第四章电路定理精编版

1、第四章电路定理电路定理是电路理论的重要组成部分，为我们求解电路问题提供了另一种分析方法，这些方法具有比较灵活，变换形式多样，目的性强的特点。因此相对来说比第三章中的方程式法较难掌握一些，但应用正确，将使一些看似复杂的问题的求解过程变得非常简单。应用定理分析电路问题必须做到理解其内容，注意使用的范围、条件，熟练掌握使用的方法和步骤。需要指出，在很多问题中定理和方程法往往又是结合使用的。4-1应 用 叠加 定理 求图 示电 路中 电压 uab 。解： 首先 画 出两 个电 源单 独作 用式 的分 电路 入题 解 4-1 图（ a）和（ b ） 所示 。对 （ a ） 图应 用结 点电 压法 可得(

2、111)un15sin t3211un15sin t3sin tV5解得3uab(1)un111un113sin t2133对（ b ） 图， 应用 电阻 的分 流公 式有sin tV所以iuab(2)1e t11 e tA11353211i1 e t0.2e tV5uu( 1 )u ( 2 ) si n tt0. 2eV故由叠加定理得a ba ba b14-2应 用 叠加 定理 求图 示电 路中 电压 u 。解 ：画 出 电源 分别 作用 的分电路 如题 解（ a）和 （ b ） 所示 。对（ a ）图 应用 结点 电压 法有(111 )un1136508240108210u(1)un10.

3、113.6 50.1解得0.02518.624882.667V0.2253对（ b ） 图， 应用 电阻 串并 联化 简方 法 ，可 求得2(8 1040 )3216usi3104010403V(81831040) 2u(2)usi1618V2323所以， 由叠 加定 理得 原 电路 的 u 为uu(1)u(2)248880V334-3 （ 4-4 ）应 用叠 加定 理 求 图示 电路 中电 压 u2 。 ( 注 意 ： 不用 叠 加更简单 )2解：根据叠加定理，作出 2V电压源和 3A电流源单独作用时的分电路 如题 解图 （ a） 和（ b ）。 受控 源 均保 留在 分电 路中 。（ a

4、）图 中i1(1)20.5A4所以根据 KVL 有u2( 1 )32i1(1)2320.52 1V由（ b ） 图， 得i1( 2)0u2(2)339V故原电路中的电压u2u2(1)u2(2)8V4-4应用叠加定理求图示电路中电压U。解：按叠加定理，作出 5V和 10V电压源单独作用时的分电路如题 解 4-4 图 （ a ） 和（ b ）所 示，受控 电压源均 保留 在分 电路 中 。应用 电源 等 效变 换把 图（ a）等 效为 图（ c ），图（ b）等 效为 图（ d ）。由图（ c ）， 得U(1)2U (1)512U (1)51221133从中解得U (1)3V32U( 2 )2 0

5、2U( 2 )2 0( 2 )33U211121由图（ d ）得3320U(2)34V111从中解得3故原电路的电压UU(1)U(2)341V注：叠加定理仅适用于线性电路求解电压和电流响应，而不能用来计算功率。这是因为线性电路中的电压和电流都与激励(独立源)呈线性关系，而功率与激励不再是线性关系。题 4-1 至题 4-4 的求解过程告诉我们：应用叠加定理求解电路的基本思想是“化整为零”，即将多个独立源作用的较复杂的电路分解为一个一个（或一组一组）独立源作用的较简单的电路，在分电路中分别计算所求量，最后代数和相加求出结果。需要特别注意：（ 1）当一个独立源作用时，其它独立源都应等于零，即独立电压

6、源短路，独立电流源开路（ 2）最后电压、电流是代数量的叠加，若分电路计算的响应与原电路这一响应的参考方向一致取正号，反之取负号。（ 3）电路中的受控源不要单独作用，应保留在各分电路中，受控源的数值随每一分电路中控制量数值的变化而变化。（ 4）叠加的方式是任意的，可以一次使一个独立源作用，也可以一次让多个独立源同时作用（如 42解），方式的选择以有利于简化分析计算。学习应用叠加定理，还应认识到，叠加定理的重要性不仅在于可用叠加4法分析电路本身，而且在于它为线性电路的定性分析和一些具体计算方法提供了理论依据。uo4 5试 求 图 示 梯形 电 路 中 各 支 路 电 流， 结 点 电 压 和 us

