电大高等数学基础形成性考核册答案

1、高等数学基础作业1第 1章函数第 2 章 极限与连续（一）单项选择题下列各函数对中，（C）中的两个函数相等A.f ( x)(x) 2 ， g( x)x B.f (x)x 2， g ( x)xC.f ( x)ln x3 ， g( x) 3ln x D. f (x) x1， g( x)x21x1分析 ：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同A 、 f (x)( x )2x ，定义域x | x0 ； g (x)x ，定义域为 R定义域不同，所以函数不相等；B 、 f ( x)x2x ， g( x)x 对应法则不同，所以函数不相等；C、 f ( x)ln x33ln x ，定义域为x

2、 | x0 ， g( x)3ln x ，定义域为x | x0所以两个函数相等D 、 f (x)x211 ，定义域为 x | xR, x1x 1，定义域为 R； g( x)xx1定义域不同，所以两函数不等。故选 C设函数 f ( x) 的定义域为 (,) ，则函数 f ( x)f (x) 的图形关于（ C）对称A. 坐标原点B. x 轴C. y 轴D. yx分析 ：奇函数，f (x)f (x)偶函数，f (x)f (x)，关于原点对称，关于 y 轴对称yfx与它的反函数yf 1 x 关于 yx 对称，奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称设 g xf xfx ，则 g xfxf x g x所以

3、 gxf xfx 为偶函数，即图形关于y 轴对称故选 C下列函数中为奇函数是（B）A. y ln(1x2 )B. yx cos xa xaxD. yln( 1x)C. y22分析： A 、 yxln(1xln 1 x2yx ，为偶函数)B 、 yxx cos xxcosxyx，为奇函数或者 x 为奇函数， cosx 为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数C、 yxa xaxyx ，所以为偶函数2D、 yxln(1x) ，非奇非偶函数故选 B1/17下列函数中为基本初等函数是（C）A. yx1 B. yxC. yx 2D. y1 ,x01 ,x0分析：六种基本初等函数（ 1） y c （常值）常值函数

4、（ 2） y x , 为常数幂函数（ 3）ya x a0,a1 指数函数（ 4）ylog a xa0, a1 对数函数（ 5）ysin x, ycos x, ytan x, y cot x 三角函数yarc sin x,1,1 ,（ 6）yarc cos x,1,1 ,反三角函数yarc tan x, yarc cot x分段函数不是基本初等函数，故D 选项不对对照比较选 C下列极限存计算不正确的是（D ）x21B. lim ln(1x)0A. lim 2xx2x0C. lim sin x0D. lim x sin 10xxxx1分析： A 、已知 lim0 n0xnxx2x211limlim

5、x2limx22x2221xxx11 0x2x2x2B 、 limln(1x)ln(10)0x0初等函数在期定义域内是连续的sin x10C、 limlim sin xxxxxx 时， 1 是无穷小量， sin x 是有界函数，x无穷小量×有界函数仍是无穷小量D、 lim xsin 1sin 11，则原式 lim sin tlimx ，令 t0, x1xxx1xt 0tx故选 D当 x0 时，变量（ C）是无穷小量sin x1A. B.x x2/17C. x sin 1D. ln( x2)x分析； limfx0 ，则称 f x为 xa 时的无穷小量x aA 、 lim sin x1，

6、重要极限x0xB 、 lim 1，无穷大量x0x11 仍为无穷小量C、 lim x sin0，无穷小量 x ×有界函数 sinx0xxD、 limln( x2)=ln 0+2ln 2x0故选 C若函数 f ( x) 在点 x0满足（ A ），则 f ( x) 在点 x0连续。A. lim f (x)f (x0 )B. f (x) 在点 x0 的某个邻域内有定义xx0C. lim f ( x)f ( x0 ) D. lim f (x)lim f ( x)xx0x x0x x0分析：连续的定义：极限存在且等于此点的函数值，则在此点连续即lim fxf x0x x0连续的充分必要条件 li

7、m fxf x0limf xlim f xfx0x x0x x0x x0故选 A（二）填空题函数x 29ln(1 ) 的定义域是f ( x)3xx | x 3x分析：求定义域一般遵循的原则（ 1） 偶次根号下的量0（ 2） 分母的值不等于 0（ 3） 对数符号下量（真值）为正（ 4）反三角中反正弦、反余弦符号内的量，绝对值小于等于1（ 5） 正切符号内的量不能取k2k 0,1,2然后求满足上述条件的集合的交集，即为定义域f ( x)x 29ln(1x) 要求x3x290x3或 x3x30 得x3求交集3131x0x1定义域为x | x 3已知函数f (x1)x 2x ，则 f (x)x2-x分

8、析：法一，令tx1 得 xt 1则 f (t)t2t1t 2t 则 f x x2x1法二， f (x1)x(x1)x1 1x1 所以 f (t)t 1 t3/17 lim (11 ) xx2xx分析：重要极限 lim11e，等价式 lim 1xxxx 0推广 lim fx则 lim(11) f xexaxaf x1limfx0 则 lim(1fx) f xex axalim(11)xlim(112 x11)2e2x2xx2x11x e若函数 f ( x)(1x) x ,x0 ，在 x0 处连续，则 kexk ,x0分析：分段函数在分段点x0处连续limf xlim f xfx0xx0x x0l

