第十一章多元函数积分学ppt课件

1、第十一章第十一章 多元函数积分学多元函数积分学 第一节第一节 二重积分的概念与计算二重积分的概念与计算 第二节第二节 二重积分的概念与计算二重积分的概念与计算( (续续) ) 第三节第三节 二重积分运用举例二重积分运用举例 yxfz，且连续，0yxfxOyDDzV第一节 二重积分的概念与计算 一、二重积分的概念与性质1引例：曲顶柱体的体积1曲顶柱体 以曲面为顶以平面上的有界闭域为底，侧面是以的边境限为准线、母线平行于轴的柱面的立体如图称为曲顶柱体2曲顶柱体的体积假设曲顶柱体的高度不变，那么它的体积等于底面积高，但曲顶柱体的顶是曲面，因此不能直接用上面的公式求 例如，级数 的普通项为又如级数的普

2、通项为 简言之，数列的和式称为级数.定义2 设级数111的前项之和为 称Sn为级数的前项部分和当依次取1，2，3，时， 431321211.) 1(1nnun)311ln()211ln() 11ln()11ln(nunnkknnuuuuuS1321新的数列 ， ，数列 称为级数 的部分和数列假设此数列的极限存在，即 (常数),那么S 称为 的和，记作此时称级数 收敛假设数列 没有极限，那么称级数 发散，这时级数没有和 11uS 212uuSnnuuuS21nS1nnuSSnnlim1nnuSunn11nnunS1nnu当级数收敛时，其部分和 是级数和S的近似值，称 为级数的余项，记作 ，即 例

3、1 断定级数 的敛散性.解 知级数的前n项和是：nSnSS nr21nnnnuuSSr) 1(1431321211) 1(11nnnnn由于 ,所以这个级数收敛,其和为1.例2 断定级数的敛散性)111()3121()211 () 1(1321211nnnnSn111n1111limlimnSnnn111ln211ln11ln11lnnnn解解 知级数的前知级数的前n项和是项和是由于由于 ， 所以这个级数发散所以这个级数发散.例例3 讨论等比级数也称几何级数讨论等比级数也称几何级数的敛散性的敛散性. nnSn1ln11ln211ln11lnnSnnn1lnlimlim1121nnnaqaqaq

4、aaq解解 (1) 前前n项和项和当当 时，时， ，所以级数，所以级数 收敛，其和收敛，其和当当 时，时， 所以级数所以级数 发散发散.(2) 当当 时，时， 于是于是 1qqqaaqaqaqaSnnn11121qqaSnn1limqaS11qnnSlim11nnaq1q1q111nnnaaqnaSnnnlimlim所以级数 发散. 当 时， ，其前n项和显然，当n时，Sn没有极限.所以，级数 发散.综上所述，等比级数 ，当 时收敛, 当时发散. 11nnaq1q11111nnnnaaq为偶数时，当为奇数时，当nnaSn011nnaq11nnaq1q1q例如，级数1+2+4+8+2n-1+是公

5、比为2的几何级数, 由于 ，所以级数是发散的级数 是公比为-1的几何级数, 由于 ，所以该级数发散.留意 几何级数 的敛散性非常重要.无论是用比较判别法判别级数的敛散性，还是用间接法将函数展开为幂级数，都经常以几何级数敛散性为根底.12 q111nn1q11nnaq例例4 把循环小数把循环小数 化为分数化为分数.解解 把把 化为无穷级数化为无穷级数这是公比为这是公比为 的几何级数，由等比数列求和的几何级数，由等比数列求和公式公式63 . 063. 0n1003610036100361003663. 0321001100111001110036nnS所以这个无穷级数的和为 ，即 2数项级数的根本

6、性质 性质1 假设级数 收敛，其和为s, k为常数，那么级数 也收敛，其和为ks；假设级数 发散，当k0时，级数 也发散.由此可知，级数的每一项同乘以不为零的常数后，其敛散性不变. . 11499361001110036100111001110036limlimnnnnS11411463. 01nnu1nnku1nnu1nnku性质性质2 假设级数假设级数 与与 分别收敛于分别收敛于与与 ，那么级，那么级数数 ，收敛于，收敛于性质性质3 添加、去掉或改动级数的有限项，级数的敛散添加、去掉或改动级数的有限项，级数的敛散性不变性不变.性质性质4 假设级数假设级数 收敛，那么对其各项间恣意加括收敛，

