BB85对弧长和曲线积分ppt课件

1、主讲教师主讲教师: 王升瑞王升瑞高等数学 第二十五讲第五节一、对弧长的曲线积分的概念和性质一、对弧长的曲线积分的概念和性质二、对弧长的曲线积分的应用二、对弧长的曲线积分的应用对弧长的曲线积分 第八章 二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法AB一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB , 其线密度为),(zyx“大化小, 常代变, 近似和, 求极限” kkkks),(可得nk 10limM为计算此构件的质量,ks1kMkM),(kkk1.1.引例引例: : 曲线形构件的质量曲线形构件的质量采用设 是空间中一条有限长的

2、光滑曲线,义在 上的一个有界函数, kkkksf),(都存在,),(zyxf上对弧长的曲线积分,记作szyxfd),(若通过对 的任意分割局部的任意取点, 2.定义定义是定),(zyxf以下“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.),(zyxf称为被积函数， 称为积分弧段 .曲线形构件的质量szyxMd),(nk 10limks1kMkM),(kkk和对假如 L 是 xoy 面上的曲线弧 ,kknkksf),(lim10Lsyxfd),(假如 L 是闭曲线 , 则记为.d),(Lsyxf则定义对弧长的曲线积分为考虑考虑:(1) 若在 L 上 f (x, y)1, ?d 表示什么

3、问Ls(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 ,但定积分中dx 可能为负. 此为一种新的和式极限。 定积分：分割对一元函数babaxxf,)(线积分： 分割。对二元函数LLyxyxf,轴上的一段时，在当xLknkkxf)0 ,(lim10不是定积分。0kkxS3. 性质性质szyxfd ),() 1 (szyxfkd),()2(（k 为常数)szyxfd),()3( 由 组成) 21, sd)4( l 为曲线弧 的长度),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(szyxfkd),(l21d),(d),(szyxfszyxf sdyxfsdy

4、xfABBA,5Lsyxfd),(kknkksf),(lim10由定义可知：此曲线积分不论积分弧段的方向如何，kS总取正值，定义中右端的和式极限不变，则有：换向不变号换向不变号tttttfsdyxfLd)()()(, )(),(22二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路基本思路:计算定积分转 化定理定理:),(yxf设且)()(tty上的连续函数,是定义在光滑曲线弧则曲线积分),(:txL,d),(存在Lsyxf求曲线积分说明说明:, 0, 0) 1 (kkts因此积分限必须满足!(2) 注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22因此上述计算公式相当于“换元

5、法”. xdydsdxyox如果曲线 L 的方程为),()(bxaxy则有Lsyxfd),(如果方程为极坐标形式:),()(: rrL那么syxfLd),()sin)(,cos)(rrf推广推广: 设空间曲线弧的参数方程为设空间曲线弧的参数方程为)()(, )(),(:ttztytx那么szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf小弧段的求法：22yxSxxy21yyx21ttytx22取极限得：lim0 xSdxxy21xdy21曲线：曲线： xy yx tytxSdlim0 yyyx21ydx21bxady

6、cSdlim0 tttytx22tdyx22t tytx曲线：syxfLd),(tttttfd)()()(),(22baxxf) )(,(xx d)(12 dcyyf),(yy d)(12)sin)(,cos)(rrfd)()(22rrsyxfLd),(极坐标：).(,sin,cos:,象限第椭圆求tbytaxLxydsIL解解dttbtatbtaI2220)cos()sin(sincosdttbtattab222220cossincossinabduubaabI222)sin)(2222btbau令.)(3)(22bababaab例例1.tdbtbaab2222220sinsin)(2sin

7、)(sin)()(2222222222022btbadbtbabaab例例2. 计算计算,dLsx其中 L 是抛物线2xy 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsxd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上点 O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1 (B xdxxdxsd222121)41 (d41812102xx例例3. 计算计算,dsxIL其中L为双纽线)0()()(222222ayxayx解解: 在极坐标系下在极坐标系下它在第一象限部分为)40(2cos:1 arL利用对称性 , 得sxILd4140

8、22d)()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arLyox例例4. 计算曲线积分计算曲线积分 ,d)(222szyx其中为螺旋的一段弧.解解: szyxd)(222dtt ktataka2022222)()sin()cos(ttkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatadsd)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax线tkad22d d s例例5. 计算计算,d)(222szyxI其中为球面22yx 解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2

9、(18d22920Id2cos221z. 1的交线与平面 zx292 z化为参数方程 21cos2x sin2y那么例例6：计算：计算：LsdyxIL 为图示三角形周界BOABOALx0, 1Ay01 , 0B解：解：100:xxdsdyOA102111:2xxdxdsdxyAB100:yydsdxOBOBABOAI10 xdx1012xd10ydy21例例7：计算：计算,dLsyI其中曲线 L 为单位圆从点A(0,1)到点23,21B解法一：解法一：23sincos:ttytxLtdsdtdtI03sintdt20sin2003coscostt231 , 0A0, 1C23,21B0 xyy