7、 。 其中 us 10V 。解：由齐性定理可知，当电路中只有一个独立源时，其任意支路的响应与该独立源成正比。用 齐性定理分析本题的梯形电路特别有效。现设支路电流如图所示，若给定i5i5'1 A则可计算出各支路电压电流分别为uouo'i5'2012020Vun2un'2i5'(420)12424Vi4i 4'un'2/1224/122Ai3i3'i 4'i 5'213Aun1un'1i3'5 un'2352439Vi1i1'i2'i3'134Au u'i'

8、;4 u'443955Vss1n1即 当 激 励 us us'55V时，各电压、电流如以上计算数值，现给定'10K10255 11us10 V ， 相当 于 将以上 激励 us 缩 小了 55 倍， 即2故电路各支路的电流和结点电压应同时缩小 11倍，有5iKi '2480.727 A111111i2Ki 2'212A1111i3Ki 3'236A1111i4Ki 4'224A1111i5Ki 5'212A1111un1Kun'123978V1111un2Kun'222448V1111uoKuo'22040

9、V1111uo404110.364输出电压和激励的比值为us10 11注：本题的计算采用“倒退法”，即先从梯形电路最远离电源的一端开始，对电压或电流设一便于计算的值，倒退算至激励处，最后再按齐性定理予以修 正 。47 图示电路中，当电流源是原来 的 0.5 倍；当 i s1 和 us2 倍 。 问 ：仅 is1 反 向（ us1 ， us2i s1 和电压 源 us1 反 向时（ us2 不变 ），电压 uab 反向 时（ us1 不变 ）， 电压 uab 是原 来的 0.3 均不 变 ）， 电压 uab 应 为原来 的几 倍？解：根据叠加定理，设响应 uabK 1i s1K 2 us1 K

10、3 us2式中K1，K 2，K 3为未知的比例常数，将已知条件代入上式，得 0.5uabK1i s1K 2us1 K 3us26 0.3uabK1 is1K 2 us1K 3 us2xuabK 1i s1 K 2 us1 K3 us2将式，相加，得 1.8uabK 1i s1K 2u s1K 3 us2显然 式等号右边的式子恰等于式等号右边的式子。因此得所求倍数 。x 1. 8注：本题实际给出了应用叠加定理研究一个线性电路激励与响应关系的实验方 法 。4 8图 示电 路中 U s110 V ， U s2 15 V ， 当开 关 S 在 位置 1 时 ， 毫安表的读数为 I'40 mA

11、； 当 开 关 S 合 向 位 置 2 时 ， 毫安 表的 读 数 为I ''60 mA 。 如果 把开 关 S 合向 位置 3 ， 毫安 表的 读数 为多少 ？解：设流过电流表的电流为 I，根据叠加定理IK1I sK 2U s当开关 S 在 位 置 1 时， 相 当于 U s0，当开关 S在位置 2时，相当于U sU s1 ，当开关 S 在 位 置 3 时， 相当 于 U sU s2 ，把上 述条件 代入 以上 方 程式中 ，可得关系式40K 1I s60 K 1I sK 2U s140 K210K 210010从中解出10所以当S在位置3时，有I K1I sK 2(U s2

12、) 40(10) (1 5 )1mA90749求图示电路的戴维宁和诺顿等效电路。解 ：求 开路电压uoc 。 设 uoc 参考 方向 如图 所示 ， 由 KVL 列 方程(24)I32(I1)0I1A解得8uoc4I4 (10.5V)8求等 效内 阻 Req 。 将原 图中 电压 源短 路， 电流 源开 路， 电 路变为题解 4 8（ a）图，应用 电阻 串并 联等 效 ，求 得Req =(2+2)/4=2画出 戴 维 宁 等 效 电路 如 图 （ b） 所示 ， 应用 电源 等 效 变换 得 诺顿等效电 路如 图（ c ）所 示 。I scuoc0.5Req0.25A其中2注意画 等效 电路

