2018江苏高考专题五函数

1、江苏新局考江苏卷对函数在解答题上基本不考“抽象函数”，2013年第20题，考查函数的单调性、零点个数问题；2014年第19题，考查函数与不等式；2015年第19题，讨论函数的单调性及函数零点确定参数值；2016年第19题，考查函数与不等式、 零点问题，2017年第20题, 考查函数与导数、函数的极值、零点问题 .题目难度较大，多体现分类讨论思想.第1课时函数（基础课）常考题型突破函数的概念与图象必备知识1 .函数的定义域(1)函数的定义域是研究函数问题的先决条件，它会直接影响函数的性质，所以要树立 定义域优先的意识.(2)对于复合函数的定义域要注意：如果函数f (x)的定义域为A,则f ( g

2、( x)的定义域是使函数 g( x) C A的x的取值范围.如果f(g(x)的定义域为 A,则函数f(x)的定义域是函数 g(x)的值域.f(g(x)与f(h(x)联系的纽带是g(x)与h(x)的值域相同.2 .函数的值域求函数值域的常用方法有观察法、不等式法、图象法、换元法、单调性法等.3 .分段函数若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函 数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数.4 .函数的图象函数的图象包括作图、识图、用图，其中作函数图象有两种基本方法：一是描点法； 二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换.

3、题组练透1. (2017 南通二调)函数f(x) = &5x2的定义域是 .解析：由题意得lg(5 -x2) >0 ? 5-x2>l? -2< x<2,因此f(x)的定义域为2,2答案：2,2ax+1-2, x<1,2. (2017 盐城模考)已知函数f(x) =2x - 1, x>1,若 f(0) =3,则 f(a) =.解析：因为 f(0) =3,所以 a2=3,即 a=5,所以 f(a) = f(5) =9.答案：93. (2017 南通模考)函数f(x) = 31x2的值域为 .解析：因为 1 x2W1,所以 f (x) = 31 -x2 (

4、0,3.答案：(0,34. (2016 南通调研)已知函数 f (x) =loga(x+b)( a>0且 aw1,产b C R)的图象如图所示，则a+ b的值是.解析：将(3,0) , (0 , -2)分别代入解析式得 log a(-3+b) = 0,：19log ab= - 2,解得 a=, b=4,从而 a+b=2.9答案：2方法归纳1 .求函数定义域的类型和相应方法1若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范 围，只需构建并解不等式组即可.2实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义2 .求函数值的注意点形如f g x的函数求值时，应

5、遵循先内后外的原则； 而对于分段函数的求值解不等式问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；对具有周期性的函数求值要利 用其周期性.3 .函数的图象1作图若函数表达式或变形后的表达式是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征 描点作出；若函数图象可由基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象 变换作出，但要注意变换顺序 .尤其注意y=f x 与y= f -x , y=f x , y= f -x , y = f | x| , y= | f x |及y=af x +b的相互关系.,2识图，从图象 与坐标轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象 的对

6、应关系.3用图图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的 求解常与图象数形结合研究 .函数的基本性质必备知识1 .函数的单调性单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性.判断 函数单调性常用定义法、图象法及导数法.2 .函数的奇偶性函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质.偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标 原点对称的定义域上具有相同的单调性，判断函数奇偶性的常用方法有定义法、图象法及 性质法.3 .函数的周期性周期性是函数在定义域上的整体性质.若函数满足f(a

7、+x) = f(x)( a不等于0),则其一个周期T=|a|,最小正数T叫做f(x)的最小正周期.4 .函数的对称性若函数f (x)满足f (a x) = f (a+x)或f(x) =f (2 a x),则函数f(x)关于直线x= a对 称.若函数 f (x)满足 f (a x) = f (a+x)或 f (x) = f (2 a-x),则函数 f (x)关于点(a, 0) 中心对称.题组练透1. (2017 南京三模)已知函数f(x)是定义在R上且周期为4的偶函数.当x 2,431时，f(x) = log 4 x2 ，则 f 2 的值为 .111解析：因为函数f(x)是定义在R上且周期为4的