7、那么对其各项间恣意加括号后所得的级数仍收敛，且其和不变号后所得的级数仍收敛，且其和不变.该当留意，性质该当留意，性质4的结论反过来并不成立的结论反过来并不成立.即假设加括即假设加括号后级数收敛，原级数未必收敛号后级数收敛，原级数未必收敛. . 1nnu1nnv1)(nnnvu1nnu例如级数 1-1+1-1+1-1+显然收敛于零，但级数1+1-1+1-1+却是发散的.性质5两边夹定理 假设 且 和 都收敛，那么 也收敛 nunvnw1nnu1nnw1nnv性质性质6级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件 假设级数假设级数 收敛，那么收敛，那么 例例5判别级数判别级数 的敛散性的敛散性解解 由于由

8、于所以级数所以级数 发散发散. 例例6判别级数判别级数 的敛散性的敛散性. 1nnu0limnnu12735231nn02112limlimnnunnn112nnn1111121nnnnn解解 级数级数 与级数与级数 都收敛，故由性质都收敛，故由性质2知，知，级数级数 收敛收敛.留意留意 性质性质6可以用来断定级数发散：假设级数普通项可以用来断定级数发散：假设级数普通项不趋于零，那么该级数必定发散不趋于零，那么该级数必定发散.该当看到，性质该当看到，性质6只是级数收敛的必要条件，并不是级数收敛的充只是级数收敛的必要条件，并不是级数收敛的充分条件，也就是说，即使分条件，也就是说，即使 ，也不能由

9、此断，也不能由此断定级数定级数 收敛收敛.下面的例下面的例9正阐明了这一正阐明了这一点：点： ，但级数，但级数 发散发散. 11121nnn111nnn1111121nnnnn0limnnu1nnu01limnn11nn例例7 证明调和级数证明调和级数 是发散级数是发散级数.证证 调和级数部分和调和级数部分和 如图，如图，调查曲线调查曲线 11nnnknkS11 ，所围成的曲边梯形的面 积S与阴影表示的阶梯形面积An之间的关系. 所以，阴影部分的总面积为它显然大于曲边梯形的面积S，即有01, 1,1ynxxxy和nAAAAn1,31,21, 1321nknkkknAA111131211nknn

10、knxdxxAA111111ln|ln1而 ，阐明A的极限不存在，所以该级数发散.nn1lnlim二、正项级数及其敛散性二、正项级数及其敛散性假设假设 0n=1,2,3，那么称级数，那么称级数 为正项级为正项级数数 定理定理1 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界数列有界.例例1 证明正项级数证明正项级数 是收敛的是收敛的证证 由于由于于是对恣意的有于是对恣意的有 nu1nnu0!1! 21! 111!1nnn, 4 , 3 , 221222113211!11nnnn即正项级数的部分和数列有界，故级数 收敛.定理2比较判别法 设 和 是两个正项级

11、数，且 (1)假设级数 收敛，那么级数 也收敛； (2)假设级数 发散，那么级数 也发散. 2221212111!11! 21! 111nnnS3213211211121nn0!1nn1nnu1nnvnnvu 1nnv1nnu1nnu1nnv例例2 讨论讨论 级数级数 的敛散性的敛散性 解解 当当 时，时， ，由于，由于 发散，所以由比较判别法知，发散，所以由比较判别法知，当当 时，发散时，发散.当当 时，依次把时，依次把 级数的第级数的第1项，第项，第2项到第项到第3项，项，4到到7项，项，8到到15项，项，加括号后得加括号后得它的各项显然小于级数它的各项显然小于级数 P11npn0P1Pn

12、np1111nn1P1PP)15181()71615141()3121(1pppppppp)8181()4141()2121(1pppppp对应的各项，而所得级数是等比级数，其公为 ，故收敛，于是当 时，级数 收敛.综上所述， 级数 当 时发散，当 时收敛.留意 级数在判别正项级数的敛散性方面经常用到，因此有关 级数敛散性的结论必需牢记. 31211)21()21(211ppp1211pP1P11npnP11npn1P1PPP 例例3断定级数断定级数 的敛散性的敛散性. 解解 由于级数的普通项由于级数的普通项 满足满足而级数是而级数是p2的的 级数，它是收敛的，所以原级数级数，它是收敛的，所以