9、im fxlimxk0 kkx 0x 0所以 kelim fxlim1x1exx 0x 0函数 yx 1 , x 00 sin x , x的间断点是 x0分析：间断点即定义域不存在的点或不连续的点初等函数在其定义域范围内都是连续的分段函数主要考虑分段点的连续性（利用连续的充分必要条件）limfxlimx1011x0x 0不等，所以 x0 为其间断点limfxlim sin x0x0x 0若 limf (x) A ，则当 xx0 时， f ( x)A 称为 xx0 时的无穷小量x x0分析： lim( f ( x)A)limf (x)limAAA0xx0x x0x x0所以 f ( x)A 为

10、xx0 时的无穷小量（二） 计算题设函数f ( x)ex, x0x ,x0求： f ( 2) ,f (0) , f (1) 解： f 22 ， f 00， f 1 e1e求函数 ylg 2x1的定义域x4/172x10x2x1 或x 01解得 x解： y lg有意义，要求x02xx0则定义域为1x | x 0或 x2在半径为 R 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数解：DAROhEBC设梯形 ABCD 即为题中要求的梯形，设高为h，即 OE=h ，下底 CD 2R直角三角形 AOE 中，利用勾股定理得AEOA2OE 2R

11、2h2则上底 2AE2 R2h2故 Sh 2R 2 R2h2h RR2h22求 lim sin 3x x 0 sin 2xsin3 xsin3 x解： lim sin3 x3x3 133lim3xlim3xx 0 sin 2xx0sin2x2xx0sin2x21222x2xx 2求 lim1x1 sin(x1)解： limx21lim ( x1)(x1)limx1112x1 sin( x1)x 1 sin( x1)x1 sin( x1)1x1求 lim tan 3x x 0x解： lim tan 3xlim sin3 x1lim sin3 x131 133x 0xx0xcos3 xx03xco

12、s3x1求 lim1 x21 x 0sin x解： lim1 x21( 1 x21)( 1 x21)limx2sin xlim(1x21)sin x1x21)sin xx 0x 0x0 (5/17limx002sin x111x 0( 1x1)x求 lim ( x1) x xx311 )x1 )x11(1(1x 11解： lim(xlim(x)xlimxlimxxe3e4)33)x1xx 3x1x(1x3 3e(1x )xxx23求 lim6x8 x 4x 25x4解： lim x26 x8x4x 2lim x2422limx 4 x25x 4x 4 x 4 x 1x 4 x1413设函数(x

13、2)2,x1f ( x)x ,1x1x1,x1讨论 f (x) 的连续性，并写出其连续区间解：分别对分段点x1,x1 处讨论连续性（ 1）limfxlimx1x1x1limfxlimx1110x1x1所以 limfxlimf x，即 fx在 x1 处不连续x1x1（ 2）limfxlimx222112x1x1limfxlim x1x1x1f 11所以 limfxlimfxf1 即 fx在 x1 处连续x1x1由（ 1）（ 2）得 fx在除点 x1 外均连续故 fx 的连续区间为,11,高等数学基础第二次作业第 3 章导数与微分（一）单项选择题设 f (0) 0 且极限 limf ( x) 存在

14、，则 lim f (x)（ C）x0xx0xA. f (0)f( 0)B.C.f ( x) D. 0 cvx6/17设 f (x) 在 x0 可导，则 limf (x02h) f (x0 )（ D）h 02hA.2 f ( x0 )B. f (x0 )C. 2 f ( x0 ) D.f (x0 )设 f ( x)ex ，则 limf (1x)f (1)（ A）x 0xA. e B. 2eC.1 e D.1 e24设 f ( x)x( x1)( x2)( x99) ，则 f (0)（D）A.99 B.99C.99! D.99!下列结论中正确的是（C ）A. 若 f (x) 在点 x0 有极限，则

15、在点x0 可导B. 若 f ( x) 在点 x0 连续，则在点x0 可导C. 若 f ( x) 在点 x0 可导，则在点x0 有极限D. 若 f ( x) 在点 x0有极限，则在点x0 连续（二）填空题设函数 f ( x)x2 sin 1 ,x0(0)0x，则 f0 ,x0设 f (ex ) e2x5ex ，则 d f (ln x)dx2 ln x5xx曲线f ( x)x1在 (1, 2)处的切线斜率是k12曲线 f ( x)sin x在 ( , 1) 处的切线方程是 y2x2(1)4224设 yx 2x ，则 y2x 2 x (1ln x)设 yx ln x，则 y1x（三）计算题求下列函数