8、偶函数，所以f 2 =f - =f 4-,3111 3因为当 x C 2,4时，f (x) = log 4 x- 2 ,所以 f 2 = f 4-2 = log 4 4-2-2 = log 42 1=2.答案：21一，x<a,2. (2017 盐城期中)若函数f(x)= x在区间(一8, a)上单调递减，| x+ 1| , x>a在(a, +8)上单调递增，则实数 a的取值范围是 .1一，x<a,解析：函数f(x) = x根据反比例函数的性质可知，在区间 (一8,|x+1| , x>a,0)上单调递减，要使函数 f (x)在区间(一8, a)上单调递减，则 aW0.因此

9、函数f(x) = |x + 1在区间(a,+8)上单调递增，那么a+1>0,解得a>1.所以实数a的取值范围是 1,0.答案：1,03. (2017 苏北四市期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f (x) =2x 3,则不等式f(x)W 5的解集为 .解析：若xv 0,则x>0,.当 x>0 时,f(x) = 2x3, 当一x>0 时，f(x)=2x 3, f(x)是定义在R上的奇函数， ' f ( x) = 2 3 = f (x),则 f (x) = 2 x+3, x<0,当x>0时，不等式f(x)W5等价于2x-3

10、<- 5,即2xw 2,无解，不成立；当 x<0 时，不等式 f(x)w5 等价于2一x+3W 5,即 2一x>8,得一x>3,即 x<-3；当x=0时，f(0) =0,不等式f(x)<-5不成立，综上，不等式的解为(一国，3.答案：(一8, 314. (2017 江苏局考)已知函数f (x) =x 2x+e r,其中e是自然对数的底数.若 ef(a-1) +f (2a2)<0,则实数a的取值范围是 .解析：由 f(x) =x3-2x+ex-4,e得 f( 一 x) = 一 x + 2x + -x e = 一 f (x), e所以f(x)是R上的奇函数

11、.又 f ' (x) =3x22+ex+J>3x22+21< =3x2>0,当且仅当 x = 0 时取等号，所以f(x)在其定义域内单调递增.因为 f(a1)+f(2a)w。,所以 f (a-1)<- f(2a2) = f(-2a2),所以aK 2a之，解得一 1w a<2,1故实数a的取值范围是 1,2.答案:方法归纳1.破解函数的单调性的四种方法数形结合法对于填空题能画出图象的函数转化法由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，(常转 化为基本初等函数单调性的判断问题)导数法解析式为分式、指数函数式、对数式等较复杂的函数定义法抽象函数2.判断函数的

12、奇偶性的三个技巧(1)奇、偶函数的定义域关于原点对称；(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；(3)对于偶函数而言，有 f(-x) = f(x)=f(| x|).3.函数性质的应用可以利用函数的性质确定函数图象，并充分利用已知区间上函数的性质解决问题，体 现转化思想.1 .指数函数的图象与性质y= ax( a>0,且 aw 1)a>10<a<1图象性质定义域：R值域：(0 , +8)过定点(0,1)当 x>0 时，y>1; x<0 时，0<y<1当 x>0 时，0<y<1; x<0 时，y>1

13、在(°°, +°°)上是增函数在(°°, +°°)上是减函数2.对数函数的图象与性质y= log ax( a>0,且 aw 1)a>10<a<1图象性质定义域：(0 , +°0)值域：R过定点(1,0),即x=1时，y=0当 x>1 时，y>0;当 0<x<1 时，y<0当 x>1 时，y<0;当 0<x<1 时，y>0在(0 , +8)上是增函数在(0 , +8)上是减函数3.二次函数的图象和性质y= ax2 + bx+

14、 c(aw0)a>0a<0图象函数性质定义域R值域4ac- b2-k oo4a ，4ac- b284a奇偶性b= 0时为偶函数，bwo时既不是奇函数也不是偶函数单调性bxC 8,时递减，2abxC 8,时递增，2aX b2a，十0°时递增x 2a， +00时递减图象特点对称轴：x=一白；顶点:b 4ac b22a'4a4.募函数图象的比较5.常见募函数的性质函数特征性质y = x2y = x3y=x1 y=x21 y=x定义域RRR0, +°°)x| xC R 且 xW0值域R0 , +°°)R0, +°°