13、原级数也是收敛的也是收敛的.411631521nn411nnun214110nnnP例例4 判别级数判别级数 的敛散性的敛散性.解解 由于由于 而而 是由调和级数去掉前两项后所得的级数，是由调和级数去掉前两项后所得的级数，它是发散的，所以由比较判别法知级数它是发散的，所以由比较判别法知级数 发散发散. 12131nnnn2123113122nnnnnnnun121nn12131nnnn定理定理3达朗贝尔比值判别法达朗贝尔比值判别法 设设 是一个正项级数，并是一个正项级数，并且且 ，那么，那么 (1)当当 时，级数收敛；时，级数收敛； (2)当当 时，级数发散；时，级数发散； (3)当当 时，级

14、数能够收敛，也能够发散时，级数能够收敛，也能够发散.例例5 判别以下级数的敛散性判别以下级数的敛散性 (1) ； (2) 1nnuquunnn1lim1q1q1q1223nnnn1!11nn 解解 (1) 所以级数所以级数 发散；发散； (2)所以级数所以级数 收敛收敛. 2222121113lim32213limlimnnnnuunnnnnnnnn12311123lim2nn1223nnnn101lim!1limlim1nnnuunnnnn1!11nn要判别一个正项级数能否收敛，通常按以下步骤进展：(1)用级数收敛的必要条件假设 ，那么级数发散，否那么需进一步判别. (2)用比值判别法 假设

15、 ，即比值判别法失效，那么改用比较判别法. (3)用比较判别法用比较判别法必需掌握一些敛散性知的级数，以便与要断定的级数进展比较，经常用来作为比较的级数有等比级数， 级数等. 0limnnu1lim1nnnuuPP三、交错级数及其敛散性三、交错级数及其敛散性级数级数 称为交错级数称为交错级数.定理定理4莱布尼兹判别法莱布尼兹判别法 假设交错级数假设交错级数 满足莱布尼兹满足莱布尼兹(Leibniz)条件条件: (1) (2) 那么级数那么级数 收敛，其和收敛，其和 S ，其他，其他项项 ),2,1, 0() 1(11nuunnnn),2,1, 0() 1(11nuunnnn, 3 , 2 ,

16、1,1nuunn0limnnu),2,1, 0() 1(11nuunnnn1unr1nu例例6 断定交错级数断定交错级数 的敛散性的敛散性.解解 此交错级数此交错级数 ，满足：，满足： (1) ； (2) 由莱布尼兹判别法知级数收敛由莱布尼兹判别法知级数收敛.四、绝对收敛与条件收敛四、绝对收敛与条件收敛 定义定义3 对于恣意项级数对于恣意项级数 ,假设假设 收敛，那么称收敛，那么称 是绝是绝对收敛的；假设对收敛的；假设 收敛，而收敛，而 发散，那么称发散，那么称 是条是条件收敛的件收敛的.nn114131211111,11nununn111nn01limlimnunnn1nnu1nnu1nnu

17、1nnu1nnu1nnu定理定理5 绝对收敛的级数必是收敛的绝对收敛的级数必是收敛的.现实上，假设现实上，假设 收敛，收敛， 由于由于 故从性质故从性质1及性质及性质5知知 也是收敛的也是收敛的. 例例7 断定级数断定级数 的敛散性的敛散性.解解 由于由于 ， 而级数而级数 收敛，故由比较收敛，故由比较判别法可知级数判别法可知级数 收敛，从而原级数收敛，从而原级数 绝对收敛绝对收敛.1nnunununu1nnu12sinnnna2sinnna21n121nn12sinnnna12sinnnna例例8 判别级数判别级数 的敛散性，阐明能否绝对收的敛散性，阐明能否绝对收敛敛. 解解 由于由于 故由

18、比值判别法可知级数故由比值判别法可知级数 收敛，所以原收敛，所以原级数级数 绝对收敛绝对收敛.11131nnnn13131lim331limlim11nnnnuunnnnnnn1113nnnnnu11131nnnn例例9 判别级数判别级数 能否绝对收敛能否绝对收敛. 解解 由于由于 故由比值判别法可知级数故由比值判别法可知级数 发散，从而原发散，从而原级数级数 不是绝对收敛不是绝对收敛. 11!1nnnnn111lim1lim!11limlim11ennnnnnnuunnnnnnnnnnn11!nnnnnnu!111nnnnn例例10 证明级数证明级数 条件收敛条件收敛. 证证 由莱布尼兹判别

