2018届高三数学基础专题练习：导数与零点答案版

1、2018届高三数学基础专题练习: 导数与零点（答案版）导数与函数的零点专题研究方程根或函数的零点的情况，可以通过导数研究函 数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求， 画出函数图象的走势规律，标明函数极 (最)值的位置，通过 数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、 直观的整体展现.例题精讲例 1、已知函数 f(x) = x33x2+ax+2,曲线 y= f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为一2.(1)求a; (2)证明：当k<1时，曲线y=f(x)与直线y=kx 2只有一个交点.解析：f' x) = 3x26x+a, f' (0)

2、a.曲线y=f(x)在点(0, 2)处的切线方程为y=ax+2,由题设得2= 2,所以a=1. a(2)证明 由(1)知)f(x) = x3 3x2 + x+2)设 g(x) = f(x) kx + 2=x3 3x2+(1 k)x + 4.由题设知1 k>0.当 xWO时)g'x)= 3x2 6x+1 k>0)g(x)单调递增)g(1)=k1<0, g(0) = 4,所以 g(x) = 0在(一8, 0有唯一实根.当 x>0 时)令 h(x) = x3 3x2 + 4)则 g(x)= h(x)+(1 k)x>h(x).在(2,直线yh'x) = 3

3、x26x=3x(x 2), h(x)在(0, 2)单调递减, + 8单调递增，所以g(x)>h(x)由(2)=0.所以g(x)=0在(0, +8没有实根.综上，g(x) = 0在R有唯一实根，即曲线y=f(x)与kx 2只有一个交点.例2、已知函数值=仁-细大4t尸.(I)讨论的单调性；(II)若阚有两个零点，求a的取值范 围.【解析】(I ) f (x) (x 1)ex 2a(x 1) (x 1)(ex 2a).(i )当 a 0时)则当 x 1 时)f(x) 0；当 x 1时)f (x)故函数f(x)在(，1)单调递减，在(1,)单调递增.(ii )当2。时)由 f (x) 0)解得

4、：x 1或 x ln( 2a)若 ln( 2a) 1)即 a ：)则 x R)f (x) (x 1)(ex e) 0故f(x)在(，)单调递增.若 ln(2a) 1)即 a | ?则当 x ( ,ln( 2a)U (1,)时)f (x) 0 ；当x (ln( 2a),1)时) f (x) 0故函数在(，ln( 2a) , (1,)单调递增；在(ln( 2a),1)单调递减.若 ln(2a) 1,即 a | ,则当 x ( ,1)U (ln( 2a),)时，f (x) 0 ；当x (1,ln( 2a)时，f (x) 0 ；故函数在(，1) , (ln( 2a),)单调递增；在(1,ln( 2a)

5、单调递减.(II )( i)当a 0时，由(I )知，函数f(x)在(，1)单调递减，在(1,)单调递增.又f(1) e,f(2) a,取实数b满足b 0且b ln2,则- a _223_f(b) 2(b 2) a(b 1) a(b /0f(x)有两个零点.(ii)若a 0,则f(x) (x 2)e*,故f(x)只有一个零点.(iii)若a 0,由(I)知，当a 2,则f(x)在(1,)单调递增， 又当x 1时，f(x)。，故f(x)不存在两个零点；当a f,则函数在(ln( 2a),)单调递增；在(1,ln( 2a)单调递减.又 当x 1时，f(x) 0,故不存在两个零点.综上所述，a的取值

6、范围是0,.例 3、设函数 f (x)x3 ax2 bx c.(I)求曲线y f(x)在点0, f 0处的切线方程；X在区间，上单调递增，所以fx不可能有三个(II)设a b 4,若函数f(x)有三个不同零点，求C的取值 范围；(III )求证：a2 3b 0是f(x)有三个不同零点的必要而不充 分条件.此时函数f 不同零点.当 4a2 12b0时)f x3x2 2ax b只有一个零点)记作当x ,X0时，fx0,fx在区间，X0上单调递增；当XX0,时，f x0,f x在区间X0,上单调递增.所以f x不可能有三个不同零点.综上所述，若函数f x有三个不同零点，则必有4a212b 0.故a2