15、;)y|ye r 且 yW0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增xC 0 , +oo) 时，增；xC ( 8, 0 时，减增增xC (0 , +oo)和(0°, 0)时，减公共点(1,1)题组练透，一、. ，一一，«. ,11. (2017 南通海安检测)已知帚函数f(x)=x，其中“C -2, - 1,1, 2, 3 .则使f (X)为奇函数，且在区间(0 , +8)上是单调增函数的”的所有取值的集合为解析：哥函数f(x)为奇函数，则a=1,1,3 , f(x)在区间(0, +8)上是单调增函数，则a的所有值为1,3.答案：1,312 )2. (2017 江

16、苏学易联考期末)函数V= 2寸x的单调递增区间是 .C12,一解析：由题意可得x2+x + 2>0,解得1W x<2,故函数y= 2 V-x +x+2的定义域为911-1,2,又函数f(x) = x2+x+ 2在区间 8,万上单调递增，在区间 +oo上单调1 .21递减，根据复合函数的单调性可得函数y= 2七+圻2的单调递增区间为方，2 .1答案：2, 23. (2017 扬州期中)已知函数 f(x) =x(1 a|x|) +1(a>0),若 f (x+a) wf (x)对任 意的xe R恒成立，则实数 a的取值范围是 .解析：. f (x) =x(1 a| x|) + 1x

17、 1 + ax + 1, x<0,x 1 ax + 1, x>0a x+工 2+1-1, x<0,2a 4a=11(a>。)， a x_2+ 1 + 7, x>0f (x+a) =(x+a)(1 a|x+a|) +1,又f(x+a)wf(x)对任意的xCR恒成立,在同一直角坐标系中彳出满足题意的丫="*+2)与丫=/*), y的图象如图所示：归人人 ' x(1 + ax) +1>(x+a)1 a(x + a) +1 恒成立,即 x+ ax2+1 >- a(x2+ 2ax+ a2) +x+ a+ 1,整理得：2x2 + 2ax+a2 1

18、 RO恒成立， =4a2 4x2x( a2 1)wo,解得 a>V2.答案：4.(2017 苏北三市三模)如图，已知正方形 ABCD勺边长为2, BC平行于x轴，顶点A,B 和 C分别在函数 y1 = 3logax, y2= 2log ax 和 y3= log ax( a>1)的图象上,则实数a的值为解析：设 qx°, log axe),则 2log axB= loga*。,即 xB= xo, 解得 XB=y-x0,故 Xc Xb= X0qXL= 2, 解得 Xo=4,即 B(2,2log a2) , A(2,3log a2),由 AB= 2,可得 3log a2-2lo

19、ga2= 2,解得 a=y12.答案：2方法归纳基本初等函数图象与性质的应用技巧(1)指数函数与对数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和0<a<1两种情况讨论.(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法 转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的 关系进行判断.(3)对于哥函数y=X"的性质要注意 a>0和a <0两种情况的不同.1 .函数零点的定义对于函数f(X),我们把使f(X)=0的实数X叫做函数f(X)的零点.2 .确定函数零点的常用方法(

20、1)解方程法；(2)利用零点存在性定理；(3)数形结合，利用两个函数图象的交点求解.题组练透1. (2017 苏锡常镇一模)若函数f (X)ln x2 , x > 1, X1则函数y= | f (x)| 、的 8零点个数为l , ln x 1解析：当 x>l 时，y = x-8,则n2 = 1-,即 ln x = 1x2, X 88令g(x) = ln x-x2, x>1,则函数g(x)是连续函数且先增后减,8g(x) = ln x-1x2,有 2 个零点.8g(1) =-1< 0, g(2) =ln 2 -1> 0, 82g(4) =ln 4 -2<0,由

21、函数的零点判定定理可知当x<1时，12T 1 , x<0,尸 11xC 0 , 1,一，一， 1,一，一函数的图象与y=石的图象如图， 8则两个函数有2个交点，一，一一1 , 一 . *，*综上，函数y=|f(x)| 彳的零点个数为4个.8答案：4其中m>0.若函数y=f(f(x)x+m x<0,2. (2017 南通二调)已知函数f(x)=2 >0 1有3个不同的零点，则 m的取值范围是.解析：令 f(x) = t，则 f (t) =1,所以 t =&或 t = mi- 1,即 f (x)=42与 f (x) = mi- 1有3个不同解.m<1,所