13、 时不 要 将开 路电 压 uoc 的极性 画错 ，本 题设a 端为 uoc的 “ ” 极 性端 ，求得 的 uoc 为负 值， 故 （ b ）图中的 b 端 为开 路 电压的实际“”极性端。49求图示电路的戴维宁等效电路。8解：本题电路为梯形电路，根据齐性定理，应用“倒退法”求开路电压uoc。设uocuoc'10 V，各支路电流如图示，计算得i5i5'101 A10un 2un'2(210)112 Vi4i4'un'2122.4 A55i3i3'i4'i5'2.4 1 3.4 Aun1un'17i3'un27 3

14、.412 35.8 Vi2i2'un135.85.967 A66i1i2'i3'5.9673.49.367 Ausus'9i1'un199.36735.8 120.1V故当 us5V 时 ，开路 电 压 uoc 为'5uocKuoc100.416V将电 路中 的 电压 源短 路，应 用 电阻 串并 联等 效，求 得 等效 内阻 Req为Req(9 / 67) / 52/103.505画出戴维宁等效电路如题解 49图所示。4 10求 图中 各电 路在 ab 端 口的 戴维 宁等 效电 路或 诺顿 等效 电 路。9解（ a ）：先 求 开路 电压 u

15、oc 。应 用 结点 电压 法 ，结点 编号 如图（ a）所示。结点方程为(1 1 1 )un11 un2102221221112 un1( 22 3)un20把以上方程加以整理有3un1un 2103un18un20应用消去法，解得un210 V7uocun 21102V故开路电压121再把 电压 源 短路 应用 电阻 串并 联等 效求 内阻 ReqReq16(2 / 2 2) / 2 2/121画出 戴维 宁 等效 电路 如题 解图 （ a1 ）所 示 。uo cusRusR解（ b）：应 用电 阻分 压求 得开 路电压 uoc 为把电压源短路，可求得等效内电阻为Req ( R R) /

16、R R1(1 )R R1等效电 路如 题解 图（ b1 ）所 示 。10解 （ c ）： 这个 问题 用诺 顿定 理求 解比 较方 便 。 把 ab 端 口短路，显然短路电流等于电流源的电流，即I sc I ab 1 A把 电流 源 开路 求等 效内 电阻 Req 。 由于 电 路 是一 平 衡 电桥 ， 可以把 cd 右 侧 电 阻 电 路 断 去 如 题 解 图 （ c1 ） 所 示 ， 则Req(2060) /(2060)40画出 诺顿 等 效电 路如 题解 图（ c2 ） 所示 。解 （ d ）： 应用 替代 定理 ， 图 （ d ） 可以 等效 变 换 为题 解图 （ d1 ）所示的

17、电路。则开路电压为uoc 10 5 1 5V把图（ d1 ）中 的 电压 源短 路，电 流 源开 路，等 效 电阻Req 5 5 1 0画出 戴维 宁等 效电 路 如图 （ d2 ）所示 。4 11 图（ a ）所 示含 源一 端口 的外 特性 曲线 画于 图（ b ）中 ，求 其等效电源。11解：根据戴维宁定理可知，图示含源一端口电路可以等效为题解 4 11 图 所示 的电 源 电路 ，其 端口 电压 u 和电 流 i 满 足关 系式 u uoc Reqi图（ b ） 所示 的含 源一 端口 的外 特性 曲 线方 程为u 101 i5比较以上两个方程式，可得等效电源电路的参数Req10.2u

18、oc10 V ，5412求图示各电路的等效戴维宁电路或诺顿电路。12解（ a）：先 求开 路电 压 uoc 。应 用 网孔 电流 法，设 网 孔电 流 i1 ， i2 ，其绕行 方向 如图 （ a） 所示 。 列 网孔 电 流方 程为i1210i1(10105)i20联立求 解以 上 方程， 可 得 i2200.8 A25故开路电压为uoc101 5i 2651150.815V将电 压源 短 接， 电流 源开 路， 得题 解图 （ a1 ）所 示 电路 ，应 用电阻串、并联等效求得等效电阻Req 5 /(10 10) 10 14戴维宁 等效 电路 如题 解 图（ a2 ） 所示解 （ b ）：

