1tx 为倒代换 , 那么txtdd21原式ttd12tttad) 1(212242112tta Cata2223) 1(23Cxaxa32223)(23) 1(d22ta说明：有的不定积分可用几种不同的方法来解。说明：有的不定积分可用几种不同的方法来解。0112xdxxxI例如 求 解法解法1 令令txtan解法解法2 令令解法解法3 令令tx1tx 21tdtxd2sectdtxdxtdtxd21tttdtIsectansec2dttI211221xxxdxItdt csctttdt

14、12小结小结:1. 第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型: ,d),() 1 (xbaxxfn令nbxat,d),()2(xxfndxcbxa令ndxcbxat,d),()3(22xxaxf令taxsin或taxcos,d),()4(22xxaxf令taxtan,d),()5(22xaxxf令taxsec第四节讲xxdtan)16(xxdcot)17(xxdsec)18(xxdcsc)19(Cx coslnCx sinlnCxx tanseclnCxxcotcscln2. 常用基本积分公式的补充 ( P184)(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换 ,d)()6(xafx令xat xxad1)20(22xxad1)22(22xaxd1)23(22xaxd1)21(22Caxaarctan1Caxaxaln21CaxarcsinCaxx)ln(22xaxd1)24(22Cax