19、法知级数由莱布尼兹判别法知级数 收敛，而收敛，而 为调和级数，它是发散的，故所给为调和级数，它是发散的，故所给级数条件收敛级数条件收敛.111nnn111nnn11111nnnnn 第二节第二节 幂级数幂级数 一、幂级数的概念一、幂级数的概念1.函数项级数函数项级数假设级数假设级数 ( 11.2) 的各项都是定义在某个区间的各项都是定义在某个区间I上的函数，那么称该级数上的函数，那么称该级数2.2为函数项级数，为函数项级数，un(x)称为普通项或通项称为普通项或通项.当当x在在I中取某个特定值中取某个特定值 时，函数项级数时，函数项级数( 2.2就是一个常就是一个常数项级数数项级数.假设这个级

20、数收敛，那么称点假设这个级数收敛，那么称点 为这个级数的为这个级数的一个收敛点。假设发散，那么称点一个收敛点。假设发散，那么称点 为这个级数的发散点为这个级数的发散点.一个函数项级数的收敛点的全体称为它的收敛域一个函数项级数的收敛点的全体称为它的收敛域. 对于收敛域内的恣意一个数对于收敛域内的恣意一个数x，函数项级数成为一个收敛，函数项级数成为一个收敛的常数项级的常数项级 数，因此有一个确定的和数，因此有一个确定的和 S，在收敛域内，函数项级数的，在收敛域内，函数项级数的和是和是 x 的函数的函数 )()()(21xuxuxun0 x0 x0 xS(x)，通常称S(x)为函数项级数的和函数，即

21、 其中 x 是收敛域内的任一点.将函数项级数的前项和记作 ，那么在收敛域上有 2.幂级数的概念 形如 (11.3)()()()(21xuxuxuxSn)(xSn)()(limxSxSnnnnnnnxxaxxaxxaaxxa020201000的函数项级数，称为 的幂级数，其中常数 称为幂级数的系数. 当 0时，11.3幂级数变为 (11.4)称为 x 的幂级数. (1)幂级数的收敛半径 x 的幂级数各项取绝对值，那么得到正项级数0 xx ,210aaana,0 xnnnnnxaxaxaaxa22100由比值判敛法其中 当 时，假设 ，即 ，那么级数(11.4)收敛，假设 即 ，那么级数11.4发

22、散.这个结果阐明，只需 就会有一个对称开区间-，在这个区间内幂级数绝对收敛，在这个区间外幂 nnnnnxaxaxaaxa22100 xxaaxaxauunnnnnnnnnnn1111limlimlimnnnaa1lim01xRx11xRx10RR级数发散，当 x =R 时，级数能够收敛也能够发散.称 为幂级数11.4的收敛半径.当 时， ，那么级数11.4对一真实数 x都绝对收敛，这时收敛半径 . 假设幂级数仅在 x0一点处收敛，那么收敛半径R0. 定理1 假设x的幂级数11.4的系数满足 那么 (1)当 时， 1R010 xRnnnaa1lim01R (2)当 时， (3)当 时， (2)幂

23、级数的收敛区间 假设幂级数(11.4)的收敛半径为 R，那么-R，R称为该级数的收敛区间，幂级数在收敛区间内绝对收敛，把收敛区间的端点xR 代入级数中，断定数项级数的敛散性后，就可得到幂级数的收敛域.0R例例1求以下幂级数的收敛半径及收敛域求以下幂级数的收敛半径及收敛域 (1) (2) (3)解解 (1) 由于由于 所以幂级数的收敛半径所以幂级数的收敛半径 .所以该级数的收敛域为所以该级数的收敛域为-，+；0!nnnx1nnnx1nnnxn011lim!1!limlim1nnnaannnnnR (2)由于 所以所给幂级数的收敛半径R=1.因此该级数的收敛区间为-1，1当x1时，级数为调和级数，

24、发散 ；当x=-1时，级数为交错级数，收敛 故该级数的收敛域为 -1,1) . 11limlim1nnaannnn11nn1) 1(nnn(3) 由于所以所给幂级数的收敛半径 .因此没有收敛区间，收敛域为 ，即只在 处收敛.111lim1limlim11nnnnaannnnnnnn0R0|xx0 x例例2 求幂级数求幂级数 的收敛半径的收敛半径解解 所给级数短少偶次方项，根据比值法求收敛半所给级数短少偶次方项，根据比值法求收敛半径径 当当 ，即，即 时，所给级数绝对收敛；当时，所给级数绝对收敛；当，即，即 时，所给级数发散时，所给级数发散. 因此，所给级数的收敛半径因此，所给级数的收敛半径 .

