2018-2019学年江苏省南通市如皋市高一(下)期末数学试卷

1、2018-2019学年江苏省南通市如皋市高一（下）期末数学试卷、选择题：（本大题共 12小题，每小题4分，共48分）1. （4分）不等式L_x0的解集为（xA. 01B. (0C.(，0U1，)D.(,0)U1，)2. (4分)已知两条平行直线 3x 4y 60 和 3x 4y0之间的距离等于 2,则实数3.4.5.6.7.8.(4分)A. 65(4分)(4分)A. 3(4分)B. 4C. 4或16D.16设等差数列an的前n项和为Sn,若公差dB. 62C. 59已知正四棱锥的底面边长为3,a68,则6。的值为（D. 562,侧棱长为；5 ,则该正四棱锥的体积为（C. 4<34/3 D

2、.设等差数列an的前n项和为Sn,若am 11,S2m 1 121 ,则m的值为（B. 4C. 5D. 6若直线11 : yA. (2,0)（4分）在ABC中，角2, c(4分)若m /若若若m/ /nk（x 2）与直线l2关于点（1,2）对称，则直线I2恒过点（）B.A,B.(0,2)C. (0,4)D. (4,0)B,C所对的边分别为a, b, c ,若ABC 的面积 S <15 cos B ,设m , n为两条不同的直线,为两个不同的平面，给出下列命题:m/ / ，则所成的角和所成的角相等.其中正确命题的序号是A.B.C.D.-7 -2 ,则异面直线AC与BDi9. (4 分)在长

3、方体 ABCD ABCiDi 中，AB AA 2J2 , AD所成角的余弦值为（）A-甯B.1515-p 15C.15D.7 21210.（4分）设直线11 :x3y 7 0 与直线 12 ：x y 10的交点为P到直线l : x ay 2 a 0的距离最大值为（B. 4C. 3庭D.11. （4分）若实数x , y满足xy 6x4(01 ，一，一的最小值为（yB. 8C. 16D. 3212. （ 4分）在ABC 中，B 120AB<2 ,角A的平分线AD品,则BC长为（二、填空题（本大题共 4小题，每小题共20分）13. （ 5分）设等比数列 的前n项和为0 ,若a 1 , S6 5

4、s3 0 ,则a7的值为.14. （5分）过点（1,2）直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于 M、N两点，。为坐 标原点，当OM 2ON最小时，直线l的一般方程为 .15. （ 5分）已知P , A, B, C是王。的球面上的四点，PA, PB , PC两两垂直，PA PB PC ,且三棱锥 P ABC的体积为-,则球O的表面积为 .316. （5分）在ABC中，角A , B , C所对的边分别为a, b , c,若ABC的面积为3b , 且A, B , C成等差数列，则ac最小值为 .三、解答题（本大题共 6小题，共82分）17. （ 10分）如图，在四棱锥 P ABCD中，底面ABC

5、D为平行四边形，点 M为PC中点，且 PAB PDC 90(1)证明：PA/平面BDM ;(2)证明：平面 PAB 平面PAD .318. 12分在锐角 ABC中，角A , B , C所对的边分别为 a , b , c .已知A ,asinC -b .44(1)求tanB的值；(2)若c 3 ,求ABC的面积.19. (14 分)如图，在直柱 ABC AB1G 中，BC AC, AC CC1 , D, E 分别是棱 AB,AC上的点，且BC/平面ADE .(1)证明：DE /BC1 ;(2)求证：AC1 AB .220. ( 14 分)已知 f(x) x (3a 4)x 1(a R).(1)若

6、对任意的x (0,)，不等式f (x)。上恒成立，求实数 a的取值范围;(2)解关于x的不等式f(x) 2a2 5a 2 .21. （16分）在平面直角坐标系xOy中，已知点PC 坐标分别为(0,1) , (2,0) , (0,2),E为线段BC上一点，直线EP与x轴负半轴交于点A,直线BP与AC交于点D .（1）当E点坐标为（1,3）时，求直线OD的方程;2 2（16分）已知数列1的前n项和为& ,满足Sn 1 an,数列0满足卜1 ,bn 1(1)求数列an、bn的通项公式;(2)an, n为奇数,cn,，log 2an, n为偶数n N * ,求数列cn的前n项和Tn ；(3)对

7、任意的正整数是否存在正整数k ,使得abk ?若存在，请求出k的所有值;若不存在，请说明理由.2018-2019学年江苏省南通市如皋市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析、选择题：（本大题共 12小题，每小题4分，共48分）1. (4分)不等式L_x0的解集为()xA. 0, 1B. (0 , 1C. （, 0U1，）D. （,0）U1，）【解答】解：根据题意，Jx顺（1 x）x 0且x 0 ,x解可得：0 x, 1 ,即不等式的解集为（0, 1,0之间的距离等于 2,则实数a的2. （4分）已知两条平行直线 3x 4y 6 0和3x 4y aA . 1B. 4C. 4 或 16D. 16

8、【解答】解：由已知可得： 1a 6|2,解得a 4,或16 .32 42故选：C .3. （ 4分）设等差数列 4的前n项和为& ,若公差d 3 , a6 8 ,则4的值为（A. 65B. 62【解答】解：Qa6 a 5 3 8,C. 59D. 56-11 -47 ,c“，、10 9-cS。10( 7) 365.2故选：A .4. （4分）已知正四棱锥的底面边长为2,侧棱长为运，则该正四棱锥的体积为B.C. 4<343 D.【解答】 解：正四棱锥的底面边长是2,侧棱长为J5 ,底面对角线长为：2<2 .所以棱锥的高为：4口氢.所以棱锥的体积为：1 2 23 4-3335.