19、 根 据 KVL 求开 路 电压 uab 为uab96236V把 3V电压源短路，2A电流源断开，可以看出等效内阻为Req10616戴维宁 等效 电路 见题 解 图（ b1 ）。解 （ c ）：13设 开路 电压 参考 方 向如 图（ c） 所 示 。 显然 uoc 等 于受 控源 所 在 支路得电压，即uoc2i12i10由于电路中有受控源，求等效电阻时不能用电阻串、并联等效的方法，现 采 用求 输入 电阻 的 外加 电源 法 。将（ c）图 中 4 V 独 立电 压源短路， 在 ab 端子 间加 电压 源 u 如 题 图（ c1 ） 所示 。根据 KVL列方程u5i8i18i12(ii1

20、) 2i10i121从第二个方程中解出ii84把 i1 代入 第一 个方 程 中， 可得u 5i 8( 1 i ) 7i4Requ7故等效电阻为i画出 戴维 宁 等效 电路 如题 解图 （ c2 ）所 示 。解 （ d）： 解法 一： 先求 开路 电压 uoc 。 把 图（ d） 中受 控电 流 源与电阻的并接支路等效变换为受控电压源与电阻的串接支路如题解图（ d1 ） 所示 。 由 KVL 得(2 5)i14u1u 10把 u1 (4 i1 )8 代入 上式 中， 解得 i1965.647 A17故开路电压uoc5i1 55.64728.235 V求等 效电 阻 Req 可以 采用 如下两种

21、 方法（ 1）开路、短路法把图 （ d1 ） 中 的 1 1' 端 子 短 接 如题 解 图（ d2 ） 所示 。 由 KVL 得2isc4u1u1014即isc3 u12把 u1(4 isc )8代入式中，有isc3(4 i sc )2848isc4.364 A11解得uoc28.235Req6.471则等效电阻isc4.364（ 2）外加电源法把图（ d1 ）中 4 A 电 流源 开端 ，在 1 1' 端 子间 加电 压源 u 如图（ d3 ）所示，由 KVL 得u4u12(ii1 ) u13u12(ii1 )把 u18(ii1 ) 代 入上 式中 ，有 u3 8 (i i

22、1 ) 2(i i1 )22(i i1 )i1uu22i22u考虑到5 ，则5225所以ui17u2256.471故等效电阻为Req17i戴维宁 等效 电路 如题 解 图（ d4 ） 所示 。解 法二 ：在 图（ d1 ）的 端 口 11' 处外 加一 个电 压源 u ，图 题解图（ d5 ）所 示 。通 过 求 出在 端口 1 1'的 ui 关 系得 出 等效 电路 。应 用 KVL列出中间网孔的电压方程，应用 KCL列出下部结点的电流方程有2(ii1 ) 3u1uu1u4)8(i515u把i15 代入第 一个 方程 中， 并从 两方 程中 消 去 u1 ， 可得2u24i9

23、624u2iu55整理得 ui 关系 为u965225 i28.2356.471i17 17这个关 系式 与图（ d4 ）的 等效 电路 的端 口电 压 、电 流 的关 系式 是 一致的，即 可得 原图 11' 端口 的 uoc 2 8. 2 3V5 ， Req 6.471这一 解法 是一 步同 时 求出 uoc 和 Req ，但 在电 路比 较 复杂 时，由于这一解法要求解方程组，不如解法一方便。注：戴维宁定理、诺顿定理是分析线性电路最常用的两个定理。从 48题至 412 题的求解过程可以归纳出应用这两个定理求等效电路的步骤为：（ 1）求一端口电路端口处的开路电压或短路电流；（2）求

24、等效内电阻；（3）画出等效电路。开 路 电 压 uoc 可 这 样 求 取 ： 先 设 端 口 处 uoc 的 参 考 方 向 ， 然 后 视 具 体 电 路 形式，从已掌握的电阻串、并联等效，分压分流关系，电源等效互换，叠加定理 ， 回 路 电 流 法 ， 结 点 电 压 法 等 方 法 中 ， 选 取 一 个 能 简 便 地 求 得uoc 的 方 法 计算 uoc 。求 等 效 电 阻 Req 的 一 般 方 法 为 ：（ 1） 开 路 、 短 路 法 。 即 在 求 得 uoc 后 ， 将 端口 的 两 端 子 短 路 ， 并 设 短 路 电 流 isc （ i sc 的 参 考 方 向

