2019-2020年高中数学北师大版选修1-1第二章《由椭圆离心率求法探讨最大角的应用》word知识拓展素材_第1页
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1、2019-2020年高中数学北师大版选修1-1第二章由椭圆离心率求法探讨最大角的应用word知识拓展素材22,，一，一 x y ,/，一，P,例：设椭圆1十22=1 （ab>0）的左、右焦点分别为F1、F2,如果椭圆上存在点 a b使/F PF2 =90,求离心率e的取值范围。常见解法有:解法1：利用曲线范围设 P (x, y),又知 F1 ( -c,0) , F2 (c, 0)F1P =(x c, y),F2P =(x-c,y),由/F1PF2 =90 口,知 F1P_l F2P,22则 F1P F2P =0,即(x+c)(x c) + y =0,得*y2将这个方程与椭圆方程联立，消去

2、y,可解得2 22, 22 a c -a bx =22a - b但由椭圆的范围及 ZF1PF2 =90可知0x2 <a2 22,22 a c -a b 2,即0 W22 < aa2 -b2可得c2主b2,即c2之a2-c2,且c2 <a2,从而得e=£之迎，He = -<1 a 2a,2所以ew 上,1)2解法2:利用基本不等式由椭圆定义，有2a =|PF1|十|PF2|,平方后得22,2,_2 2_2_24a =|PF1| 十|PF2| +2|PF|PF2 H 2(|PF| +|PF21 ) = 2IF1F2I = 8c2所以有ewf2, 1)2解法3：利用

3、最大角范围由已知可知椭圆的最大角范围为9 >900,所以c -0, 2e=1=sin- sin 45 =a 22又 0 ：二 e ：二 1所以有ew42, 1) 2很显然第三种解法最为简单， 但是什么是最大角呢？它又如何使用呢？由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”，如图：F1B2F2即是。当p为椭圆上任意一点时，则当P在Bi或B2位置时，NF1PF2最 大。 此 时 在AOB2F2中 ，O 2 F , c2 =OB2 =2t) sB c Fn 2 a2= Oa最大角还可以快速解决一些其他问题： 221. P为x-+匕=1上的一点，则NF1PF2为直角的点

4、P有 个. 4020222.二十匕=1(m >0, m*40)上有4个点M ,使/ F1Mf2为直角，则m的范围是40 m总结：当cb时，NOB2F2 A45°/F1B2F2 >90°当c = b时，NOB2F2 =450,/F1B2F2 =90。，当c；b时，. OB2F2 ：二450,. F1B2F2 < 900综合应用椭圆的对称性，上面的两个问题就很好解决，第一题中由于 c = b,故满足题意的P点有两个，第二题中由于 M点有四个，故最大角应该大于900 ,此时c>b ,即当 0<m < 40M,有 40-m > m,解得 m <20当 m >40时，有m-40A40,解得m>80综上可知：0 :二m ：二20或m 80再回到开始时的例题若改为：如果椭圆上存在点P,使NF1PF2=601则离心率e的取值c6001氾围又是多少

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