2018-2019学年浙江省舟山市高二下学期期末数学试题(解析版)

1、2018-2019学年浙江省舟山市高二下学期期末数学试题一、单选题1 .已知集合 A x| 2 x 2, B x|x 1 0 ,则 aUb （A. x| 2x1B. x| 1 x 2C. x|x 1D. x|x 2【答案】D【解析】通过并集运算即可得到答案.【详解】根据题意，可知B x|x 1 ,故aIJb x|x 2,故选D.【点睛】本题主要考查集合的并集运算，难度很小.2 .若 a R,则 “ a 2” 是 “ |a| 2” 的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】通过充分必要条件的定义判定即可【详解】 若 a 2,显然 |a|

2、2；若|a| 2,则 a 2 ,所以 “ a 2” 是 “ |a | 2的充分而不必要条件，故选A.【点睛】 本题主要考查充分必要条件的相关判定，难度很小3 .已知i是虚数单位，若z 号，则z的共钝复数Z等于()A.B.C.1 3iD.1 3i5【解析】通过分子分母乘以分母共钝复数即可化简，从而得到答案.【详解】1 i 1+2i1 3i-1 3i根据题意z=T ,所以z=了 ,故选C.1 2i 1+2i55【点睛】本题主要考查复数的四则运算，共钝复数的概念，难度较小.4 .已知等差数列 3的前n项和为Sn ,若a5 a7 a9 21 ,则&3()A. 36B. 72C. 91D. 18

3、2【答案】C【解析】通过等差数列的性质可得a7 7 ,从而利用求和公式即可 得到答案.【详解】由 a5 a? a9 21 得，3a7 21 ,即 a7 7 ,所以S13曳曳笋91,故选C.【点睛】本题主要考查等差数列的性质，难度不大.5 .已知函数y f(x)的导函数y f'(x)的图像如图所示，则f(x)()inJ 7 .D.既无极小值，也无极大值A.有极小值，但无极大值B.既有极小值，也有极大值C.有极大值，但无极小值【解析】 通过导函数大于 0 原函数为增函数，导函数小于 0 原函数为减函数判断函数的增减区间，从而确定函数的极值.【详解】由导函数图像可知：导函数y f'(

4、x)在 ,a上小于0,于是原函 数y f(x)在 ，a上单调递减，y广)在2,+ 上大于等于0, 于是原函数y f(x)在a,+ 上单调递增，所以原函数在x a处取 得极小值，无极大值，故选A.【点睛】本题主要考查导函数与原函数的联系，极值的相关概念，难度不 大.6 若直线l 不平行于平面 ，且 l ，则( )A内所有直线与l 异面B 内只存在有限条直线与l 共面C内存在唯一的直线与l 平行D内存在无数条直线与l 相交【答案】D【解析】通过条件判断直线l 与平面 相交，于是可以判断ABCD【详解】根据直线l不平行于平面，且l可知直线l与平面 相交，于是ABC!昔误，故选D.【点睛】本题主要考查

5、直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，难度不大.,17.在 ABC 中，cosA sinB ,且 b 2,贝 U ABC 的面积为（）2A. 、3B. 2、3C. 3D. 4,3【答案】B 1【角牛析】通过cosA sin B -,可求出A,B角度，从而利用面积公 式即得结果.【详解】,一 1一， 一 1,、5 由于 cosA 二，A （0,），可知 A=1,而 sinB ,B=或 B=（舍），232661故 C=,又 a btan60i 2s 所以 S abc . absinC. 2丁3 ,故选 B.【点睛】本题主要考查解三角形的综合应用，难度不大.8.已知各棱长均相等的正三棱锥、正四

6、棱锥、正五棱锥的侧面与底面所成角的大小分别为，则（）A.B.C.D.前三个答案都不对【答案】C【解析】通过作出图形，分别找出正三棱锥、正四棱锥、正五棱 锥的侧面与底面所成角，通过计算余弦值比较大小即可知道角度 大小关系.【详解】 如图，正三棱锥P ABC ,正四棱锥P ABCD ,正五棱锥P ABCDE , 设各棱长都为2,在正三棱锥中，取AC中点D,连接PD,BD可知cos3；同理cos u，cos11,于是 cos cos cos，而由PDB即为侧面与底面所成角，可知，PD=BD = V3,由余弦定理得于，为锐角，所以，故选C.正三桂程正四蹄悔正五陵椎【点睛】 本题主要考查面面角的相关计算

