排列组合与概率原理及解题技巧

1、阳光家教网 高考数学学习资料1排列组合与概率原理及解题技巧一、基础知识1.加法原理：做一件事有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m 种不同的方法，在第 2 类办法中有 m 种 不同的方法，在第 n 类办法中有 m 种不同的方法，那么完成这件事一共有 N=m+m+, +m 种不同 的方法。2.乘法原理：做一件事，完成它需要分 n 个步骤，第 1 步有 m 种不同的方法，第 2 步有 m 种不同 的方法，第 n 步有 m 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=n mx , x m 种不同的方法。3.排列与排列数：从 n 个不同元素中，任取 m(讳 n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从 n 个

2、不同元素中取出 m 个元素的一个排列，从 n 个不同元素中取出 m 个(m n)元素的所有排列个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排歹 U 数，用 膏表示，A =n(n-1) , (n-m+1)=，其中 m,n N,术 n,注：一般地 A0=1, 0! =1, An=n!。A?4. N 个不同兀素的圆周排列数为土 =(n-1)!。5.组合与组合数：一般地，从 n 个不同元素中，任取 m(诈 n)个元素并成一组，叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的一个组合，即从 n 个不同元素中不计顺序地取出 m 个构成原集合的一个子集。从 n 个不同元素中取出 m(讳 n)个元素的所有组合

3、的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用 C?11表示：Cm= n(n -1) (n -m 1)nm!6. 组 合 数 的 基 本 性 质 ：(1)Cn=Cnn5；( 2)0?=。?nC0. v1. . .nk.nk.k. . .kk 1n+Cn +Cn=2 Cn=2；( 5)Ck+Ck+Ck =Ck4m* ；k=07.定理 1:不定方程 X1+X2+, +xn=r 的正整数解的个数为 C?：。证明将 r 个相同的小球装入 n 个不同的盒子的装法构成的集合为 A,不定方程 X1+X2+, +xn=r 的正 整数解构成的集合为 B, A 的每个装法对应 B 的唯一一个解，因而

4、构成映射，不同的装法对应的解也不 同，因此为单射。反之 B 中每一个解(X1,X2, , ,Xn),将 Xi作为第 i 个盒子中球的个数，i=1,2, , ,n，便 得到 A 的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r 个小球从左到右排成一列，每种装法相当丁从 r-1 个空格中选 n-1 个，将球分 n 份，共有 CT 种。故定理得证。推论 1 不定方程 X1+X2+, +Xn=r 的非负整数解的个数为 C； + &n!m!(n -m)!nnkk+ Cn ；( 3 ) 一队=Cn ；( 4)kk八mn -k(6) CnCk Cn_m阳光家教网 高考数学学习资料2推论 2 从 n 个不

5、同元素中任取 m 个允许元素重复出现的组合叫做 n 个不同元素的 m 可重组合，其组合数为 C：ml.n8 .二项式定理：若 n N+,则(a+b)n=C0an+Cnanb+c2ab2十+C；aJb+C；bn.其中第 r+1 项 Tr+i= C；abr,Cn叫二项式系数。9. 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。在大量重复进行同一试验时，事件 A 发生的频率1总是接近丁某个常数，在它附近摆动，这个常数叫做事件A 发生的概率，记n作 p(A),0 p(A) 1.10. 等可能事件的概率，如果一次试验中共有n 种等可能出现的结果，其中事件 A 包含的结果有 m种，那么事件

6、A 的概率为 p(A)=m.n11.互斥事件：不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件，也叫不相容事件。如果事件 A, A,A 彼此互斥，那么 A,A, , A 中至少有一个发生的概率为p(A+A+, +A)= p(A1)+p(A2)+ , +p(An).12.对立事件：事件 A, B 为互斥事件，且必有一个发生，则 A, B 叫对立事件，记 A 的对立事件为A。由定义知 p(A)+p(A)=1.13.相互独立事件：事件 A (或 B)是否发生对事件 B (或 A)发生的概率没有影响，这样的两个事 件叫做相互独立事件。14.相互独立事件同时发生的概率： 两个相互独立事件同时发生的概率， 等丁每个

7、事件发生的概率 的积。即 p(A?B)=p(A) ?p(B).若事件 A, A2, , A 相互独立，那么这 n 个事件同时发生的概率为 p(A1?A? , ?An)=p(A1) ?p(A2) ? , ?p(An).15. 独立重复试验：若 n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖丁其他各次试验的结果，则称这 n 次试验是独立的.16.独立重复试验的概率：如果在一次试验中，某事件发生的概率为 p,那么在 n 次独立重复试验中， 这个事件恰好发生 k 次的概率为 pn(k)= C：?pk(1-p)n-k.17.离散型随机为量的分布列：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示， 那么这样的变量叫

