平衡中的临界和极值问题

1、1 教学课题 平衡中的临界和极值问题 时间 教学目标 1、 教学重点 教学难点 教学器材 教学过程 教学随笔 _ 、知识要点 临界问题是指：当某种物理现象 （或物理状态） 变为另一种物理 现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态.可理解成“恰好出 现”或“恰好不出现”. 某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。 临界状态可理解为“恰好出现”或“恰恰不出现”，至丁是“出现”还 是“不出现”，需视具体I可题而定。 平衡I可题的临界状态是指物体的所处的平衡状态将要被破坏而尚 未被破坏的状态。这类问题称为临界问题。解临界问题的基本方法是 假设推理法。 极值问题则是在满足一定的条件下，

2、某物理量出现极大值或极小 值的情况。 临界问题往往是和极值问题联系在一起的。 解决此类问题重在形成活晰的物理图景，分析活楚物理过程，从 而找出临界条件或达到极值的条件。 解此类问题要特别注意可能出现的多种情况。 二、例题分析 【例1】一质量为m的物体，置丁水平长木板上，物体与木板间 的动摩擦因数为现将长木板的一端缓慢抬起，要使物体始终保持 静止，木板与水平地面间的火角0不能超过多少？设最大静摩擦力等 丁滑动摩擦力。 【分析】这是一个斜面问题。当0增大时，重力沿斜面的分力增 大。当此分力增大到等丁最大静摩擦力时，物体处丁动与不动的临界 状态。此时是0最大。 【解答】依题意， mgsin 0 =

3、mgcosO tg 0 =ii 0 arctg ii 说明：tg 9 = 是一重要临界条件。其意义是：tg 9 v时，重力沿斜面向下的分力大丁滑动摩擦 、将物体静止置丁斜面上，如tg 9 ,则物体不能保持静止，而加速下滑。2 、将物体以一初速度置丁斜面上，如tgp ,则物体做加速 运动。 F 因此，这一临界条件是判断物体在斜面上会如何 运动的一个条件。 练习：如图，质量为 m的三角形尖劈静止丁斜面 - 上，上表面水平。今在其上表面加一竖直向下的力 F。 则物体： A、保持静止； B 、向下匀速运动； C、向下加速运动； D、三种情况都要可能。 【解答】A q 【例2】如图所示，跨过定滑轮的轻绳

4、两端， 分别系着物体A和B,物体A放在倾角为a的斜 B 面上，已知物体A的质量为门物体B和斜面间 动摩擦因数为11 ( 11 tg 9),滑轮的摩擦不计，八 要使物体静止在斜面上，求物体 B质量的取值范围. 【解析】以B为研究对象，由平衡条件得 T=m Bg 再以A为研究对象，它受重力、斜面对 面对A的摩擦作用.假设A处丁临界状态, 向如图所示，根据平衡条件有： N=mgcos 0 T-f n-mgsin 0 =0 f m= p N 或：T+fm-mgsin 0 =0 f m= p N 综上所得,B的质量取值范围是： m (sin 0 - 1 cos 0) mVm(sin 0 + i cos

5、0) 说明：本题关键是要注意摩擦力的方向及大小与物体所受外力有 关，故在处理问题时.要在物体临界问题下，确定可能的运动趋势. 【例2】如图所示，半径为R,重为G的均匀球靠 竖直墙放置，左下方有厚为h的木块，若不计摩擦， 用至少多大的水平推力F推木块才能使球离开地面. 【解析】以球为研究对象，如图所示。有 Nisin 0 =G Nicos 0 =N2 sin 0 =(R-h)/R 再以整体为研究对象得：N=F 即 F= Vh(2R-h) G/(R-h) 说明：球体刚好离开地面，有地面对球的支持力为零，但系统乂平 衡.A的支持力、绳的拉力和斜 即A受最大静摩擦作用，方 3 【例3】如图所示，重为G

6、的物体放在水平 面上，物体与水平面间的动摩擦因数为H =1/V 3,物体做匀速直线运动。求牵引力 F的最小值 和方向角9。 解：物体的受力图如图。建立坐标系，有： Fcos 0 -小 N=0 Fsin 9 +N-G=0 由、消去N得： F= 1 G/ (cos 0 + sin 0) 令 tg 4 = p ,贝U cos 0 + sin 0 * os( 0 - 4 ) _ G_ .F= 一1 * cos - 当0 = 4时，cos( 9 - 4 )取极大值1, F有最小值。 F min= 岭G/2 .1 .2 =p =1/ 3 9 =300 点评：此例给出了求解极值问题的一种方法：函数法。此例中