25、0122nnnx2212121122lim22limlimxxxxuunnnnnnnnn122x22x122x22x22R二、幂级数的性质二、幂级数的性质性质性质1 幂级数的和函数在收敛区间内延续，即假设幂级数的和函数在收敛区间内延续，即假设 ，x-R，R那么那么 在收敛区间在收敛区间内延续内延续. 性质性质2 设设 记记 ，那么在，那么在-R,R内有如下运算法那内有如下运算法那么：么： (1)加减法运算加减法运算 0nnnxfxa xf ,;,0110nnnnnnxgxbRRxxfxa22,RRx21,minRRR 000nnnnnnnnnxgxfxbaxbxan(2)乘法运算 性质3微分运

26、算 设 ，收敛半径为 R ，那么在 -R , R内这个级数可以逐项求导，即且收敛半径仍为 R . 00nnnnnnxbxa2021120011000)()(xbababaxbababannnnxbababa)(0110 xgxf 0nnnxSxa xSxnaxaxannnnnnnnn0100性质性质4积分运算设积分运算设 ，收敛半径为，收敛半径为 R ，那么在那么在-R ,R内这个级数可以逐项积分，即内这个级数可以逐项积分，即且收敛半径仍为且收敛半径仍为.例例3 知知 ，利用逐项积分，利用逐项积分的性质，可以得到的性质，可以得到 0nnnxSxa 00100001nxnnnxnnxnnndxx

27、Sxnadxxadxxa1 , 11112nxxxxxxndxxxxxdxx002111ln当 x = -1 时， 收敛； 当 x = 1 时， 发散.故收敛域为-1,1) ，即13121132nxxxxn111312111nnn131211) 1 , 1132)1ln(132nxxxxxn例例4 求求 的和函数的和函数 解解 设设 两端求导得两端求导得 两端积分得两端积分得即即 0121211nnnxn 012121) 1(nnnxnxS 1 , 1,11120202xxxxxSnnnn 1 , 1,arctan1102xxdxxxSx1 , 1,arctan1211012xxxnnnn 当

28、 x = -1时， 收敛； 当 x = 1时， 收敛， 所以 12110nnn12110nnn1 , 1,arctan1211012xxxnnnn三、将函数展开成幂级数三、将函数展开成幂级数 1泰勒公式与麦克劳林公式泰勒公式与麦克劳林公式(1) 泰勒公式泰勒公式定理定理2泰勒中值定理泰勒中值定理 假设函数假设函数 f(x) 在在x0 的某邻的某邻域内有直至域内有直至 n+1阶导数，那么对此邻域内恣意点阶导数，那么对此邻域内恣意点x，有，有 的的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 )(xf 200000! 2! 1xxxfxxxfxfxf xRxxnxfnnn00!成立，其中 为阶泰勒公式的余项，当 时

29、，它是比 高阶的无穷小，余项 的拉格朗日型表达式为 (2) 麦克劳林公式在泰勒公式中当时，那么有麦克劳林公式 xRn0 xx nxx0)(xRn )(!10101之间与在xxxxnfxRnnn xRxnfxfxffxfnnn!0! 20! 1002其中， 2、泰勒级数与麦克劳林级数设 f(x)在所讨论的邻域内具有恣意阶导数 称级数 之间与在xfnxxRnnn0,!111200000)(! 2)( )( )(xxxfxxxfxf ),(,),(),( xfxfxfn )6 .11()(!)(00nnxxnxf为 在 处的泰勒级数，其系数 称为 在 处的泰勒系数.其前 n+1项和 由泰勒公式得：)

30、(xf0 xx ,!)(,! 2)( ),( ),(0000nxfxfxfxfn)(xf0 x2000001)(! 2)( )( )()(xxxfxxxfxfxSnnnxxnxf)(!)(00)()()(1xRxSxfnn因此当 时，必有 即泰勒级数收敛，其和函数为 .反之，假设级数收敛于 于是得到下面的定理. 0)(limxRnn)(0)()()(lim)(lim1xfxfxRxfxSnnnn)(xf0)()()()(lim)(lim1xfxfxsxfxRnnnn 定理定理3 假设在假设在 的某个邻域内，函数的某个邻域内，函数 具有恣意具有恣意阶导数，那么函数阶导数，那么函数 的泰勒级数的泰

