第五章常微分方程数值解法上机ppt课件

1、第五章第五章 常微分方程数值解常微分方程数值解 待求解的问题：一阶常微分方程的初值问题待求解的问题：一阶常微分方程的初值问题 : 0)(,),(yaybaxyxfdxdy 解的存在独一性解的存在独一性“常微分方程实际：只需常微分方程实际：只需 f (x, y) 在在a, b R1 上延续，且关于上延续，且关于 y 满足满足 Lipschitz 条件，即存在条件，即存在与与 x, y 无关的常数无关的常数 L 使使对恣意定义在对恣意定义在 a, b 上的上的 y1(x) 和和 y2(x) 都成立，那么上述都成立，那么上述IVP存在独一解。存在独一解。| ),(),(|2121yyLyxfyxf

2、11()()()nnny xy xy xh111111()()() ()()(,)nnnnnnnnnny xy xhy xy xyy xyyh f xy 0)(,),(yaybaxyxfdxdy111()()() ()()(,)nnnnnnnnnny xy xhy xy xyy xyyh f xy1(,) 0, 1,.nnnnyyh f xyn-Eulers Method5.2 欧拉方法欧拉方法1 Eulers MethodTaylor展开法展开法Matlab程序：程序：function E=euler10(a,b,N,y0)h=(b-a)/N;y=zeros(1,N+1);x=zeros(1

3、,N+1);y(1)=y0;x=a:h:b;for i=1:N y(i+1)=y(i)+h*(y(i)-2*x(i)/y(i)endE=x, y;Matlab程序：程序：function E=euler10(a,b,N,y0)h=(b-a)/N;y=zeros(1,N+1);x=zeros(1,N+1);y(1)=y0;x=a:h:b;for i=1:N y(i+1)=y(i)+h*(y(i)-2*x(i)/y(i)endE=x, y;运转：运转：E=euler10(0,1,10,1)Matlab程序：程序：function E=euler10(fun,a,b,N,y0)h=(b-a)/N;y

4、=zeros(1,N+1);x=zeros(1,N+1);y(1)=y0;x=a:h:b;for i=1:N y(i+1)=y(i)+h*feval(fun,x(i),y(i)endE=x, y;function z=f(x,y)z=y-2*x/y;运转：运转：E=eluer10(f,0,1,10,1)定义定义在假设在假设 yn = y(xn)，即第，即第 n 步计算是准确的前提下，步计算是准确的前提下，思索公式或方法本身带来的误差思索公式或方法本身带来的误差: Rn = y(xn+1) yn+1 , 称称为部分截断误差为部分截断误差 。阐明 显然，这种近似有一定误差，显然，这种近似有一定误差

5、，而且步长越大，误差越大，而且步长越大，误差越大，如何估计这种误差如何估计这种误差y(xn+1) yn+1 ？1 Eulers Method在在xn点用一阶向前差商近似一阶导数点用一阶向前差商近似一阶导数1()()()nnny xy xyxh111()()() ()()(,)nnnnnnnnnny xy xhy xy xyy xyyh f xyEulers methodxn+1点向后差商近似导点向后差商近似导数数11()()()nnny xy xy xh111111()()() ()()(,)nnnnnnnnnny xy xhy xy xyy xyyh f xy01(1)( )111(,)(,)nnnnkknnnnyyh f xyyyh f xy比Euler方法添加的步骤01(1)( )111(,)(,)nnnnkknnnnyyh f xyyyh f xy1(,) 0, 1,.nnnnyyh f xyn上机程序 编写要求完成一个程序，这个程序可以实现如下功能：完成一个程序，这个程序可以实现如下功能：可以实现可以实现 Euler方法方法+后退后退Euler方法方法+梯形格式梯形格式+改良改良的的Euler格式格式+Euler两步格式；两步格式；可以根据客户需求选择哪些方法；可以根据客户需求选择哪些方法；可以对一切方法的数值结果进展比较，特别是可以告可以对一切方法的数值结果进展