8、随 机变量，例如一次射击命中的环数 E 就是一个随机变量，E 可以取的值有 0,1,2, , ,10。如果随机变 量的可能取值可以一一列出，这样的随机变量叫离散型随机变量。一般地， 设离散型随机变量 E 可能取的值为 x1,x2, , ,xi, , E 取每一个值 xi(i=1,2,)的概率 p( E =Xi)=pi,则称表x1x2x3,xi,pp1p2?3,pi,为随机变量 E 的概率分布，简称 E 的分布列，称 EE =x1p1+x2p2+, +xnpn+,为 E 的数学期望或平均值、均值、简称期望，称 DE =(x1-E弋)2?p1+(x2-E弋)2?p2+, +(xn-E弋)2pn+,

9、为弋的均方差，简称方差。 叫随机变量 E 的标准差。18.二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是 p,那么在 n 次独立重复试验中，这个事件阳光家教网 高考数学学习资料3恰好发生 k 次的概率为 p( =k)=C：pkqnJ E 的分布列为01,Xi,Np八0 0 nCnp qC1nA.Cnp q,八k k n_kCnp q,c n nCnp此时称弋服从二项分布，记作弋B(n,p).若弋B(n,p)，则 EE =np,D E =npq,以上 q=1-p.19.几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时所做试验的次数E 也是一个随机变量，若在一次试验中该事件发生的概率为p,则 p( E

10、 =k)=qk-1p(k=1,2, , ), E 的分布服从几何分布，EE =，pDE =(q=1-p).p二、方法与例题1.1. 乘法原理。例 1 有 2n 个人参加收发电报培训，每两个人结为一对互发互收，有多少种不同的结对方式？解将整个结对过程分 n 步，第一步，考虑其中任意一个人的配对者，有 2n-1 种选则；这一对 结好后，再从余下的 2n-2 人中任意确定一个。第二步考虑他的配对者，有 2n-3 种选择，”这样一 直进行下去，经 n步恰好结 n 对，由乘法原理，不同的结对方式有(2n-1)x(2n-3)x,x3X1=(2n)!.2n(n!)2.2. 加法原理。例 2 图 13-1 所

11、示中没有电流通过电流表，其原因仅因为电阻断路的可能性共有几种？解断路共分 4 类：1) 一个电阻断路，有 1 种可能，只能是 R; 2)有 2 个电阻断路，有 C42-1=5种可能；3) 3 个电阻断路，有 C3=4 种；4)有 4 个电阻断路，有 1 种。从而一共有 1+5+4+1=11 种可 能。3.3. 插空法。例 3 10 个节目中有 6 个演唱 4 个舞蹈，要求每两个舞蹈之间至少安排一个演唱，有多少种不同的安排节目演出顺序的方式？解先将 6 个演唱节目任意排成一列有 虐种排法，再从演唱节目之间和前后一共7 个位置中选 出 4个安排舞蹈有 A4种方法，故共有A6A；=604800 种方

12、式。4.4.映射法。例 4 如果从 1, 2, , ,14 中，按从小到大的顺序取出 a,a2,a3使同时两足：a2-aA3,a3-a23,阳光家教网 高考数学学习资料4那么所有符合要求的不同取法有多少种？解 设 S=1,2,14 ,S=1 , 2, ,10；T=(ai,a2,a3)| ai,a2,a3 S,a2-a1A 3,a3-a2A3,T=( a,a2,a3) S| a，a2,a3 wS,aa2 3)，且在 n 位数中，1, 2, 3 每一个至少出现 1 次，问：这 样的 n位数有多少个？解用 I 表示由 1, 2, 3 组成的 n 位数集合，则|I|=3n,用 A1,A,A3分别表示不

13、含 1,不含 2, 不含 3 的由 1, 2, 3 组成的 n 位数的集合，WJ|A1|=|A2|=|A3|=2n, |A A2|=|A A|=|A A|=10”1以|=0。3所以由容斥原理|A1UA2UA|= w | A |-W | A n Aj|+|A1n A2n A3|=3X2n-3.所以满足条件的 n 位im i=j数有 |I|-|A AJAUA3|=3n-3 X 2n+3 个。7.7.递推方法。例 7 用 1, 2, 3 三个数字来构造 n 位数，但不允许有两个紧挨着的 1 出现在 n 位数中，问：能构 造出多少个这样的 n 位数？解设能构造 an个符合要求的 n 位数，贝Ua=3,

