时域采样理论与频域采样定理验证

1、实验4时域采样理论与频域采样定理验证一、实验目的1时域采样理论与频域采样理论是数字信号处理中的重要理论。要求掌握模 拟信号采样前后频谱的变化，以及如何选择采样频率才能使采样后的信号不丢 失信息；要求掌握频率域采样会引起时域周期化的概念，以及频率域采样定理 及其对频域采样点数选择的指导作用。二、实验原理及方法时域采样定理的要点是：(a)对模拟信号xa(t)以间隔T进行时域等间隔理想采样，形成的采样信号的频谱(jQ)是原模拟信号频谱Xa(p )以采样角频率Qs ( Qs= 2兀/T )为周期进行周期延拓。公 式为：1二咒(*)=FTXa(t)=羊 Xa( - jns)Tn=-二(b)采样频率Qs必

2、须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上，才能使采样信号的频谱不产生频谱混叠。利用计算机计算上式并不方便，下面我们导出另外一个公式，以便用计算机上进行实验。理想采样信号？a(t)和模拟信号xa(t)之间的关系为：Q0?a(t) =Xa(t)、(tFT)n=-二对上式进行傅立叶变换，得到：cQXW)=：Xa(t).(t-nT)ejdt-n二二：=、Xa(t)、.(t - nT )ejtdtn二-二一-在上式的积分号内只有当t =nT时，才有非零值，因此:刘纯狎*实验报告课程名称实验成绩指导教师院系班级_学号_姓名_I*a(j) =、Xa(nT)e项町n上式中，在数值上xa(nT) = x(n)，再将

3、缶=QT代入，得到：X(jQ) = Z x(n)ej5n :上式的右边就是序列的傅立叶变换X(e),即*a(j) =X(ej”上式说明理想采样信号的傅立叶变换可用相应的采样序列的傅立叶变换得到，只要将自变量 3 用QT代替即可。频域采样定理的要点是：a)对信号x(n)的频谱函数X(ej口)在0, 2可上等间隔采样N点，得到XN(k)=X(e垸血财,k =0,1,2,N-1则N点IDFTXN(k)得到的序列就是原序列x(n)以N为周期进行周期延拓后的主值区序列，公式为：0 xN(n) =IDFTXN(QN= x(n iN)RN(n)i =(b)由上式可知，频域采样点数N必须大于等于时域离散信号的

4、长度M(即N新)，才能使时域不产生混叠，则N点IDFTXN(Q得到的序列xN(n)就是原序列x(n),即xN(n)=x(n)。如果NM ,xN(n)比原序列尾部多N-M个零点；如果NM , z则xN(n)=IDFTXN)发生了时域混叠失真，而且xN(n)的长度N也比x(n)的长度M短，因此。xN(n)与x(n)不相同。在数字信号处理的应用中，只要涉及时域或者频域采样，都必须服从这两个采样理论 的要点。对比上面叙述的时域采样原理和频域采样原理，得到一个有用的结论，这两个采样理论具有对偶性：“时域采样频谱周期延拓，频域采样时域信号周期延拓”。因此放在一起进行实验。三、实验内容及步骤(1)时域采样理

5、论的验证。给定模拟信号，xa(t) = Ae- sin(0t)u(t)式中A=444.128,O(=50J2兀，Q=5oJ2兀rad/s，它的幅频特性曲线如图10.2.1图10.2.1xa(t)的幅频特性曲线现用DFT(FFT)求该模拟信号的幅频特性，以验证时域采样理论。安照xa(t)的幅频特性曲线，选取三种采样频率，即Fs=1kHzz300Hz,200Hz。观测时间选Tp=50ms。为使用DFT,首先用下面公式产生时域离散信号，对三种采样频率，采样序列按顺序用x1(n) , x2(n) , x3(n)表示。x(n) =xa(nT) = Ae T sin(Q0nT)u(nT)因为采样频率不同，

6、得到的x(n), x2(n) , x3(n)的长度不同，长度(点数)用公式N =Tp XFs计算。选FFT的变换点数为M=64,序列长度不够64的尾部加零。X(k)=FFTx(n) ,k=0,1,2,3,-, M-1式中k代表的频率为2二，缶k= k。M要求：编写实验程序，计算x(n)、x2(n)和x3(n)的幅度特性，并绘图显示。观察分析频谱混叠失真。(2)(2)频域采样理论的验证。给定信号如下：x(n)=三27 n 14壬n 26I 0其它编写程序分别对频谱函数X(ej) =FTx(n)在区间0,2兀上等间隔采样32进行对比和分析，验证总结频域采样理论。提示：频域采样用以下方法容易变程序实

7、现。 直接调用MATLA函数fft计算X32(k) = FFTx(n)32就得到Xj在0,2览的32点频率域采样抽取X32(k)的偶数点即可得到X(ej)在0,2兀的16点频率域采样X16(k),即X16(k) =X32(2k) , k = 0,1,2，15。分 当然也可以按照频域采样理论，先将信号x(n)以16为周期进行周期延拓，取其主值区(16点)，再对其进行16点DFT(FFT),得到的就是X (e)在0,2兀的16点频率域采样入6)。四、思考题如果序列x(n)的长度为M，希望得到其频谱X (ejW)在0,2兀上的N点等间隔采样,和16点,得到X32(k)和Xi6(k):X32(k) =

