期望、方差协方差

1、随机变量的数字特征 一、 数学期望E (x)的性质： 性质一：常数 C, E (C)=C; 性质二：X为随机变量，C为常数，则E(C为=CE(X); 性质三：X, Y为随机变量，贝U E(X+Y)=E(X)+E(Y); 性质三：X,Y为相互独立的随机变量时， E (XV =E (X) E (Y) 二、 方差的性质：D(X)=E(X2) -E(X) 2 性质一：C为常数，则D(C)=0; 性质二：X为随机变量，C为常数，则 D(CX)=C 2D(X) D(X 土 C)=D(X) 性质三：X, Y为相互独立随机变量 D (X土 Y)=D(X)+D(Y) 当X, Y不相互独立时： D(X 土 Y)

2、=D(X)+D(Y) 土 2COV(X,Y); 关于协方差COV(X+Y, X-Y)=D(X)-D(Y)的证明？ 证：由 COV( X, Y) =E (XYO -E(X)E(Y) 得 COV (X + Y, X Y) = E(X+Y) (X-Y)-E (X+Y)E(X-Y) =E (XA2-YA2) -(E(X)+E(Y)E(X)-E(Y) =E(XA2)-E(YA2)-E(X)E(X)+E(Y)E(Y) =E(XA2)-E(X)E(X)-E(YA2)-E(Y)(Y) =D(X)-D(Y) 三、常用函数期望与方差： (1) (0-1 )分布： 分布律：PX=K=pAk(1 -p)A1-k,k=

3、0,1,2.(0p=1,0p0) 数学期望：入 方差：入 均匀分布U(a,b): 分布律：f(X)=1/(b-a), ax0; f(X)=0, X 三0; 数学期望:1/入 方差：1/入2 正态分布N ( v , P 2) 分布律：f(x)=1/ ( V 2兀 * p )*eA(-(x- v )2/(2 p 2), (- 8 x0) 数学期望：v 方差：p 2 四、 切比雪夫不等式： 随机变量的数学期望 E(x)与方差D(x)存在，则对于任意整数 ,不等式： P|X-E(X)| w D(X)/ 2 成立。 等价于：P|X-E(X)| V 1-D(X)/ 2 推论：D(X)=0的充分必要条件是

4、X以概率1取常数，即 PX=C=1 , C为常数。 其实，C=E(X)O 五、 协方差 Cov (X,Y) 性质一 ：Cov(X,Y)=Cov(Y,X); 性质二：Cov (aX,bY)=abCov(X,Y); 性质三：Cov (X1+X2, Y) =Cov (X1,Y) +Cov (X2,Y); 性质四：X, Y相互独立，贝U Cov (X,Y) =0。 关于相关系数p : 若X,Y的协方差Cov (X,Y)存在，且 D(X)0,D(Y)0,则 P =Cov (X, Y /( V D(X) * V D(Y) 性质一：| p | w 1; 性质二：| p |=1的充分必要条件，存在常数 a,b使得 PY=aX+b=1 当X,Y相互独立时，Cov (X,Y) =0,若相关系数p存在， 则，X,Y不相关； 若X,Y不相关，则X,Y不