7、，意在考查学生的转化能力，空 间想象能力，计算能力，难度中等.9-把圆x2 (y 2)2 1和椭圆x2七1的公共点用线段连接起来，A.线段所得到的图形为()D.四边形B.等边三角形C.直角三角形【答案】B【解析】通过联立方程直接求得交点坐标，从而判断图形形状【详解】2x 0 x联立x (y 2) 1与x y 1可求得交点坐标为：y 3，共三点，连接起来为正三角形，故选 B.【点睛】本题主要考查圆与椭圆的交点问题，难度不大.10.已知函数 f(x) x2 ax b , m，n满足 m n且f(m) n m,f (n) m n ,则当 mx n时，有(A. f(x) x nB. f(x) x mC

8、. f(x) x 0D. f(x) x 0【答案】A【解析】设A(m,n m), B(n,m n),求出直线AB的方程，根据f(x)的 开口方向可得到f(x)与直线AB的大小关系，从而得到答案.【详解】设A(m,n m), B(n,m n),则直线AB的方程为V 2x m n ,即A,B 为直线y 2x m n与f(x)的图像的两个交点，由于f(x)图像开口 向上，所以当 m x n 时，f (x) 2x m n ,即 f(x) x x m n n, 故选A.【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的关系，求出AB直线是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，逻辑推理能力及计算能力， 难度中等.

9、二、填空题11 .若 0,2，cos ":，则 sin, tan2 【答案】|4 .5【解析】通过平方和与商的关系即可得到答案【详解】sincos，一 .-2由于 0, ,所以 sinVicostan33tan22tan1 tan245.【点睛】 本题主要考查平方和与商的关系，难度很小.12.某几何体的三视图如图所示，其中侧视图为半圆，则正视图 中 的正切值为，该几何体的体积为 .3【解析】通过三视图可判断原几何体为圆锥截去一半，于是可得正视图中 的正切值，该几何体的体积也可求得.【详解】 由三视图可知，原几何体为倒放着的截去一半的圆锥，于是母线4 ，1长为3,底面圆的半径为1,则身

10、为V31 2虚，故tan 丁2,2体积V 112 2、2 2笠【点睛】本题主要考查三视图的还原，圆锥的体积的计算，难度不大13.设数列an的前n项和Sn,若S2 5,an 1 3Sn 1,n N ,则a2【答案】4 85【解析】通过赋值即可得到a2的值，可先通过构造数列计算出Sn ，从而得到S4的值.由于 S2 5 ,即 a1 a2 5 ,而 an 1 3Sn 1 则 a? 3§ 1 ,解得a2an 1 3Sn 1 即 Sn 1 a 3& 1 , 11所以Sni + 04（ Sn鼻），33 一11等比数列，所以0 9 s2 133nnJ 2444工，所以Sn =33i所以3S

11、4 85.【点睛】本题主要考查数列前n项和a与an的关系，等比数列的通项公式,意在考查学生的分析能力，计算能力.y 014.在坐标平面上有两个区域 M,N, M由x y 0 所确定，N x y 2 0由t x t 1所确定，其中实数t 0,1,若点(xy)在区域M内，则 z x 2y的最小值为; M和N的公共面积的最大值为【点睛】 本题主要考查线性规划的综合应用，作图分类讨论是解决本题的 关键，意在考查学生的作图能力，转化能力，分类讨论的能力， 难度较大.2215.设下2是双曲线v 1的两个焦点，p是该双曲线上一点, 54且IPF1JPF2I 2:1 ,则PF1F2的面积等于.【答案】12【解