31、勒级数11.6收敛于收敛于 的的充分必要条件是：充分必要条件是： 当当 时泰勒余项时泰勒余项 假设假设 在在 处的泰勒级数收敛于处的泰勒级数收敛于 ，就说，就说 在在 处可展开称泰勒级数，那么处可展开称泰勒级数，那么(11.6)式为式为 在在 处的泰勒展开式，也称处的泰勒展开式，也称 关于关于 的的 幂级数，也记幂级数，也记为为 0 xx )(xf)(xfn0)(xRn)(xf0 xx )(xf)(xf0 xx )(xf0 xx )(xf)(xf0 xxnnnxxnxfxf)(!)()(000)(当 时，11.6式成为称为函数 f (x) 的麦克劳林展开式，也记为00 x ,!)0(! 2)0

32、( )0( )0()(2nnxnfxfxffxfnnnxnfxf0)(!)0()(3、将函数展开成幂级数的方法、将函数展开成幂级数的方法 (1)直接展开法直接展开法 把把 f (x)展开成的幂级数，可按以下步骤进展：展开成的幂级数，可按以下步骤进展：求出求出f (x) 的各阶导数的各阶导数 计算计算f (x) 及其各阶导数在及其各阶导数在x0处的值，处的值， ),(),( ),( xfxfxfn ),0(,),0( ),0( ),0(nffff 写出幂级数 并求出它的收敛区间；调查当x在收敛区间内时，余项 的极限能否为零，假设为零，那么由上式所求得的幂级数就是f (x) 的幂级数的展开式. n

33、nxnfxfxff!)0(! 2)0( )0( )0(2)(nnxR 例例1 将函数将函数 展开成展开成 x 的幂级数的幂级数 解解 由于由于 n=1，2，3，所以，所以， n =1，2，3， 又又, f (0)=1因此得级数因此得级数 ，它的收敛区间为它的收敛区间为 . 对于任何实数对于任何实数 x，有，有 xey xnexf 10 nf! 3! 2132nxxxxn),( 1!1nnxnexR之间与在x0 1!1nxnxnexR因 是收敛级数 的通项，所以 而 是有限正实数，因此 即 ,因此从而得到 的幂级数展开式 !11nxn01!1nnnx0!1lim1nxnnxe0!1lim1nxn

34、xne 0limxRnn 0limxRnnxe032),(! 3! 21nnnxnxnxxxxe例例2 将函数将函数 展开成展开成x的幂级数的幂级数 解解 由于由于 ，n1，2，3 而而f(n)(0)依次循环取四个数依次循环取四个数1，0，-1，0，所以得级，所以得级数数对于任何有限实数，对于任何有限实数， xxfsin 2sinnxxfn0)0(f!121! 5! 31253nxxxxnn!121120nxnnn, 1!121sinnnxnnxR之间与在x0于是得的幂级数展开式类似地，还可以得到下述函数的幂级数展开式： -1，1 )(0!11nnxxRnn01212753!121!121!

35、7! 5! 3sinnnnnnnxnxxxxxx),(nxxxx2111当m为实数时， 它的收敛半径R=1，在 处展开式能否成立，要根据m的数值，看右端级数能否收敛而定.例如 当m =-1时 (-1,1)32! 321! 2111xmmmxmmmxxmnxnnmmm!111xnnxxxxx111132(2)间接展开法 间接展开法是指从知函数的展开式出发，利用幂级数的运算规那么得到所求函数的展开式的方法. 例3 将函数 展开成x的幂级数 解 知 -，+ xxfcos)(!121! 7! 5! 3sin12753nxxxxxxnn!121120nxnnn而 利用逐项求导公式，得到 -，+sinco

36、sxx !21! 8! 6! 4! 21cos28642nxxxxxxnn02!21nnnnx 例例4 将函数将函数 展开成展开成x 的幂级数的幂级数 解解 知知 -1，1将上式从将上式从0到到 x 逐项积分，得到逐项积分，得到 xxf1ln03211111nnnnnxxxxxx114321ln1432nxxxxxxnn1111nnnnx这个级数的收敛半径R=1当x1时，右端级数成为这个级数是收敛级数. 当x-1时，右端级数成为 这个级数是发散级数.因此 nn1141312111n14131211nxxxxxxnn 143214321ln 1,1() 1(11nxnnn四、幂级数的运用四、幂级