9、(4分)设等差数列，的前n项和为若为 11, S2m 1 121 ,则m的值为()A. 3B. 4C. 5D. 6【解答】解：Q等差数列an的前n项和为Sn , am 11 , S2m 1 121,1 a2m 1) -(2m 1)(am am) 11(2m 1) 121,2S2m 12m 1 , (a12解得m6. （4分）若直线l1：y k（x 2）与直线l2关于点（1,2）对称，则直线I2恒过点（）A. (2,0)B. (0,2)C. (0,4)D. (4,0)【解答】解：直线1i : y k(x2)恒过点P(2,0).设点P关于点（1,2）的对称点为Q(a,b),2- 1则 2 ，解得a

10、 0 , bU 22直线l2恒过点（0,4）.7. （4分）在ABC中，角A, B,C所对的边分别为a, b, c ,若ABC 的面积 S <75 cos B ,C.B. 2【解答】解：Qa三角形的面积S1-acsin B 2sin B 15 cosBsin B0,-2 _Qsin B2 、 cos BcosB由余弦定理可得,cosB22,2a c b214 1bb 2,8. (4 分)设m, n为两条不同的直线,为两个不同的平面，给出下列命题:若m /若m/ /若若m/ /n/所成的角和n与所成的角相等.其中正确命题的序A.B.C.D.【解答】解:n为两条不同的直线,为两个不同的平面，

11、给出下列命题:若m /m/ /n ,则n/或n ,因此不正确;若m/ /若n,则m ，或m/ ，或m与相交，因此不正确;若m/ /n/所成的角和n与所成的角相等，正确.其中正确命题的序9. （4分）在长方体ABCDABCiDi 中，AB AA 2J2, AD 2 ,则异面直线 AC 与 BDi所成角的余弦值为（）210A .15B.1515c,史157, 2D.12【解答】解：在长方体ABCDAB£Di 中,AB AA 2<2 , AD 2 ,以 D 为原点,DA为x轴，DC为y轴,DDi为z轴，建立空间直角坐标系,则 A(2 ,0, 0), C(0, 2屈,0),B(2 ,

12、2<2 , 0) , Di(0 , 0, 2阀,uuurAC ( 2 ,uuuu2应，0) , BD1 ( 22<2 , 2<2),设异面直线AC与BDi所成角为uuir uuuu则 cosJuAC酗15|AC|gBD1| l2g'20 15异面直线AC与BDi所成角的余弦值为1515(4分）设直线11 :x 3y 7 0与直线10.l2 ：x y 1 0的交点为P ,P到直线aya 0的距离最大值为（）B. 4C. 3V2D,布【解答】解:联立x 3y 7 0 ,解得x 12 .可得 P(1,2).直线l : x ay2 a 0 化为：x 2 a(y 1)0,因此直

13、线经过定点Q( 2,1).P到直线l : xay 2a 0的距离最大值为|PQ|.(1 2)2_2(2 1)11. （4分）若实数xy满足xy 6x4(0 x24，则一1 ，一，一的最小值为（B. 8C.16D.32【解答】解：实数xy满足xy 6x4(0 x2一) 32(0,-)，3y 0-13 -则f 1 y 6 1-2 6 8,当且仅当y 1, x 4时取等号.x yy74 1 一的最小值为8. x y故选：B .12. （ 4 分）在 ABC中，B 120 ,AB<2 ,角A的平分线AD 33 ,则BC长为(B. <2D. <6【解答】解:ABD 中,由正弦定理可得,

14、2sin ADB3 sin120-15 -sin ADBADB 45 , BAD15 , BAC CBC AB 我,0 ,则a7的值为 16、填空题(本大题共 4小题，每小题5分，共20分)13. (5分)设等比数列aj的前n项和为Sn ,若A 1 , S6 5S3【解答】解：Q等比数列an, a1 1, S6 5S3 0,631 q 51 q1 q 1 q整理可得，q3 4,687 a1q 16故答案为：1614. (5分)过点(1,2)直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于 M、N两点，。为坐标原点，当OM 2ON最小时，直线l的一般方程为_x y 3 0_.【解答】解：设直线l的方程

15、为：y 2 k(x 1)(k 0),可得M(1 - , 0) , N(0,2 k), k21 0. k ，又k 0 ,解得k 0 .2 k 0211 ，一.，一OM 2ON 1 2(2 k) 5 2( k -) -5 2 2 J( k)g 9,当且仅当 k 1 时 kkk取等号.当OM 2ON最小时，直线l的一般方程为y 2 （x 1）,化为：x y 3 0.故答案为：x y 3 0.15. （ 5分）已知P , A, B, C是王O的球面上的四点，PA, PB , PC两两垂直,PA PB PC ,且三棱锥P ABC的体积为-,则球O的表面积为 123【解答】 解：依题意，设PA PB PC