22、以即0Vm<1.1<m- 1,答案：(0,1)x2, x e d,x, x?D,3. (2017 江苏高考)设£(刈是定义在R上且周期为1的函数，在区间0,1)上，f(x)n 1*其中集合D= x x = nCN ,则方程f(x)-lg x=0的解的个数是.解析：由于f(x) 0,1),因此只需考虑1wx<10的情况,在此范围内，当x Q且x?Z时，设x='q, p N , p»2且p, q互质.Pn右 lg xC Q 则由 lg xC (0,1),可设 lg x=m m nC N, m>2 且 mj n互质,因此10-=则10n= qm,此

23、时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此 lg x?Q m pP故1g x不可能与每个周期内 x 6 D对应的部分相等，只需考虑1g x与每个周期内x?D部分的交点.画出函数草图(如图)，图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期 x?D的部分，且x=1处(1g x) ' =1= 1 <1,则在x= 1附近仅有一个交点，因此方程f(x)xin io in io-1g x=0的解的个数为8.答案：8方法归纳利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法课时达标训练A组一一抓牢中档小题11. (2017 苏锡常镇一模 )函数f (x) = jn一4x 3 的定义域为4x-

24、 3>0,解析：由题意得4x_ 3.1,一 3一解得x且xw1,3故函数的定义域是 *>4且*1.、3 一答案：xx>4且一，1,一I2. 函数f (x) = In 的值域是 I x| + 1解析：因为| x| >0,所以| x| +1 >1. .1 ,1所以0VmW1.所以lnE<0,1即 f(x) = ln|x| + 1 的值域为(一8, 0.答案：(8, 0x-1,XV 0,13. (2017 启东模考)设函数f (x) = 2则 f (f (2)=x2+ xx>0,1解析：因为 f(2) =4+2=2, f( -2)=-21=3,所以 f (f

25、 (2) =3.答案：34.已知f(x)是奇函数,2+f x 什皿g(x) = -.右 g(2) =3,贝U g( - 2)=x解析：由题意可得 g(2)2 + f2f一2=3,则 f(2) =1,又 f(x)是奇函数，则 f ( - 2)=-1,所以 g( -2)=2+f -22- 1f -2答案：1log 2x, x>0,5. 已知函数f (x) =<0若f(1) +f (a1) =2,则a的值为解析：因为 f(1) +f(a1)=2,又 f(1) =0,所以 f(a1) = 2,当 a-1 >0,即 a>1时，有 log 2(a-1) =2,解得 a= 5.当 a

26、-1<0,即 a<l 时，有 2a 1=2,解得 a= 2(舍去)，所以a= 5.答案：56. (2017 泰州二中模考)函数f (x)是R上的奇函数，f(x+2) =f (x),当xC(0,2) 时，f(x) =x + 2,则 f =.解析：因为 f (x+ 2) = - f (x),所以 f(x+4)=-f(x+2) = f(x),则函数 f(x)是周期 为 4 的周期函数，则 f (7) =f (7 -8) = f( -1) =- f (1) = (1 +2) = 3.答案：37. (2017 苏州考前模拟)设2=啕32, b=log21, c= 2 0.3,则a, b, c

27、按从小到大 的顺序排列为.解析：由已知结合对数函数图象和指数函数图象得到a<0, b>1,0< c<1.答案：a<c<b8. (2017 盐城响水中学学情分析)设函数f (x) = lg( x + q + mx)是奇函数，则实数 m的值为.解析：.函数f (x) = lg( x+ 1 + mx)是奇函数，f( -x) = - f(x),即 lg( -x + .1 + mx) = lg( x + # + mx),即 lg( -x + W + ml) + lg( x + 1 1 + mx)=lg( -x+ 1 + mx)( x+ /1+ mx)= lg1 +(m