8、X(ej)号kk =0,1,2, 31Xi6(k) =X(ej)k =0,1,2, 15再分别对X32(k)和X16(k)进行32点和16点IFFT,得到X32(n)和X16(n):X32(n)= I FFT32k(3)20,1,2, 313)= IFFW16k(1)60,1, 2,15分别画出X(ej)、X32(k)和X16(k)的幅度谱,并绘图显示x(n)、x32(n)和x16(n)的波形,当NM时，如何用一次最少点数的DFT得到该频谱采样？五、实验报告及要求(1)运行程序，打印要求显示的图形。(2)(3)(4)六、程序活单和信号波形1、时域采样理论的验证程序清单：%时域采样理论验证程序T

9、p=64/1000;%观察时间Tp=64微秒%产生M长采样序列x(n)% Fs=1000;T=1/Fs;Fs=1000;T=1/Fs;M=Tp*Fs;n=0:M-1;f=n*Fs/M;A=444.128;alph=pi*50*2A0.5;omega=pi*50*2A0.5;xn=A*exp(-alph*n*T).*sin(omega*n*T);Xk=T*fft(xn,M);%M点FFTxnt)subplot(3,1,1);plot(f,abs(Xk);xlabel(f/Hz);ylabel(|x1(jf)|);title(x1(n)的幅度特性);%=%Fs=300HzTp=64/1000;%观

10、察时间Tp=64微秒%产生M长采样序列x(n)% Fs=1000;T=1/Fs;Fs=300;T=1/Fs;M=Tp*Fs;n=0:M-1;f=n*Fs/M;A=444.128;alph=pi*50*2A0.5;omega=pi*50*2A0.5;xn=A*exp(-alph*n*T).*sin(omega*n*T);Xk=T*fft(xn,M);%M点FFTxnt) subplot(3,1,1);plot(f,abs(Xk);xlabel(f/Hz);ylabel(|x1(jf)|);title(x1(n)的幅度特性);%=%Fs=200HzTp=64/1000;Fs=200;T=1/Fs;

11、M=Tp*Fs;n=0:M-1;A=444.128;alph=pi*50*2A0.5;omega=pi*50*2A0.5;xnt=A*exp(-alph*n*T).*sin(omega*n*T);Xk=T*fft(xnt,M);yn=xa(nT);subplot(3,2,5);tstem(xnt,yn);box on; title(a) Fs=1000Hz);k=0:M-1;fk=k/Tp;subplot(3,2,6);plot(fk,abs(Xk);title(a) T*FTxa(nT),Fs=1000Hz);xlabel(f(Hz);ylabel(幅度);axis(0,Fs,0,1.2*m

12、ax(abs(Xk);信号波形：心的的幅心的的幅度特性度特性2、频域采样理论的验证程序清单：M=27;N=32;n=0:M;%产生M长三角波序列x(n)xa=0:floor(M/2); xb= ceil(M/2)-1:-1:0; xn=xa,xb;Xk=fft(xn,1024); %1024点FFTx(n),用于近似序列x(n)的TFX32k=fft(xn,32);%32点FFTx(n)x32n=ifft(X32k); %32点IFFTX32(k)得到x32(n)X16k=X32k(1:2:N);%隔点抽取X32k得到X16(K)x16n=ifft(X16k,N/2);%16点IFFTX16(

13、k)得到x16(n)subplot(3,2,2);stem(n,xn,.);box on title(b)三角波序列x(n);xlabel(n);ylabel(x(n);axis(0,32,0,20) k=0:1023;wk=2*k/1024;%subplot(3,2,1);plot(wk,abs(Xk);title(a)FTx(n);xlabel(omega/pi);ylabel(|X(eAjAomega)|);axis(0,1,0,200)k=0:N/2-1;subplot(3,2,3);stem(k,abs(X16k),.);box ontitle(c) 16点频域采样);xlabel(

14、k);ylabel(|X_1_6(k)|);axis(0,8,0,200) n1=0:N/2-1;subplot(3,2,4);stem(n1,x16n,.);box ontitle(d) 16点IDFTX_1_6(k);xlabel(n);ylabel(x_1_6(n);axis(0,32,0,20) k=0:N-1;subplot(3,2,5);stem(k,abs(X32k),.);box ontitle(e) 32点频域采样);xlabel(k);ylabel(|X_3_2(k)|);axis(0,16,0,200) n1=0:N-1;subplot(3,2,6);stem(n1,x3

15、2n,.);box ontitle(f) 32点IDFTX_3_2(k);xlabel(n);ylabel(x_3_2(n);axis(0,32,0,20)信号波形：(c) 16点频域采样点频域采样200 r-一一- -总总1000 *02468kIDX10HTTTTtTttttt0(e) 32点频域采样点频域采样200 r-100 t0+*051015102030n(f) 32点点IDFTX(k)|(a)FT 枷枷) ) (b)三角波序列三角波序列x(n)0)16点点IDFTg&fk)】思考题简答先对原序列x(n)以N为周期进行周期延拓后取主值区序列,0XN(n)=x(n iN)RN(n)i =:再计算N点DFT则得到N点频域采样:七、实验总结1 1由图可见，采样序列的频谱的确是以采样频率为周期对模拟信号频谱的周期延