第 4 章 逻辑门和布尔代数 - SJTU

1、第 4 章 逻辑门和布尔代数第三部分：逻辑表达式简化逻辑表达式的标准表示法和真值表卡诺图内容提要o 用布尔代数的常用公式进行布尔表达式（逻用布尔代数的常用公式进行布尔表达式（逻辑表达式）的化简辑表达式）的化简o 逻辑表达式的标准形式n 标准和之积n 标准积之和o 卡诺图n 用卡诺图化简积之和n 用卡诺图化简和之积逻辑表达式的简化o 为什么要简化？n 用软件实现逻辑表达式时，可以减少判断，减少分支n 用硬件实现逻辑表达式时，可以减少门和连线的数量n 既然能简单，为什么要搞那么复杂？o 简化的方法n 使用布尔代数的常用公式n 使用卡诺图逻辑表达式的简化o 例：化简如下表达式n ab+a(b+c)+

2、b(b+c)=ab+ab+ac+bb+bc=ab+ac+b+bc=b(a+1+c)+ac=b+ac逻辑表达式的简化o ab+a(b+c)+b(b+c)=b+ac再来看一个例子()()()()( ()()()ab cbdab cabcab caca bcacacacac bcc aaa cc bcca bccbcabcbc()ab cbdab c内容提要o 用布尔代数的常用公式进行布尔表达式（逻辑表达式）的化简o 逻辑表达式的标准形式逻辑表达式的标准形式n 最小项和最大项最小项和最大项n 标准积之和标准积之和n 标准和之积标准和之积o 卡诺图n 用卡诺图化简积之和n 用卡诺图化简和之积内容提要o

3、 用布尔代数的常用公式进行布尔表达式（逻辑表达式）的化简o 逻辑表达式的标准形式n 最小项和最大项最小项和最大项n 标准积之和与标准和之积n 真值表与标准形式的关系o 卡诺图最小项（标准乘积项）o 最小项是包含所有变量（或其反变量）的乘积项乘积项n只有一个输入组合可以使最小项的值为1n该组合的二进制值就是最小项的编号o 例如：对于4变量的逻辑函数，w、x、y、z四个逻辑变量，有16个最小项nwxyz只有在各个变量分别等于0000时才为1，因此其编号是0，记为m0nwxyz只有在各个变量分别为1111时才为1，因此其编号为(1111)2，即15，记为m15o 简单的编号方法：原变量取1，反变量取

4、0，即可得到编号n例如：wxyz的编号是(1001)2,因此是m9最大项（标准求和项）o 最大项是包含所有变量（或其反变量）的求和项求和项n只有一个输入组合可以使最大项的值为0n该组合的二进制值就是最大项的编号o 例如：对于4变量的逻辑函数，w、x、y、z四个逻辑变量，有16个最大项n(w+x+y+z)只有在各个变量分别等于1111时才为0，因此其编号是(1111)2 ，即15，记为m15n(w+x+y+z)只有在各个变量分别为0000时才为0，因此其编号为(0000)2，记为m0o 简单的编号方法：原变量取0，反变量取1，即可得到编号n例如：w+x+y+z的编号是(0110)2,因此是m6内

5、容提要o 用布尔代数的常用公式进行布尔表达式（逻辑表达式）的化简o 逻辑表达式的标准形式n 最小项和最大项n 标准积之和标准积之和与标准和之积n 真值表与标准形式的关系o 卡诺图积之和、和之积o 积之和n sum of product: sopn 一系列乘积的和n 可以用与或门实现o 和之积n product of sum: posn 一系列和的乘积n 可以用或与门实现任意表达式到积之和表达式的转换o a(b+cd)=ab+acdo 用到了乘法的分配率n a(b+c) = ab+ac逻辑表达式的标准积之和形式o 是一个积之和o 每个乘积项均为最小项（一系列最小项之和）abababcabcabc

6、abcabd是积之和，但是不是标准积之和把积之和转化为标准积之和abcabd11abcabd ()()abcddabccdabcdabcdabcdabcd标准积之和的另一种形式o 每个最小项用其名字代替，可以简化表达式abcabcabcababm3m0a,b(0,3)m7m1m2a,b.c(1,2,7)内容提要o 用布尔代数的常用公式进行布尔表达式（逻辑表达式）的化简o 逻辑表达式的标准形式n 最小项和最大项n 标准积之和与标准和之积标准和之积n 真值表与标准形式的关系o 卡诺图积之和、和之积o 积之和n sum of product: sopn 一系列乘积的和式n 可以用与或门实现o 和之积

7、n product of sum: posn 一系列和的乘积n 可以用或与门实现任意表达式到和之积表达式的转换o a(b+cd)=a(b+c)(b+d)o 用到了”加法的分配率”n a+bc = (a+b)(a+c)()abcd abcdababcdcdabcd()()acd bcd()()()()acad bc bd任意表达式到和之积表达式的转换()abcd abcdababcdcdabcd()()acd bcd()()()()acad bc bd逻辑表达式的标准和之积形式o 是一个和之积o 每个求和项均为最大项（一系列最大项之积）()()ab ab()()()abcabcabc()()ab

8、cabd是和之积，但是不是标准和之积把和之积转化为标准和之积()()abcabd(0)(0)abcabd()()abcdd abccd()()()()abcd abcd abcd abcd使用加法的分配律标准和之积的另一种形式o 每个最大项用其名字代替，可以简化表达式()()ab ab()()()()abcd abcd abcd abcd03m m,(0,3)a bc011214m m m m, , ,(0,1,12,14)a b c dc内容提要o 用布尔代数的常用公式进行布尔表达式（逻辑表达式）的化简o 逻辑表达式的标准形式n 最小项和最大项n 标准积之和与标准和之积n 真值表与标准形式的

9、关系真值表与标准形式的关系o 卡诺图逻辑表达式和真值表o 逻辑表达式真值表abcabcabcinputoutputa b c00 000 101 001 110 010 111 011 111100000逻辑表达式和真值表o 逻辑表达式真值表abcabcabcabcinputoutputa b c00 000 101 001 110 010 111 011 110100011逻辑表达式和真值表o 逻辑表达式真值表abcabinputoutputa b c00 000 101 001 110 010 111 011 101000011逻辑表达式和真值表o 逻辑表达式真值表inputoutputa

10、 b c00 000 101 001 110 010 111 011 111111100()()abcabc逻辑表达式和真值表o 真值表逻辑表达式abcinputoutputa b c00 000 101 001 110 010 111 011 110100011abcabcabc+逻辑表达式和真值表o 真值表逻辑表达式abcinputoutputa b c00 000 101 001 110 010 111 011 110100011abcabcabc()()()()abcabcabcabc最小项和最大项之间的对偶关系o 最小项对应于真值表中值为1的项，而最大项对应于真值表中值为0的项o 如果逻辑函数标准积之和表达式中最小项编号的集合是a，最大项编号集合是b，那么|a+b|=2n,其中n是逻辑变量的个数o 例如：f(w,x,y,z)= w,x,y,z(1,2,3,5,7,11,13)