28、- 1)x2=0,即 1 + (m- 1)x2=1,故 m= 1.答案：1sin -x-, 1<x<0,19 .已知在(一1,1)上函数f (x) =2若f (x)=-则xlog 2 x+1, 0<x< 1,的值为.解析：当一1vxW0 时，由 f(x) = sin ?= 1,解得 x= 1；当 0vxv 1 时，由 f(x) 223= log 2(x+1) = 解得x=21,不符合题意，舍去，故 x的值为一(.答案：-13a2 x+1, x< 1,10 .已知f (x) = ax x>(a>0且aw1)满足对任意 xiwx2都有f Xi f x2Xi

29、 X2>0,那么实数a的取值范围是解析：因为任意 X1WX2,都有f x1 f x2 >0,则f(x)在R上为单调递增函数，Xi X2则函数y=ax在1 , +8)和函数 v= (a2)x+1在(一巴 1)上均为单调递增函数，所以a> 1, a 2>0,? a>2.a> a-2 +1答案：(2 , +8)11 . (2017 全国卷I改编)函数f(x)在(一8, +8)单调递减，且为奇函数.若 f(1) =-1,则满足一1W f(x-2)<l的x的取值范围是 .解析： f(x)为奇函数，f(x)= f(x).f(1) =-1, f(-1) = -f(1

30、) =1.故由一1W f(x-2)<1,得 f(1) < f(x-2)< f( -1).又f(x)在(8,+8)单调递减，.-.-1< x-2<1,1< x<3.答案：1,312 . (2017 浙江高考)已知aCR,函数f(x) = x+4-a +a在区间1,4上的最大值 x是5,则a的取值范围是.解析：. xC 1,4 ，.二 x + 4C 4,5,x9 一当 aw2时，f(x)max= |5 a| + a= 5 a+a=5,符合题忌;9当a>2时，f(x) max= |4 a| +a=2a-4=5,一 9 一一 9解得a=2(矛盾)，故a的

31、取值范围是一00, 2 .9答案：8, a, awb,13.对于任意实数 a, b,定义min a, b=设函数f(x)= x+3, g(x)b, a>b.=log 2x,则函数 h(x) = min f(x) , g(x)的最大值是 .解析：依题意,log 2x, 0vxW2,h(x)= x+3, x>2.当0vxW2时，h(x) = log 2x是增函数;当x>2时，h(x) = 3 x是减函数，所以h(x)在x=2时，取得最大值 h(2) =1.答案：1x+ 1, x<0,114. (2017 全国卷出)设函数f(x)= 2x >0则满足f(x)+f x2

32、>1的x的取值范围是解析：由题意知，可对不等式分x<0,0<x<2, x>2讨论., ，一一,11 ,1当xwo时，原不等式为 x+1 + x + 2>1,解得x> 4，所以一4<xW0.1 V 1当0<xw2时，原不等式为 2 +x+2>1,显然成立.1 V1当x,时，原不等式为 2 +2x- 2>1,显然成立.1综上可知，x的取值范围是 4，+8 .答案：7 +°° 4B组一一力争难度小题x2-x+ 3, x< 1, x1 .已知函数f(x)=2设aCR,若关于x的不等式f(x) > -+ax

33、'在R上恒成立，则a的取值范围是 解析：法一：根据题意，作出f(x)的大致图象，如图所示.x当x<l时，若要f (x) > - + a恒成立，结合图象，只需x2-x + 3>- 1+a ,即 x2-|+3+a>0,故对于方程 x2-1 + 3+a=0, = -2 2-4(3 + a) <0,解得 a>- 16；当 x>1 时，若要 f (x) > |+a 恒成立, 结合图象，只需x+->a,即x+2>a.又x+2>2,当且仅当"x=2,即x=2时等号成立，x 22 x 2 x2 x47所以aw2.综上，a的取值

34、范围是 一16, 2 .xx法二：关于x的不等式f (x) > 2+a在R上恒成立等价于f (x) wa+2wf (x),一xx即f (x) a< f (x) 2在R上恒成立，人x令 g(x)=f(x) 2.2 x 2 x当 xwi 时，g(x) = (x x+3) 2=x十万一31 2 47-x4 记,1 ,47当 x = 4时,g(x)max=-；当 x>1 时，g(x)= x+j x= 1x+jw2嗜， x 2 x x当且仅当3x-= x，且x>i,即*=乎时，"=”成立，故 g(x)max= - 2 3.47综上，g(x)max= - 16.人x令 h