10、dyyxsdy222111ydy21121231yydyI20231yydy2101yydy02321y1021y2321:yxL123y解法二解法二1 , 0A0, 1C23,21B0 xy例例7：计算：计算,dLsyI其中曲线 L 为单位圆从点A(0,1)到点23,21B例例7：计算：计算,dLsyI其中曲线 L 为单位圆从点A(0,1)到点23,21B解法三：解法三：21:xyLxdxsd211CBACI210211xxdx2121211xxdx231 , 0A0, 1C23,21B0 xy例例8：计算：计算LyxsdeI22L 由0222aayx.0 xxxy轴如图所围成及x2,2aa

11、Ay00 , aB 解：解：xdsdxyoA2:02xattdasd43xdeaxOA0222xdeax20221aetdaeaAB43taytaxABsincos:BOABOALaea400:xaxdsdyBOx2,2aaAy00 , aB xdeaxBO0 xdeax010aaxee242aaLeaeI例例8：计算：计算LyxsdeI22L 由222ayx.0 xxxy轴如图所围成及例例9. 计算计算,d2sx其中为球面 2222azyx被平面 所截的圆周. 0zyx解解: 由对称性可知由对称性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz

12、d2例例101. 已知椭圆134:22yxL周长为a , 求syxxyLd)432(22提示提示:0d2sxyL原式 =syxLd)34(1222sLd12a12o22yx3利用对称性sxyLd2sxyLd2上sxyLd2下x2xyd1222)(2xxyd1222分析分析:xyo例例111. 设设 C 是由极坐标系下曲线是由极坐标系下曲线, ar 0及4所围区域的边界, 求seICyxd222)24(aeaa4xy 0yar 提示提示: 分段积分分段积分xeIaxd0d40aeaxeaxd2202三几何与物理意义三几何与物理意义,),() 1 (的线密度时表示当Lyx;),(LdsyxM;,1

13、),()2(LdsLyxf弧长时当,),(),()3(处的高时柱面在点上的表示立于当yxLyxf.),(LdsyxfS柱面面积sL),(yxfz ,)4(轴的转动惯量轴及曲线弧对yx.,22LyLxdsxIdsyI曲线弧的质心坐标)5(., LLLLdsdsyydsdsxx 考虑考虑: 例例9中中 改为改为0)1()1(2222zyxazyx如何计算?d2sx解解: 令令 11zZyYxX0 :2222ZYXaZYX, 那么sx d2sXd) 1(2sXd2332a)131(22aasX d2sda2圆的形心在原点, 故0XaX22例例1. 计算半径为计算半径为 R ,中心角为中心角为2的圆弧

14、 L 对于它的对称轴的转动惯量I (设线密度 = 1). 解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图,R xyoLsyILd2dsin2022RRdsin2023R0342sin22 R)cossin(3 R有对称性则 )(sincos:RyRxLsdyId2dRds 02212zzyxxy和被平面截下部分的面积 A 。解：解：如下图，先作柱面212xysdyxfAd,sdyx)2(sdyxfAAB,sdyxAB2yzxsdsB0 , 2AxdxxxA2202121220121:22xxdxsdxyAB32ln833316163例例2：求由抛物柱面：求由抛物柱面例例3：已知曲杆方程为：已知曲杆方程为

15、, 222xxy其上各点的密度241x求 1、曲杆的长 S . 2、质量 M .3、质心.,YXM4、曲杆的转动惯量.yIxy4 , 2A4 , 2B0解：解：xdxsd241LsdS. 1xdx20241274ln21122202412. 2xdxsdML376MsdyYXL0. 32 . 2)41 (27632022xdxxsdxIdy2. 4xdxxIy2022)41 (215848例例4 L为球面为球面2222Rzyx坐标面的交线 , 求其形心 . 在第一卦限与三个解解: 如下图如下图 , 交线长度为交线长度为RozyxRR1L3L2LslLd31423R23 R由对称性 , 形心坐标

16、为321d1LLLsxlxyz321ddd1LLLsxsxsxl1d2Lsxl20dcos2RRl34RRdds 例例5 设均匀螺旋形弹簧设均匀螺旋形弹簧L的方程为的方程为,sin,costaytax),20(tt kz(1) 求它关于 z 轴的转动惯量;zI(2) 求它的质心 .解解: 设其密度为设其密度为 (常数常数).syxILzd)(22202atkad222222kaa(2) L的质量smLd222ka 而sxLd22kaa20dcostt0(1)tkadsd22syLd22kaa20dsintt0szLd22kak20dtt2222kak故质心坐标为),0,0(k内容小结内容小结1. 定义定义kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性质性质kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(d