7、 3b 0是f x有三个不同零点的必要条件.当a b 4, c 0时，a2 3b 0 , f xx3 4x2 4x x x 2 2 只有两个不同零点，所以a2 3b。不是f x有三个不同零点的充分条件.因此a2 3b。是f x有三个不同零点的必要而不充分条件.基础专练1,若函数f(x)=2x3 9x2+ 12xa恰好有两个不同的零点，则a可能的值为()1 . 4 B. 6 C. 7 D. 8答案A解析 由题意得 f'x0=6x218x+12=6(x1)(x2), 由 f' x)>0 得 x<1 或 x>2,由 f' x0<0 得 1<x&l

8、t;2,所以函数f(x)在(一8, 1),化，+8止单调递增，在(1, 2)上 单调递减，从而可知f(x)的极大值和极小值分别为f(1), f(2), 若欲使函数f(x)恰好有两个不同的零点，则需使f(1)=0或f(2)=0,解得 a = 5 或 a = 4,而选项中只给出了 4,所以选A.2 .设函数 f(x)=e2xaln x.讨论f(x)的导函数f'x)零点的个数;(2)证明:当a>0 时)f(x) >a+ aln2.aa解 f(x)的定义域为(0, +oo) f'x() = 2e2x x(x>0).当aWO时,f'x0>0, f'

9、x)没有零点.当a>0时，因为y=e2x单调递增，y= a单调递增，所x以f'x)在(0, +8止单调递增.又f，a)>0,当b满足0vb<4且1一,b<4时，f'b)<0,故当a>0时，f'x)存在唯一零点.(2)证明 由(1),可设f'x)在(0, +8的唯一零点为x。， 当 xG(0)x°)时)f'x)<0;当 xG(x0)+°°时)f'x)>0.故f(x)在(0, x0)上单调递减，在(x°, +8止单调递增， 所以当x=x0时，f(x)取得最小值，最

10、小值为f(x0).aa-22由于 2e2x0 =0)所以 f(x0) = o +2ax° + alnA2+aln.x02x0aa故当 a>0 时)f(x) >a+ aln2. a, 一一 x+a3 .已知函数f(x) = 一# V?(1)若f(x)在区间(一8, 2)上为单调递增函数，求实数 a 的取I范围；(2)若&= 0, xo<1,设直线y=g(x)为函数f(x)的图象在x=xo处的切线)求证：f(x)福(x).x _ 1 _ a解易得f x)=1)由已知得f x)n附V?xG (一8)2)恒成立，故xwa对xG (8)2)恒成立，1a n 2 -a

11、w1.x(2)证明a=0,则 f(x) = 1.V?函数f(x)的图象在 x = xo处的切线方程为y=g(x) =f ' x(0)(x xo) + f(xo).令 h(x) = f(x) g(x) = f(x) f'x6)(x xo)f(xo), xG R,则 h'x) = f'x) f'x(0)=1x 1 X0exexo1 x exo 1 xo exX+X0e设(Kx) = (1 x)ex0(1 x0)ex)xGR,则 / x()= ex。-(1-xo)ex, X0<1, x)<0,4x)在 R 上单调递减,而(Xx0)= 0,.当 x&

12、lt;xo时，*x)>0,当 x>xo时，*x)<0, 当 x<xo 时，h'x)>0,当 x>x0 时，h'x)<0,h(x)在区间(一°°, xO)上为增函数，在区间(x°, +8比为减函数，xGR 时，h(x)1(x0) = 0, .f(x)旬x).4.设 a>1,函数 f(x)= (1+x2)ex a.求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)在(一8, +8止仅有一个零点；(3)若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行，且在点 M(m, n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点)，证明：

13、mWa-e T解析：(1) f'x) = 2xex+(1 + x2)ex=(x2+2x+1)ex=(x + 1)2ex?xG R,f'x。A恒成立.，f(x)的单调增区间为(8)+oo).(2)证明 .f(0)=1 a, f(a)=(1 + a2)eaa: a>1 ) . f(0)<0 ) f(a)>2aea a>2a a = a>0) f(0)f(a)<0,，f(x)在(0, a)上有一零点，又f(x)在(一8, +8止递增,，仁)在(0, a)上仅有一，f(x)在(一OO, +8止仅有一个零点.(3)证明f' x()= (x+1)2ex)设 P(x0)y。),则 f' x0) = ex0(x0+ 1)2= 0.j.，一 .，、，匚 2)x0=1,把 x0= -1)代入 y=f(x)得 y0=1-a V?kop= a2 efm)= em