35、(x) = f(x)2x 23x当 xWl 时，h(x) =x x + 32= x + 33 2 39x4 +而，当 X =时，h(X)min =x 22+x”416当 x>1 时，h(x) =x+2 xx 2当且仅当且x>1,即x=2时，“=”成立，2 x故 h( x) min= 2.综上，h(x)min=2.47故a的取值范围为 -16, 2 .47答案：一花，2,2x+1 .x+ 1 一 一一.* 2.已知函数y = 2x- 与函数丫 = 丁的图象共有k(kCN)个公共点：A(xi, yi) , A(x2,y2),，A<(xk, yk),则 (xi+y)=i =12x1

36、2 2x+1 22解析：y=277 =2x+l =22不彳，易知该函数在 R上单调递增，值域为(0,2),易知该函数在R上单调递减，且图象关于点(0,1)x+ 11且图象关于点(0,1)对不y=-x-= 1+xk对称.故两函数图象有两个交点，它们关于点(0,1)对称，所以 (xi + yi) =2.答案：23. (2017 扬州考前调研)已知函数f(x)kx2+ 2x- 1xC 0, 1,kx+ 1, xC有两个不相11等的零点x1, x2,则1+1的最大值为一一， 一，一 一， * 一 . 1 一“ 一 斛析：当k = 0时，函数f(x)只有一个季点2,不合题忌;当k>0时，由于一1&

37、lt;0,所 k以函数f(x)在(0,1上至多有一个零点，在 (1 , +8)上没有零点，不合题意；当 k=- 1 时，函数f(x)只有一个零点1,不合题意；当k< 1时，函数f(x)在(0,1上A = 4+4k<0,没有零点，不合题意；当1vkv0时，函数f(x)在(0,1上的零点为x1 = 111 + k,一 k在(1+ 8)上零点为符合题意.所以k + 一U=，令M币=tex1 x21小+k Y(0,1),则 k=t2-1,11则 一十 一=x1 x22,1299-t+t + 2=- t-2 +4丁答案：4x, x>a,4. (2017 南通三模)已知函数f(x)= x

38、3 3x .a若函数g(x) =2f (x) ax恰有2个不同的零点，则实数 a的取值范围是2-a x, x>a,解析：g(x) =32x -6+ a x, x<a,显然当a = 2时，g(x)有无穷多个零点，不符合题意; 当 x>a 时，令 g(x) =0,得 x=0,2 6+ a当 x<a 时，令 g(x) = 0,得 x= 0 或 x =-2",若a>0,且aw2,则g(x)在a, +8)上无零点,在（一8, a）上存在零点 x=0和x= 、l2, 1 yj2> a 解得 °<a<2,若a=0,则g（x）在0 , +8）

39、上存在零点 x=0, 在（8, 0）上存在零点x=小，符合题意.若a<0,则g（x）在a, + °°）上存在零点 x=0, 1 g（x）在（8, a）上只有1个零点， 0?（巴 a）,."用.，6 + a g（x）在（一8, a）上的零点为一、一2,"l2<a,解得2<a<。3综上，a的取值范围是 一2, 2 .答案：一2, 2第2课时不等式（基础课）常考题型突破必备知识1 . 一元二次不等式的解法先化为一般形式 ax2 + bx+c>0(aw0),再求相应一元二次方程ax2+bx+c= 0(aw0)的根，最后根据相应二次函

40、数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集.2 .简单分式不等式的解法f x k>0(<0)?f<0)；(2)fx >0(W0)? f(x)g(x) R0(W0)且 g(x)w0.g x题组练透1. (2017 -南通启东模拟)已知一元二次不等式f (x)>0的解集为(一8, l)U(2,+oo),则f(lg x)<0的解集为.f(x)>0的解集为(一 由 f(lg x)<0,解析：因为一元二次不等式 等式f(x)<0的解集为(1,2), 等式的解集为(10,100).答案：(10,100)2x-3, x>2,2. 设函数 f