14、由乘法原理知 a2=3x3-1=8.当 n3 时：1)如 果 n 位数的第一个数字是 2 或 3,那么这样的 n 位数有 2an-1； 2)如果 n 位数的第一个数字是 1,那么 第二位只能是 2 或 3,这样的 n 位数有 2an-2,所以 an=2(an-1+a-2)(n 3).这里数列an的特征方程为 x2=2x+2 ,它的 两根为 X1=1+73,x2=1-43,故an=C1(1+43)n+ C2(1+43)n,由a=3,a2=8 得_ 2. 3_ . 3 -21n 2n 2勺=不勺=布所以=杰（1也一（1一右）.wiK；：*阳光家教网 高考数学学习资料58.8.算两次。4FllR m

15、 n rGKLT7F日日Cr。+。1。+。2。一2+r。0个例8 m,n,rU l+,K少. Cn_m=CnCm十 CnCm十 CnCm十 十 CnCm证明从 n 位太太与 m 位先生中选出 r 位的方法有 Cnr和种；另一方面，从这 n+m 人中选出 k 位 太太与r-k 位先生的方法有况荒吐种，k=0,1, , ,r。所以从这n+m 人中选出 r 位的方法有enc +况九+c；cm种。综合两个方面，即得式。9.9.母函数。例 9 一副三色牌共有 32 张，红、黄、蓝各 10 张，编号为 1, 2, 编号均为 0o 从这副牌中任取若干张牌，按如下规则计算分值：每张编号为 的分值之和为 200

16、4,则称这些牌为一个“好牌”组，求好牌组的个数。,2004,用 an表示分值之和为 n 的牌组的数目，则 an等丁函数 f(x)=(1+ x2)2的展开式中 xn的系数(约定 |x|1).2m-i则二2p能是若干奇数的积，即为奇数。例 11 对 n 2,证明：2nPi为奇数,2m -2 Pi2m.pjPi,它的分子、分母均为奇数，因 C，=是整数，所以它只；：C4n.证明2 k2k令 i= 2、？pi(1 i k),k阳光家教网 高考数学学习资料7证明1 )当 n=2 时，22C：=642; 2)假设 n=k 时，有 2k C 4k,当 n=k+1 时，因为T7 C2(2k1)k+kck 1k

17、 k 1乂 2 k +14,所以22C2k C2(k) 4C2k2 成立。11.11.二项式定理的应用n一f1例 12 若 n N, n 2,求证：2 1 +1I 3.2, nJn nnn例 13 证明： cnrni3C?=cnm(h苴m壬n).k =e首先，对丁每个确定的 k,等式左边的每一项都是两个组合数的乘积，其中 Cm：是(1+x)n-k的展开式中 xm-h的系数。C?是(1+y)k的展开式中 yk的系数。从而 Cn?Ch就是(1+x)n-k?(1+y)k的展开 式中 xm-hyh的系数。nnn丁是，Z Cm： Ck1就是 (1+x)J(1 + y)k展开式中 xm-hyh的系数。另一

18、方面，Z (1+x)J(1 + y)kk =0k =0k =0=(1 x)n1-(1 y)n1(1 x) -(1 y)n 1n 1、蒙疽八C：1ykk0k W=疽?Ik=0 x - yn 1= C：1(x(xk-1k-1+x+xk-2k-2y+y+,k=0中，x xm-hm-hy yh h项的系数恰为 CnVn所以 弟C?=C：11.k =012.12.概率问题的解法k iC2(k 1)2(k 1)!_ 2 (2k 1)!(k 1)!(k 1)!一(k 1)!k!2(2k 1)k 1k2k.证明n(n -1) (n -k 1)kn k!1k! k(k -1)11=1- (k_2) k一1 k2

19、+C2- -C；：2 1 1-1nn12 2 311一=3 - 3.得证。n n证明+y+yk-1k-1),),上式所以阳光家教网 高考数学学习资料8b b 件正品，采用有放回的抽样方式从中抽取 n n 件产品，问:n n 次，把可能的重复排列作为基本事件，总数为 (a+b)(a+b)n n(即 n n 件产品中恰好有 k k 件是次品，则事件 A A 所包含的基本事件k k n_k总数为 Ck?a?ak kb bn-kn-k, ,故所求的概率为 p(A)=p(A)=- .(a b)n例 1515 将一枚硬币掷 5 5 次，正面朝上恰好一次的概率不为 0,0,而且与正面朝上恰好两次的概率相同， 求恰好三次正面朝上的概率。解 设每次抛硬币正面朝上的概率