16、 a ,则三棱锥P ABC的体积V la3 463解得a 2,PA, PB , PC 两两垂直， PA PB PC ,所以三棱锥P ABC为棱长为2的正方体的一角，如图.设球的半径为r ,则2r PQ 梗222 2<3，即r近,所以球。的表面积S 4 r2 12 .故答案为：12 .16. （5分）在 ABC中，角A , B , C所对的边分别为a, b , c,若 ABC的面积为 b , 且A, B , C成等差数列，则ac最小值为 4 .【解答】 解：QA、B、C成等差数列，2B A C ,又Q A B C ,B 3，C 13.3S abc acb ,222ac 2b ,由余弦定理有

17、:.222b a c 2accosB,2(ac) arac4故填4.三、解答题(本大题共 6小题，共82分)17. ( 10分)如图，在四棱锥且 PAB PDC 90 .P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点 M为PC中点,(1)证明：PA/平面BDM ;【解答】证明:(2)证明：平面 PAB 平面PAD .(1)连接AC交BD于点O ,因为底面ABCD为平行四边形，所以 。为AC中占I 八)在PAC中，又M为PC中点，所以OM /PA ,又PA 平面BDM , OM 平面BDM ,所以PA/平面BDM .(2)因为底面 ABCD为平行四边形，所以 AB/CD ,又 PDC 90 即 C

18、D PD ,所以 AB PD ,又 PAB 90 即 AB PA,又 PA 平面 PAD , PD 平面 PAD , PAI PD P ,所以AB 平面PAD ,又AB 平面PAB ,所以平面 PAB 平面PAD .18. （12分）在锐角ABC中，角A , B , C所对的边分别为A 一 , asinC4(1)求tanB的值;ABC的面积.【解答】解：（1）在ABC由正弦定理得,sin Asin C因为C(A B),所以sin Csin(A B),-i19 -又因为A整理可得,sin B 2cos B ,3,所以 sin _sin(_B) sin B4444解得tan B（2）在锐角 ABC

19、中，因为所以sin B»2.将sin B 十代入得sin C 519. （14分）如图，在直柱ABCABC 中，BCAC , AC CC1 ,D, E分别是棱c”得b 2近sinCsin B1-22V2 3 3 .22在ABC由正弦定理1 . 一 所以 S ABC bcsin A 2AC上的点，且BC/平面ADE .(1)证明：DE /BG ；W 【解答】证明：（1）因为BC/平面(2)求证：AC1 AB .ADE , BC 平面 ABC ,平面 ABC平面ADE所以 BC /DE ;又在直棱柱 ABC ABG中，有BC/B1C1,所以 RC1 /DE ;(2)连接AC ,如图所示;

20、因为棱柱ABC ARG为直棱柱，所以 CCi平面ABC,又BC 平面ABC ,所以BC CC1 ,又因为 BC AC, AC 平面 ACC1A1, CCi 平面 ACCiA , ACI CCi C,所以BC 平面ACCi A ,又AC 平面ACCiAi ,所以BC ACi ；在直柱ABC ARG中，有四边形 AAGC为平行四边形；又因为AC CCi,所以四边形 AAGC为菱形，所以ACi AC ;又 BCI AC C , BC 平面 ABC , AC 平面 ABC,所以ACi 平面ABC ；又AB 平面A BC ,所以ac1 ab .220. (I4分)已知 f(x) x2 (3a 4)x i

21、(a R).(i)若对任意的x (0,)，不等式f (x)。上恒成立，求实数 a的取值范围;(2)解关于x的不等式f(x) 2a2 5a 2 .【解答】解：(1)对任意的x (0,), f(x) x2 (3a 4)x 1 0恒成立，1即3a 4 x 恒成立， x1因为当x 0时，x 2 (当且仅当x 1时取等号) x所以3a 4 2 ,即a 2 , 3 2故得实数a的取值范围是(，2)；3(2)不等式 x2 (3a 4)x 1 2a2 5a 2,22x2(3a4)x 2a25a 30,即x(a1)x (2a3) 0,当a 12a 3即a 2时，x ,当 a12a 3 即 a2 时，2a 3 x

22、 a1,当 a12a 3 即 a2 时，a 1 x 2a3,综上：当a 2时，不等式解集为；当a 2时，不等式解集为(2a 3,a 1);当a 2时，不等式解集为(a 1,2a 3).(0,2),21. (16分)在平面直角坐标系xOy中，已知点P, B, C坐标分别为(0,1) , (2,0),E为线段BC上一点，直线EP与x轴负半轴交于点 A ,直线BP与AC交于点D .(1)当E点坐标为 弓,"!)时，求直线OD的方程;(2)求 BOE与 ABE面积之和S的最小值.1 3【解答】解：(1)当E(q ,万)时，直线PE的方程为y x 1 .所以A( 1,0),直线AC的方程为y 2x 21又直线BP的万程为y 1 x 12又联立方程组得 D(