41、(x) =232 v 2x>2,解析：不等式f(x)>2可化为2x-3>2°°, 1)U(2, +8),所以一元二次不可得1<lg x<2,从而解得10Vx<100,所以不若f(x) >2,则x的取值范围是.x<2,5或 x2 3x 2>2 解得 x>2或 x<- 15答案：(8, - 1) U 2, +83. (2017 南通、泰州一调)已知函数f (x) =|x|十|x 4| ,则不等式f (x2+ 2)>f(x) 的解集用区间表示为.-2x+4, x<0,解析：由题意f(x)= 4, 0Vx

42、<4,作出f(x)的图象如图所2x 4, x>4,示.法一：由函数图象知 f(x)的图象关于直线 x= 2对称.因为 x2+2>0 且 x2+2>x 恒成立，所以 x2+2>4 且 x2+2>4 x,解得 x C ( 8, - 2) U (啦，+°°).法二：由函数f(x)的图象可知，当 0W x<4 时，f (x) =4,所以x2+2>4,得xx/2或x< 一也.当 x>>/2时，x2+2>x,故 x><2.当 x<亚时，x2+2>4 x,故 x<2.所以 xC( 00,

43、 2) U (2, + 00).答案：(8, - 2) U (4 +OO)方法归纳不等式的求解技巧(1)对含参数的不等式，难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原 因，明确分类标准(如最高次系数、判别式、根相等 )，层次清楚地求解.(2)与一元二次不等式有关的恒成立问题，通常转化为根的分布问题，求解时一定要借 助二次函数的图象，一般考虑四个方面：开口方向、判别式的符号、对称轴的位置、区间 端点函数值的符号.简单的线性规划问题必备知识线性目标函数z= ax+by最值的确定方法线性目标函数 z= ax+by中的z不是直线ax+by= z在y轴上的截距，把目标函数化 为y=a、+b可知

44、bb是直线ax+by=z在y轴上的截距，要根据b的符号确定目标函数在什 么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值.题组练透x-y+1 >0,x+ y< 5,1. (2017 江苏四星级学校联考)设M N是不等式组所表示的x>0,y>0平面区域内不同的两点，则此两点间的距离MN的最大值是 .解析：作出不等式组所表示的平面区域是一个以点Q0,0) ,E(0,1),Q2,3) , D(5,0)为顶点的四边形及其内部(如图所示)，且对角互补，故 犬 “此四边形有外接圆，其直径 BD为最长的弦，故MN的最大值为力鼻jc* 厂 5- 1 2 = 26.答案：以2. （2017 全国

45、卷I ）设*, y满足约束条件 2x + y>- 1 x y< 0,值为.x+ 2y< 1,解析：作出不等式组2x+y>- 1,x-y<0所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线触点A时，在y轴上的截距最大，此时 z最小，x + 2y= 1 ,x= - 1,由解得2x+ y= 1,y= 1. Zmin = 5.答案：5x-2y + 4>0,3. （2016 江苏高考）已知实数x, y满足2x+y-2>0, 3x-y-3<0,解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，则,则z=3x2y的最小14c=3 7TT> 二;y 2

46、X卜 2x+产 7则x2+y2的取值范围是（X,、斗心-一工5x + 2yW 1,为阴影区域内的动点.d = Jx2+ y2可以看做坐标原点O与可行域内的步"°点（x, y）之间的距离.数形结合，知 d的最值是点 O到直线2x + y 2 = 0的距离.在大值是oa勺长，d的最小:19 y苍x-2y + 4=0,-J 六产-o1可得A(2,3),所以 dmax 2+ 3 .13 , dmin x2 + y2的取值范围是£ 13 .54答案：13 54. (2017 盐城调研)已知实数x大值为.3x-y-3= 0|广二=义.所以d2的最小值为之最大值为13.所以 ,