16、的导数y ：331 y ( x x 3)ex y ( x 23)exx 2 ex ycot xx2 ln x ycsc2 x2x2 x ln x yx2y2x ln xxln xln 2 x ycos x2 xx(sin x 2 x ln 2)3(cos x2 x )x3yx 47/17ln x x2sin x( 12x)(ln x x 2 ) cos xyx ysin2 xsin x y x4sin x ln x y 4x3 sin xcos x ln xxsin x x 23x (cos x 2x) (sin x x 2 )3x ln 3 yy3x32 x y ex tan x ln x

17、y ex tan xex1cos2 xx求下列函数的导数y ： y e 1 x2ye 1 x2x1 x 2 y ln cos x33sin x223y3 3x3xtan x yxxx77yx 8 y x 818 y3 xx121y1( x x2 ) 3 (1 1 x 2 )32 ycos2 ex8/17yex sin(2ex ) ycosex2yx 2sin ex22xe ysin n x cosnxyn sin n 1 x cos x cosnx n sin n x sin(nx) y5sin x22y2xln 5 cosx2 5sin x yesin2 xysin2xsin 2xe22 y

18、xxexy xx2x2( x 2xln x)2xe yx e xe e xyx e x( e xe x ln x ) e e xe xx在下列方程中，yy(x) 是由方程确定的函数，求y ： y cos xe2 yy cosxy sin x 2e2 y yy sin xy2e2 ycos x9/17 y cos y ln x1ysin y.y ln xcos y.cos yyx(1sin y ln x)x 2 2xsin yy2x cos y.y2 yxx2 yx22 yx2sin y2sin yy2y (2x cos yy2 )y22xy2 ysin yy2xy 2 cos y x 2 yx

19、ln yyy1yyyy1 ln xeyy21e y y2yyx1yx(2 ye y )y 21exsin y2yyex cos y. y sin y.exyex sin y2 yex cos y eyexy 3ey yex3y2 yy ex 3y2 e y y5x2 yy5x ln 5y 2 y ln 210/17y5 x ln 51 2 y ln 2求下列函数的微分d y ： ycot xcsc xdy(1cos x2 xsin 2)dxcosx yln xsin x1sin x ln x cosxdyx2dxsinx1x y arcsinx11(1 x)(1x)1 x21dyx ) 2(1

20、x)2dxx(1x) 2 dx1 (11x y3 1x1x两边对数得：ln y1ln(1x)ln(1 )3xy111y(x1)3 1xy1 31x11)31(x1x 1x ysin 2 exdyxex3 xsin(2exxdx2 sin ee dx) e y tan ex32x33x2dx3x2ex32dy sec esec xdx11/17求下列函数的二阶导数： y x ln xy1 ln xy1x y x sin xyx cos xsin xyx sin x2cos x y arctan x1y21 xy2xx2 ) 2(1 y3 x2y2x3x2ln 3 y 4x2 3x2ln 2 3

21、2ln 3 3x2（四）证明题设 f ( x) 是可导的奇函数，试证f ( x) 是偶函数证：因为f(x) 是奇函数所以 f (x)f ( x)两边导数得：f (x)( 1)f ( x)f ( x)f (x)所以 f (x) 是偶函数。高等数学基础第三次作业第 4 章导数的应用（一）单项选择题若函数 f ( x) 满足条件（ D），则存在f (b)f ( a)(a , b) ，使得 f ( )A. 在 (a , b) 内连续B. 在 (a , b) 内可导baC. 在 (a , b) 内连续且可导D. 在 a , b 内连续，在 (a , b) 内可导函数 f ( x)x 24x1 的单调增加

22、区间是（ D）A. (, 2)B. (1, 1)C. (2,)D. (2 ,)函数yx24x5 在区间( 6,6)内满足（ A）12/17A. 先单调下降再单调上升B. 单调下降C. 先单调上升再单调下降D. 单调上升函数 f ( x) 满足 f ( x)0 的点，一定是f ( x) 的（ C）A. 间断点B. 极值点C. 驻点D. 拐点设 f (x) 在 (a , b) 内有连续的二阶导数，x0(a , b) ，若 f ( x) 满足（ C ），则 f (x)在 x0 取到极小值A. f (x0 ) 0 , f ( x0 ) 0 B. f (x0 ) 0 , f (x0 ) 0C. f (x

23、0 )0, f ( x0 ) 0 D. f (x0 ) 0, f (x0 ) 0设 f (x) 在 (a , b) 内有连续的二阶导数，且f(x) 0 , f ( x)0 ，则 f (x) 在此区间内是（ A）A. 单调减少且是凸的B. 单调减少且是凹的C. 单调增加且是凸的D. 单调增加且是凹的（二）填空题 设 f ( x) 在 (a , b) 内 可 导 ， x0(a , b) ， 且 当 xx0 时 f (x)0 ， 当 xx0 时f ( x)0 ，则 x0 是 f ( x) 的 极小值点若函数 f ( x) 在点 x0 可导，且 x0 是 f ( x) 的极值点，则f ( x0 )0函数 y ln(1x 2 ) 的单调减少区间是(,0) 函数 f ( x)ex2的单调增加区间是 (0,)若函数 f ( x) 在 a, b 内恒有 f( x)0 ，则 f ( x) 在 a , b 上的最大值是 f