7、， F 的大小随0的变化而变化，要求 F的极小值，就要根据题意求出 F随 0而变的函数关系式，再利用函数的单调性，讨论 F的极值。 此例中三角函数的变换是一种常用的方法，应牢记。 【解法二】将四力平衡转化为三力平衡，用图象法求解。 将N与f合成为一全反力 R tg=f/N= 可见， N变化会一个起f变、R变，但R的方向是不变的。 物体处丁平衡状态，R、F、G的合力必为0,三力 构成一封闭三角形。由图法可知，当 F垂直丁 R时，F 最小。 此时，0 =0 =arctg(1/ V3)=300 F min=Gsin =G/2 点评：此例将四力平衡转化为三力平衡求解， 这是 解决多力平衡问题的一种方法

8、。 摩擦角：tg 4 =f/N=, 4称为摩擦角。在外部条件不变的情况下， f与N的合力的大小可能会发生变化，但此合力的方向不变。 练习：如图，重为G的木块，在力F的推动下沿水平 地面匀速滑动。若木块与地面间的动摩擦因数为八 F与 水平方向成a角。试说明：若a超过某一个值时，不论推 力F多大，木块都不可能滑动，并求出这个角度。 【分析】F斜向下，可分解为竖直分力 FI和水平分力 用是增大摩擦力f, F2使物体运动。如a较大,贝U FI较大， 加的f大丁 F2,物体无法运动，产生“自锁”现象。只有a小丁某一 值时，才能推动木块。 : 【解】木块受力如图。 i 由平衡条体有：Fcos a = i

9、（G+Fsin a ） 4 =300 tg F2。Fl的作 F2较小,增 4 ! F= p Gy7（cos a - 1 sin a ） : G = , , 2 : . j 1 ， sin - cos ：. - cos f sin : : G : 1 . ! 2 sin（:.一一.二二） I 其中 tg 4 =1/ R -当 a =4 =arctg1/ 时，FT :三、能力训练 A 组 1.如图所示，平台重600N,滑轮重不计，要使系统 X 保持静止，人重不能小丁： （B） ML A. 150N B . 200N C . 300N D . 600N Rj 2、放在斜面上的物体，受到一个与斜面平行

10、的外力 i-J 】 :作用，当这个外力的大小分别为60N和10N时，物体都能保持匀速直线 i运动，当这个物体在取消上述外力作用后沿斜面自静止下滑时，则它受 i到摩擦力的大小可能是：（B） A . 35N B . 25N C . 10N D . 0 义 ! 3.如图所示，定滑轮光滑，货物质量为 m滑轮离 p 地面高度为4m人拉绳处距地面lm,若人对地面最大静 X R 摩擦力为mg/2,则要匀速提升货物，人离货物的水平距 J，顼* 离应不大丁 m ! B组 4 .物体A重为100N B重为20N, A与水平面最 的 大静摩擦力为30N,整个系统处丁静止状态，如图所 !示，这时A受摩擦力大小为 _

11、M如果逐渐增大B | 乍下应 I重量而保持系统静止，则B的重力最大值为 N 丘占| i 解：20N, 30N 5 .如图所示，重20N的物体静止在倾角为9 =300 X. !的粗糙斜面上静止，物体与固定在斜面上的轻弹簧 i连接，设物体所受最大静摩擦力为12N,则弹簧的弹 力为（弹簧与外面平行）; （D） _ : 可能为零 i 可能为22N,方向沿斜面向上 ! 可能为2N,方向沿斜面向上 : 可能为2N,方向沿斜面向下 ! A . B . C . D . | 【解析】先假设物体有向下滑的可能性，由平衡条件判得 T=2N I向下；再假设物体有向上滑的可能性，由平衡条件判得 T=22N向上. 选沿斜面向上为正，可理解为弹力的范围为 -2N T 22N,故D 正确. 说明：根据物体的运动趋势，确定弹力的范围，同时充分考虑静 摩擦力是不确定值，可用0V f 12N. 5 6. 如图所示，绳重及滑轮摩擦均不计，A. B B 质量为1kg与3kg, A、B均保持静止，则斜面对 B的摩擦力大小为fi=N若在A上再加1kg 旗席EJP 石去码，此时摩擦力大小 f2与fl的大小之比等丁 (g=10m/s2) 解：5N, 1: 1 7. 如图所示，重1000N的车轮，半径为R,欲 过高为h=R/2的台阶，现要在图中车轮最上方 A处施 (o!* 一最小