37、数的运用 1.函数值的近似计算函数值的近似计算例例5 计算的计算的 e 近似值近似值解：解：e 的值就是函数的值就是函数e 的展开式在的展开式在x=1时的函数值，即时的函数值，即 e取取e那么误差那么误差x0,!1! 2111!1nnn0,!1! 2111!1nnn)!(1)!2(1!11knnnRn1) 1()!1(1) 1()!1(1)!1(1knnnnn12) 1(1) 1(1111)!1(1knnnn,!11111)!1(1nnnn故假设要求准确到 ，那么只需 即 即可.例如要准确到 ，由于 ，所以取 即e 读者可以在计算机上求此值 (e ). 例6 制造四位正余弦函数表 解 由于 只

38、需制造 的正余弦表就行了. k10,10!1knnknn10!101010101010813!1313n!131! 31! 21115907182818284. 2,sin)2cos(,cos)2sin(aaaa450 我们运用正余弦的展开式.留意这两个级数都是满足莱布尼茨条件的交错级数,去掉前假设干项之后剩余项仍为满足莱布尼茨条件的交错级数.由莱布尼茨断定定理就可知,假设取这两个级数的前假设干项作为近似时,误差不超越所弃项中的第一项.由于所以要作 的四位正余弦表只需求取到至多 项,即取 作表时须留意x以弧度为单位. ,000037. 0! 7)4(! 8)4(78.! 6! 4! 21cos

39、,! 5! 3sin64253xxxxxxxx4506x2.求极限求极限 例例7 求求 解解 把把 cosx 和和 的幂级数展开式代入上式，有的幂级数展开式代入上式，有.ecoslim4202xxxx22ex4242420420)2221 ()2421 (limecoslim2xxxxxxxxxx.121121lim440 xxx 第三节第三节 傅里叶级数傅里叶级数 在本节中，将讨论另一类重要的、运用广泛的在本节中，将讨论另一类重要的、运用广泛的函数项级数函数项级数三角级数三角级数. 三角级数也称为傅里三角级数也称为傅里叶叶Fourier级数级数.所谓三角级数，就是除常数所谓三角级数，就是除常

40、数项外，各项都是正弦函数和余弦函数的级数，它项外，各项都是正弦函数和余弦函数的级数，它的普通方式为的普通方式为 (1)其中其中 都是常数，称为系数都是常数，称为系数.特别当特别当 时，级数只含正弦项，称为正弦时，级数只含正弦项，称为正弦级数级数.当当 时，时， 级数只含常数项级数只含常数项和和 , )sincos(210nxbnxaannn),2,1(,0nbaann),2,1,0(0nan),2,1(0nbn余弦项，称为余弦级数.对于三角级数，我们主要讨论它的收敛性以及如何把一个函数展开为三角级数的问题.一、以 为周期的函数展开为傅里叶级数 由于正弦函数和余弦函数都是周期函数，显然周期函数更

41、适宜于展开成三角级数.设 f (x)是以 为周期的函数，所谓的傅里叶Fourier级数展开就是寻觅一个三角级数22使得该级数以 f (x)为和函数，即 f (x)=先处理这样的问题：假设以 为周期的函数可表为式1所示的三角级数，那么如何确定 和 .为了求出这些系数，先引见以下内容.1三角函数系的正交性在三角级数1中出现的函数 2 ,)sincos(210kxbkxaakkk,)sincos(210kxbkxaakkk2nanb,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx构成了一个三角函数系，这个三角函数系有一个重要的性质，就是定理1三角函数系的正交性三角函数系2中

42、恣意两个不同函数的乘积在 上的积分等于0，详细的说就是有, ),3,2,1(0cosnnxdx, ),3,2,1(0sinnnxdx, ),3,2,1,(0cossinnknxdxkx这个定理的证明很容易，只需把这五个积分实践求出来即.2. f (x) 的傅里叶级数为了求1式中的系数，利用三角函数系的正交性，假设1式是可逐项积分的，把它从 到 逐项积分： 由定理1，右端除第一项外均为0，所以, ),3,2,1,(0coscosnknknxdxkx, ),3,2,1,(0sinsinnknknxdxkx,)sincos(2)(10kxdxbkxdxadxadxxfkkk002)(adxadxxf

43、于是得 为求 ，先用 乘以11.7式两端，再从 到 逐项积分，得由定理1，右端除 k=n 的一项外均为 0，所以于是得 dxxfa)(10nanxcos, )cossincoscos(cos2cos)(10nxdxkxbnxdxkxanxdxanxdxxfkkknnanxdxanxdxxf2coscos)(. ),3,2, 1(cos)(1nnxdxxfan类似地，用 sinnx乘以11.7式两端，再从 到 逐项积分，可得用这种方法求得的系数成为 f (x)的傅里叶系数. 综上所述，我们有定 定理2 求f (x)的傅里叶系数的公式是 (3). ),3,2, 1(sin)(1nnxdxxfbn.