25、 为 从 uoc 的 “ ” 极 性 端 指向“ ”极 性 端 ），应 用 所 学 的 任 何 方 法 求 出 isc ，则 Req uo c/ i sc。此 法 在 求 uoc和 isc 时 ， 一 端 口 电 路 内 所 有 的 独 立 源 均 保 留 。（ 2） 外 加 电 源 法 。 即 令 一 端 口电路内所有的独立源为零（独立电压源短路，独立电流源开路），在两端子间外 加 电 源 （ 电 压 源 、 电 流 源 均 可 ）， 求 得 端 子 间 电 压 u 和 电 流 i 的 比 值 ， 则16Requ / i （ u 与 i 对 两 端 电 路 的 参 考 方 向 关 联 ）。（

26、 3）若 两 端 电 路 是 不 含 受 控 源的纯电阻电路，则除上述方法外常用电阻串、并联等效和 Y互换等效求Req 。413 求图示两个一端口的戴维宁或诺顿等效电路，并解释所得结果。解 （ a ）：因 为 端口 开路 ，端 口电 流 i0 ， 故受 控电 流 源 的 电 流为零，可将其断开，从而得开路电压uoc1065V426把端口短路，电路变为题解 413图 （ a1 ）所 示电 路 。 由 KVL 可得( 42)i sc23i sc10i sc10422 3从中解出uoc0Req这说明该电路的等效电阻isc， 故等 效电 路为 题解 图（ a2 ）所示的 5V 理想电压源。显然其诺顿等

27、效电路是不存在的。解（ b）：把 端 子 11' 短路 。电 路 如题 解 图（ b1 ）所示 。由 图 可知 12电阻和8电阻并联，则电压17u21512820128128V61283电流isc 为isci1u24u29u292015i248837.5 A82把 15 V 电 压源短路 ，应用外 加电 源法 求 等效 电阻 Req ，由 题解 图（ b2 ）， 可得u2u612u4u8612612843612iu 4u26u2u 3 u2u 3 u04/1244443Requ1说明该电路的等效电阻i0故等效电路为一电流为 7.5 A的理想电流源，即该电路只有诺顿等效电路如题 解图 （

28、 b3 ）所 示 ，而 不存 在戴 维宁 等效 模型 。注：本题两个电路的计算结果说明，一个一端口电路不一定同时存在戴维宁和诺顿等效电路。当端口的开路电压uoc0，而等效电阻Req0时 ， 电路的等效模型为一理想电压源，即只有戴维宁等效电路。当端口的短路电流i sc0，而等效电导Geq0时，电路的等效模型为理想电流源，即只有诺顿等效 电 路 。 只 有 当 Req 不 等 于 0 和时 ，电路才同时存在戴维宁和诺顿等效电路。4 14 在图示电路中，当 RL取 0,2 ,4,6,10,18,24,42,90和 186时，求 RL的电压 UL、电流 IL和 RL消耗的功率（可列表表示各结果）。18

29、解：本题计算 RL所在支路的电量，且 RL的值是变化的，这种求解电路的局部量问题选用戴维宁等效电路的方法最适宜。把所求支路以外的电路用戴维宁等效电路替代，再求所求量。先把 RL 支路 断开 如题 解 4 14 图 （ a）所示 。 应 用电 源等 效 互换得一端口电路的戴维宁等效电路的电压源和电阻为uoc48 V , Req6接上RL 支 路， 如题 解图 （ b）所 示 ，则I L486RLU LRLI LPLRLI L2把 RL的各个值代入，计算得UL， IL， PL的值如下表所示。RL( )02461018244290186IL (A)864.84321.610.50.25UL(V)01