12、析】通过双曲线的定义可先求出|PF1 ,PF2的长度，从而利用余弦定理求得cos F1PF2,于是可利用面积公式求得答案.【详解】22_由于 2 9 1,因此 a 石，。3,故 IF1F2HC 6,由于 |PE :|PF22:154即 IPF1=2 PF2,而 |PF1IPF22a2 而，所以 |PF1=4 而，PF2=2 后,222cos F1PF21 加匚2口匚 1 2 4 ,所以 sin F1PF2 3 ,因此2PF1 PF255c1S PF1F2-|PF1|PF2|sin F1PF2 12.【点睛】本题主要考查双曲线定义，余弦定理，面积公式的综合应用，意在考查学生的分析能力，计算能力及

13、转化能力，难度中等.x a x a-16 .已知函数f(x) 19-,其中a °,若g(x) f(x) ax只有一个零点，则a的取值范围是22019【解析】把f (x)表示成分段函数，将一个零点问题转化成一个交点问题，作出图形，从而得到答案由题意，当x a时，f(x)就9 °，当x a时，f(x)就；而 g(x) f(x) ax的只有一个零点可转化为f(x)与直线y ax只有一个交点，作出图形，A(a,箫)，此时2a20192 ,斜率越来越a 2019小时，无交点，斜率越来越大时，有一个交点，故a的取值范围是2019【点睛】本题主要考查分段函数的图像，零点问题，将零点问题转

14、化成交 点问题是解决本题的关键，意在考查学生的作图能力，分析能力， 难度中等.17 .已知a,b是两个非零向量，且42, a 2b 2,则a b由的 最大值为.【答案】22【解析】构造a b m, b=n,从而可知m n,于是a b |b|的最 大值可以利用基本不等式得到答案.【详解】i,I由题意,令a b m, b=n,所以m nIa12, m n1a 2b12, 所以m nim ni,所以m n,所以a b ibi疝1,24|2曲2 242,当且仅当舟曲V2,且 m n时取等号.故答案为2点.【点睛】本题主要考查平面向量的几何意义，模，基本不等式等知识，考查学生的运算求解能力，难度较大.三

15、、解答题18 .已知函数 f(x) 2sin2x bsin xcosx 满足 f (一)2,其中 b R. 6'(1)求b的值及f(x)的最小正周期；5(2)当x 石时，求f(x)的取值.【答案】(1) b 2阴；T (2)最大值为3,最小值为1+6.【解析】(1)代入f(R 2即可得到b的值，化简整理f(x),利用周 6期公式即可得到答案；(2)当x4，52,利用第一问求得的解析式分析可得到最值.【详解】解：(1)由2, 得2 ； b ： 9 2,解得 b H32sin2 x2,3sinxcosx1 cos2x 3sinxcosx61 2sin 2x所以函数f x的最小正周期T一,5

16、时 2x ,sin 2x 14 12'63 362'所以f x的最大值为3,最小值为1+73【点睛】 本题主要考查三角函数中周期的计算，最值的计算，意在考查学生的基础知识，难度不大.19 .已知正四棱锥P ABCD中，底面是边长为2的正方形，高为企, M为线段PC的中点，N为线段AP的中点.（1）求证：PA/平面MDB ;（2）求直线CN与平面MBD所成角的正弦值.【答案】（1）见证明；（2）型5【解析】（1）要证明PA/平面MDB ,利用中位线可先证明OM /AP即可；(2)找出直线CN与平面BMD所成角为 MEC ,利用正弦定理即 可得到所成角的正弦值.【详解】解：(1)证

17、明：在四棱锥P ABCD中，连结AC交BD于点O,连结 0M ,因为在PAC中，M为PC的中点，。为AC的中点，所以0M为PAC的中位线，得OM/AP,又因为AP 平面MDB , 0M 平面MDB , 所以PA/平面MDB .(2)设 NC MO E,由题意得 BP BC DP 2, 因为M为PC的中点，所以PC BM , PC DM , 故PC 平面BMD .所以直线CN在平面BMD内的射影为直线0M ,MEC为直线CN与平面BMD所成的角，又因为OM/PA,所以 PNC MEC .由条件可得P0 后，AC 2丘,PA PC 2 , CO AO V2 ,所以 PC PA.在 Rt CPN 中