47、122+ 1255x>1,2y 13 y满足约束条件 x+y<5,则z=的最2x 3x 一 y w 2）解析：已知约束条件所表示的平面区域为图中的ABCM其内部，W z =2y 12x+31 y-2 f X + 23 1示点p -2, 2与阴影部分（含边界）内的点的连线的斜率.由图可知，当取点ai,4）时，斜率最大,7Zmax= 一57答案：5方法归纳解决线性规划问题的三个注意点（i）首先要找到可行域，其次要注意目标函数所表示的几何意义，找到目标函数达到最 值时可行域的顶点（或边界上的点），但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.（2）画可行域时应注意区域是否包含边界.（3）对

48、目标函数z= ax+by中b的符号，一定要注意 b的正负与z的最值的对应，要结 合图形分析.基本不等式必备知识利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是:如果x>0, y>0, xy = p（定值），当x=y时，x+y有最小值2/p（简记为：积定,和有最小值）（2）如果x>0, y>0, x+ y=s(定值)，当 x=y 时,xy有最大值孑（简记为：和定，积题组练透1. （2017 南通三模）若正实数x, y满足x+y=1,y 4,一，则y + -的最小值是x y解析：因为正实数 x, y满足x+y=1,y 4x-+ 一+4>2x y4x-Fyy 4x14=8,

49、当且仅当9亍即x=3, y|时，取"=；所以y 4,1 ,4一的最小值是8.x y答案：82. （2017 江苏高考）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为 4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值 一 600 ,.，一 _ _ E、一， 600解析：由题意，一年购买父次，则总运费与总存储费用N和为-X6+4x= 4900一十 x x答案：30x= 30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值.、.a4+ 4b4+ 1 .一 .3. (2017 天津高考)若2, bCR, ab>0,则a十4b十1的最小值为ab解

50、析:因为ab>0,所以a4+ 4b4+ 12>4a4b4 + 14a2b2 + 1ababab1、= 4at>+> ab1 ab=4.当且仅当22a = 2b1 ab= 2a4+ 4b4+ 1 时取等号，故b的最小值是4.4.若实数x,y 满足 2x2+xy y2=1,则5x2：2x2y 2y2的最大值为解析：法一:2x2 + xy-y2 = (2x-y)( x + y),令 2x丫=3 x + y=n,则 mn= 1,当x 2ym- n5x2 2xy + 2y2 m2+ n2 一mt- n m- nm- n 2+2取付取大值时，必有* n0，则mn 2+25-v-当且

51、仅当 mi n= J2时取等号，所以5 0 2的最大值为 22-.124 ,555x2xy+2y4m- n+ vm- nx- 2y法二:当5x22xy + 2y2取最大彳1时，一药°，且222222一 x 2y5x 2xy + 2y = (x - 2y) + 2(2 x + xy - y ) = (x - 2y) +2,则 5x2_2xy +2y2x- 2y1x-2y2+2 -2 美x- 2y + 2x- 2y 2x2y= = ¥，当且仅当 x2y=*/2时取 x- 2y等号，故5x2- 2xy + 2y2的最大值为 V.方法归纳利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最

52、值:“和为定值，积有最大值”.但应注意以下两点：具备条件正数；验证等号成立.(2)知积求和的最值:“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件.(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解.课时达标训练A组一一抓牢中档小题1. (2017 山东高考改编)设函数y = 44 x的定义域为 A,函数y= ln(1 x)的定义域为B,则An B=解析：由题意可知 A= x| -2<x<2, B= x|x<1,故 An B= x| -2< x<1.答案：x|2

53、wx<1x>0,2.设不等式组 x+2y>4,2x + y w 4所表小的平面区域为D,则区域D的面积为解析：画出可行域如图中阴影部分所示，易得4 A?4小 B(0,2) 3,一 ，144Q0,4)，可行域D的面积为2X -=-.23315X+I, x<0,3.已知f(x) = 解析：因为实数x, y满足xy+3x= 3 0v xv2 ,使f(x) >- 1成立的x的取值范围是x<0,解析：由题意知12x+1 >- 1一X-1 2, x>0,x>0,或2>解得4W x<0或0Vx<2,故所求的x的取值范围是4,2.答案：4,24. (2017 常州三中模考)已知函数f(x) = |x21|,若f(-m2-1) <f(2),则实数 m 的取值范围是.解析：因为 f(x) = |x21|,所以 f ( - nn- 1)=m+2m2, f (2) =3,若 f ( m21) vf