电大高等数学(专科)考试小抄

1、极限limsin x1x0x基本积分公式导数基本公式(1)0dxc ( c)'0(2)x a dx1xa1c (x a )'ax a 11 dxa11(3)ln | x | c (ln x)'xx(4)a xdxa xc (a x )'a x ln aln a(5)ex dxexc (ex )'ex(6)sin xdxcos xc (cos x)'sin x(7)cos xdx sin xc(sin x) 'cos x111313x x 2x 2x x x 2x 2xxx1x 11x 2 1x 3xx 2x 3cos01 cos0 cos

2、1 lne=12sin 00 sin1 sin0 ln1=02三、示例limx 23x 2x 2x24lim( x2)( x1)x2 ( x2)( x2)limx1x2 x214三、示例y e 2 x x x，求 dy（微分），先求导数解：y '(e 2 xxx ) '(e 2 x ) '( x x ) '令 :2xu3(eu ) '( x 2 ) 'eu u'3 x 2121e 2x (2x) '3 x 222e 2 x3 x 212dy ( 2e 2 x3 x 21 )dx2三、示例y e x 1 1 , 求y' x解

3、：y'(ex 11)'x令 x1u原式 （eu1 )'x(eu )'( x 1 )'euu' x 2ex 1 (x1)'x 21 e x11 ( x1)2x 22三、示例涉及公式(uv)'u'v'(uv)'u'v'(uv)' u'vuv'uu' vuv'( )'v2v三、示例1 / 4sinx dxx1sinx()dx(sinx )2dx2 (sinx )dx令 x u2 sinudu2cosuc2cosxc三、示例11 e x dxx 21x

4、 1ex 2 dx1e x d 1x令 1 uxue du1exc三、示例涉及公式1dx2dxx1dxd 1x 2x1 dxd ln xxex dxd(exc)sin xdxd cosxcos xdxd sin x三、示例102xexdx令2 xu, exv'则u'2, vv' dxexdx ex原式x 11x2xe |00 2e dx(2e0)2 10 ex dx2e( 2e2)2三、示例02 x cos xdx令 x u, cos x v'则 u' 1, vcos xdxsin x原式22x sin x|00 1sin xdxx sin x|02co

5、sx|02(sin0)(coscos0)22212三、示例02 x sin xdx令 x u, sin x v'则 u'1, vsin xdxcos x原式22x( cos x)|00 1 ( cos x) dxx cos x|0202 cos xdx(cos0)sin x|02220(sinsin 0)21三、示例涉及公式uv' dxuvu'vdxbab uv'dxuv|aab u'vdxkx'kbx|aba三、示例lim1 x 1lim (1x1)(1x1)x 0sin 4xx 0sin 4x(1x1)lim(1x)1limxsin

6、4x(1x1)1x1)x0x 0 sin 4x(limx111limxlim11三、x0sin 4xxx 0 sin 4x x0x1111428示例2 / 41设 y x 2e x ，求 y1y ( x2 e x )x 211y2xe xx2e x三、示例11e xx2 ex112 x 1 exx 215 ln xdx=x1 5 ln x 1 d 5ln x15 ln x d ln x511 5 ln x d 1 5 ln x 令1 5 ln x u 1 u2c510=115ln x 2c10三、示例e设 ysin 4xcos3 x ，求 yy4cos 4 x3sin x cos 2 x三、示

7、例设 yxxln cos x ，求 y .y ( xxln cosx)x xln cos x3311令cosxux 2ln ux2u2u3 x 211(cos x)3 x 21sin x2cos x2cosx3sin x3tan xyxx2cos x2三、示例设 y ln x cosex ，求 dy .令 exu, 则 cos excosuyln xcosexln xcosex11sin u uxcosux1sin ex (ex )1ex sin exxxdy1ex sin exdxx三、示例ln 2x dxln 2xd ln x 令 ln x u u 2 duxu 3cln x 3c33三、

8、示例xa ln xdx1令 ln x u, x av ，则 u1 va1xa 1x,1ealn xdx(ln x)1xa 1 ee 1 1xa 1dxx11x a11a1= (ln e1ea 1ln 111a 1 )1eaxa dxa1a 11 11ea 11xa1ea1( a1)21a1ea 1(a12 ea 112 1a 111)(a1)注意： a 为几就代入几，比如ex2lnx x中 a 为2，1de中 a 为1 ，e中 a 为 1xln xdxxlnx x，1d21eln xdx a 为 01示例四（应用题）某制罐厂要生产一种体积为V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使

9、用料最省？解：设圆柱体半径为R，高为 h，则体积VR 2 hS表面积2 Rh2 R 22 V2 R2R令：S2VR24 R 0VR3R3 V22h34V答：当 R3Vh34V 时表面积最小，即用料最2省。示例四（应用题）3 / 4欲做一个底为正方形，容积为62.5 立方 M 的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底面边长为x，高为 h。则：R2 L当 h3 L,R2 L时其体积最大 。33362.5x2 hh62.5x2表面积为： S x 24xhx2250250x令 S2x0x3125 x 5x2答：当底面边长为5M ，高为 2.5M 时用料最省。示例四（应用题）求曲线 y22x 上的点，使其到点A(2 , 0) 的距离最短解： 设 B( x, y)是 y 22x上的点 ，d 为 B 到 A 点的距离，则：d(x2) 2y 2( x2) 22x当 d 最小时，则 d 2 也最小，所以下面求d 2 的最小值，又 设 B( x, y)是 y 22 x上的点 ，故有d 2( x 2) 2y2( x 2) 22x所以2(2)22(224)22dxxxxx令222 0 ，dx则 x=1，又 y 22x ，则 y=2或2 ，所以 y22x 上点 B(1,2 )或 B(1,2 )到到点 A(2, 0)的