2017中考射影定理及其运用

1、相似三角形-射影定理的推广及应用射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中 应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若将定理中的直角三 角形条件非直角化，亦可得到类似的结论，而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练 地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。一、射影定理射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边 上的射影和斜边的比例中项。如图（1） : RtABC中，若CD为高，则有C D2 = B D ?AD

2、、B C 2 =BD ?AB或AC 2 = AD ? ABo二、变式推广1 .逆用 如图（1 ）:若aAB C中，CD为高，且有DCAD 或 AC 2=AD?AB或BC 2 = BD ?AB,则有/DCB = /A或/ACD = /B ,均可等到ABC为 直角三角形。2 . 一般化，若 ABC不为直角三角形，当点D满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。（后文 简称：射影定理变式（2）如图（2） : ABC 中，D 为 A B上一点，若/CDB = /ACB,或/DCB = ZA,则有D Bsa C B ,可得 B C 2 = B D ?AB ;反之，若 AAB C 中， D为A B上一点，且

3、有B C 2 = B D ?A B ,则有D a C B ,可得到/ C DB = Z ACB,或/DCB = /A。三、应用例1 如图（3）,已知：等腰三角形ABC中， AB = AC,高AD、 BE交于点H,求证：4 DH ?DA=BC 2分析： 易证/BAD = /CAD =90 0-/C = /HBD ,联想到射影定理变式（2）,可得 BD 2=DH?DA,又BC=2BD,故有结论成立。（证明略）例2 如图（4）:已知。O中，D为弧AC中点，过点D的弦BD被弦AC分为4和1 2两部分,求D C。分析：易得到/DBC = /ABD = /DCE,满足射影定理变式（2）的条件,故有CD 2

4、 =D E ?D B ,易求得D C= 8（解略）例3 已知：如图（5）, ABC中，人。平分/：6人（2, A D的垂直平分线交A B于点E,交AD于点H,交AC于点G,交BC的延长线于点F,求证：DF 2 = CF?BF。证明：连AF, ,尸11垂直平分人：0,，FA=FD, ZFAD=ZFDA,AD 平分/BAC,C AD = Z B AD,.ZFAD-ZCAD = ZFDA-ZBAD,1 .-zb = zfda-zbad,2 .Z F AC = Z B ,又/ A FC 公共，A F C FA F CAB F A, A-=,B F A F，AF2=CF ?BF,，DF 2 = C F

5、?BF。射影定理练习【选择题】1、已知直角三角形 VABC中，斜边 AB=5cm,BC=2cm , D为AC上的一点，DE AB交AB于E,且AD=,贝U DE=()A、B、C、D、2、如图1-1 ,在Rt VABC中，CD是斜别AB上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（）线段的长，就可以求其他线段的长A、 1B、2C、3D、41-13、在 RtVABC 中,BAC 90° ，AD BC于点D,若生J则变（A、B、C、169AB 4 CD一 9D、165、VABC 中,90°, ADBC 于点 D, AD=6 , BD=12 ,贝U CD=6、如图 2-1 ,在 RtV

6、ABC 中， ACB 90°, CD AB ， AC=6 , AD=,则 BC=7、已知 CD 是 VABC 的高，DE CA, DF CB ,如图 3-1 ,求证：VCEFsVCBA8、已知 CAB 90°, AD CB , VACE , VABF 是正三角形，求证： DE DFB口 C10、如图，在RtAABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH JBM且与AC的延长线交于点 E.求证:(1) AAED s£BM ;(2) AE?CM=AC?CD11、已知：如图，等腰 ABC中，AB=AC , AD1BC于D,过点B做射线BG ,交AD、AC于E、F两点,与过点C平行于AB的直线交于点 G。求