44、 ),2, 1,0(sin)(1, ),2, 1,0(cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann由 f (x) 的傅里叶系数所确定的三角级数 成为f (x) 的傅里叶级数. 显然，当f (x)为奇函数时，公式3中的 ，当为偶函数时，公式3中的 所以有推论 当f (x)是周期为 的奇函数时，它的傅里叶级数为正弦级数 其中系数 , )sincos(210nxbnxaannn0na. 0nb2,sin1nxbnn, ),3,2, 1(sin)(20nnxdxxfbn 当 f (x) 是周期为 的偶函数时，它的傅里叶级数为余弦级数 其中系数 3. 傅里叶级数的收敛性上述 定理3收敛定理设 以 为

45、周期的函数f (x)在 上满足狄利克雷(Dirichlet)条件：1没有断点或仅有有限个第一类延续点；2至多只需有限个极值点，那么 f (x)的傅里叶级数收敛，且有：2nxaanncos210. ),3,2, 1(cos)(20nnxdxxfan2,1当x是的延续点时，级数收敛于f (x)；2当x是的延续点时，级数收敛于这一点左右极限的算术平值 例1 正弦交流I(x)=sinx电经二极管整流后图 11-2变为 为整数， 把 f (x)展开为傅里叶级数.2)()(00 xfxfkkxkxkxkxf,) 12(2,sin,2) 12(,0)( 图图 11-2解解 由收敛定理可知，由收敛定理可知，f

46、 (x) 的傅里叶级数处处的傅里叶级数处处收敛于收敛于f (x).计算傅里叶系数： 所以，f (x)的傅里叶展开式为 - x +.,2sin1)(100dxxdxxfanxdxxfancos)(1为偶数为奇数nnnnxdxx,) 1(2,0cossin120, 1,21, 1,0sinsin1sin)(10nnnxdxxnxdxxfbn142cos356cos154cos32cos2sin211)(2kkxxxxxxf例例2 一矩形波的表达式为一矩形波的表达式为求求 f (x) 的傅里叶展开式的傅里叶展开式. 解解 由收敛定理知，当由收敛定理知，当 时，的傅里叶时，的傅里叶级数收敛于级数收敛于

47、 f (x) .当当 时，级数收敛于时，级数收敛于 又由于又由于 f (x) 奇函数，由定理奇函数，由定理2的推论可知展开式必的推论可知展开式必为正弦级数，只需按推论的公式求为正弦级数，只需按推论的公式求 即可即可.为整数，kkxkkxkxf,) 12(2, 1,2) 12(, 1)(为整数）kkx(kx .02) 1(1nb所以，的傅里叶展开式为,0,4sin12sin)(200为偶数当为奇数当nnnnxdxnxdxxfbn12) 12sin(55sin33sinsin4)(kxkxxxxf.,(为整数）kkx4. 或或 上的函数展开成傅里叶级数上的函数展开成傅里叶级数求求 f (x) 的傅

48、里叶系数只用到的傅里叶系数只用到 f (x) 在在 上的部分，上的部分，即即 f (x) 只在只在 上有定义或虽在上有定义或虽在 外也有外也有定义，但不是周期函数，仍可用公式定义，但不是周期函数，仍可用公式11.9求求 f (x)的傅里叶系数，而且假设的傅里叶系数，而且假设f (x) 在在 上满足上满足收敛定理条件，那么收敛定理条件，那么 f (x) 至少在至少在 内的延内的延续点上傅里叶级数是收敛于续点上傅里叶级数是收敛于f (x) 的，而在的，而在 处，级数收敛于处，级数收敛于 , 0,),(x2)()(ff类似地，假设 f (x) 只在 上有定义且满足收敛定理条件，要得到 f (x) 在 上的傅里叶级数展开式，可以恣意补充 f (x) 在 上的定义只需公式