30、219.224303638.4424546.5PL (W)07292.1696907261.444222.511.625416在图示电路中，试问：（1） R为多大时，它吸收的功率最大？求此时最大功率。（ 2 ）若 R80欲使 R 中 电流 为零 ，则a， b 间 应并 接 什么 元件 ，其19参数为多少？画出电路图。解 ：（ 1 ）自 a， b 断 开 R 所在 支路 ，应 用电 阻串 、并 联及 电 源等效互换 将原 图变 为题 解 图（ a）， 由题 解图 （ a ） 易求 得开 路电 压502510) 25 37.5 Vuoc10(101020将（ a ） 图中 电压 源短 路， 求等

31、效电 阻Req(1010) / 2010最 后得 等效 电 路如 题解 图 （ b ）所 示， 由最 大功 率传 输定 理可 知 ，当R Req 10时，其上可获得最大功率。此时uoc237.52Pmax35.156 W4Req4 10（ 2 ）利 用 电源 等效 互换 ，图（ b）电 路可 以变 化为 图（ c），由 KCL可知 ，在 a， b 间 并 接一 个理 想电 流源 ，其 值 is3.75 A ，方 向由 a 指向 b ，这样 R中的电流将为零。注：求解负载 RL从有源一端口电路吸收最大功率这一类问题，选用戴维宁定理或诺顿定理与最大功率传输定理结合的方法最为简便，因为最大功率传输定

32、理告诉我们：最大功率匹配的条件是负载电阻等于有源一端口电路的R e q， 此 时 最 大 功 率 为 Pm a xuoc2等效电阻，即 RL4Req 。 这 里 需 要 注 意 ：（ 1 ）20RLReq 这 一 条 件 应 用 于 RL 可 改 变 、 Req 固 定 的 情 况 下 ，若 RL 固 定 、 Req 可 变 则另 当 别 论 ；（ 2） Req 上 消 耗 的 功 率 不 等 于 一 端 口 电 路 内 部 消 耗 的 功 率 ，因 此 RL获最大功率时，并不等于 RL获取了一端口电路内电源发出功率的 50%。417 图示电路的负载电阻 RL可变，试问 RL等于何值时可吸收最

33、大功率？求此功率。解：首先求出RL以左部分的等效电路。断开 RL，设 如题解 416 图 （ a） 所示 ，并 把受 控电 流源 等效 为受 控电 压 源 。 由 KVL 可 得(22)i18i16i160.5 A12故开路电压uoc2i12i18i1 12i1 12 0.5 6 V把 端口 短路 ， 如题 解图 （ b ） 所示 应用 网孔 电 流 法求 短 路 电 流 i sc ，网孔方程为(22)i12isc8i162i1( 24)i sc(28)i1 0解得isc63A42故一端口电路的等效电阻Requoc64isc3 2画出 戴维 宁等 效电 路 ，接 上待 求支 路RL ，如 题解

34、 图 （ c ）所 示 。由 最大 功率 传 输定 理知 RL R e q 4时其上获得最大功率。 RL获得的最大功率为21uoc2622.25 WPmax4 44Req417 图示电路中 N（方框内部）仅由电阻组成。对不同的输入直流电压 U s 及 不同 的 R1， R2 值 进 行了 两次 测量 ，得 下列 数据 ： R1R22时 ，U s8V ，I12A ，U22V ；R11.4 ，R2?3A ，0.8时 ，U s 9 V，I1?求 U2的值。解：设 N网络二个端口的电压为 U1， U2如图所示。由题意可知：第一次测量有U 1U sR1I 18224VU 22VI12 AI 2U 221

35、AR22?9 1.43 4.8V第二此测量有U1U sR1I1I?13A?I?2U 2U 2R20.8根据特勒根定理 2，应满足?U1( I1) U 2I2U1( I1) U2I 2?4(3)2U 21代入数据，有0.84.8 ( 2) U2?129.642.41.6 VU 266从中解得4注：特勒根定理是对任何具有线性、非线性、时不变、时变元件的集总电路都适用的基本定理，它有两种形式。应用特勒根定理时，支路的电压、电流要取关联参考方向。如417 题求解时，由于U1和 I1为非关联参考方向，22所以在列方程时 I1前加负号。特勒根定理常用于求解多端口电路的电压、电路问题。应用特勒根定理可以导得互易定理。4 18 在 图（ a） 中， 已知 U 26V ，求 图（ b ）中 U