18、，CP 2 ,NP 1 ,所以NC后PC 2 -所以 sin MEC sin PNC5 ,NC 5'故直线CN与平面BMD所成角的正弦值为正. 5【点睛】本题主要考查线面平行的判定，线面所成角的相关计算，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力，难度中等.20 .已知等比数列an的前n项和Sn ,满足S4 5a2，且& §,已成等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn满足 aQ a2b2 a30 ( 1)n、nbn 10n n2 n N* ,记数列bn的前n项和Tn ,求Tn的最大值. n【答案】(1) an-1662【解析】(1)将题目中的条件转化为

19、首项和公比的式子，于是可得到通项公式；(2)通过条件先求出数列bn的通项，要想Tn的值最大，只需找出 bn 0, bn+10 即可.【详解】1解：(1) 2S3 s S2 a2 2a3 0 q 2S45a24ai 1 q c 2 2i5 al qa11 q2(2)当 n 1 时，a1b1 9,n 122当 n 2 时， 1anbn10n n 10 n 1 n 111 2n将 n 1 ta1b1 11 2 9 入成立，所以 1 n 1 anbn 11 2nbn11 2nn 11an11 2n 2n当 n 5时，bn0,当 n 6时，b00所以 Tn max T5166【点睛】本题主要考查等比数列

20、的通项公式，数列的最值问题，意在考查学生的基础知识，计算能力和分析能力，难度不大 .21 .已知圆D:(x 2)2 (y 1)2 1,点A在抛物线C:y2 4x上，。为坐标原点，直线OA与圆D有公共点.(1)求点A横坐标的取值范围；(2)如图，当直线OA过圆心D时，过点A作抛物线的切线交y轴 于点B,过点B引直线l交抛物线C于P,Q两点，过点P作x轴的垂 线分别与直线OA，OQ交于M，N ,求证：M为PN中点._9一、一【答案】(1) Xa -,(2)见证明【解析】(1)设loA：y kx,联立抛物线，再利用圆D与直线相交 建立不等式，从而确定点A横坐标的取值范围；(2)可先找到函数关系式，利

21、用导数确定切线的斜率，设221 ： y mx 4,P jyi ,Q粤呈，利用韦达定理即可证明M为PN 44中占 .【详解】解：(1)由题意直线0A斜率存在且不为零，设loA：y kxy kx42 Xa -2y 4xkD 2,1到l°A:kx y 0的距离为塔k2 1一9所以44,(2)当直线OA过圆心D 2,1 时，k4k216,A 16,82y 4x yy 2x1x ,所以kAB16lAB： y 816即y所以B 644,P2,Q 与,Y24由 loA ： y1xl2 ，4 VOQ : y x# YmY22Yi"T，Yn82YiY2ypmx4x2my4y 16 0,所以y

22、14Y2 ,YiY2m16mYn2YiY22Yi Y1+Y2Y1Y22 4Yi m16 m即M为PN中点.【点睛】 本题主要考查了直线与圆，抛物线的位置关系，切线问题等，综 合性强，直线与圆的相关计算常考点到直线的距离公式，必须熟 记.22.已知函数 f(x) (x 1)(ex a).(1)当a 0时，求f(x)的极值；(2)是否存在实数a ,使得f (x)与f'(x)的单调区间相同，若存在， 求出a的值，若不存在，请说明理由；(3)若 f(0) 0,求证：f(x) (e 1)ln x 2ex 2在x 1,)上恒成立.【答案】(1) f(x)极小值为 4,无极大值(2)不存在满足题意e的实数a. (3)见证明【解析】(1)当a 0时,可求导判断单调性，从而确定极值；(2)先求出f (x)的单调区间，假设存在，发现推出矛盾，于是不存在；(3)若 f (0) 0 ,令 g x = x 1 ex 1 e 1 ln x 2ex 2 ,求 g x 的 单调性即可证明不等式成立.【详解】解：(1)当 a 0 时，f(x) (x 1)ex, f(x) (x 2)ex ,f (x) 0 x