立体几何中距离问题(2)-解答题

1、题号：3试题内容如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA平面CDAB， ABCD是直角梯形，ADBC，BAD90º，BC2，PAAB1PABCD评分标准【题目1】见解析【题目2】见解析【题目3】h=试题解析及建议【题目1】PA平面CDAB，AB平面ABCD，PAAB， 2分又ABAD，PAAD=A，AB平面PAD， 3分PD平面PAD，ABPD 4分【题目2】取线段PB的中点E，PC的中点F，连结AE，EF，DF，EF是PBC中位线，EFBC，； 6分又ADBC，四边形EFDA是平行四边形， 8分AEDF，又AE平面PDC，DF平面PDC，AE平面PDC，故线段PB的中点E是符合题意要求

2、的点 10分【题目3】设点D到平面PBC的距离为hBCAB，BCPA，BC平面PAB，BCPB，PB=，SPBC=PB·BC=，SBDC=BC·AB=1 12分VPBDC=VDPBC，即SBDC·PA=SPBC·h ，h= 14分小题数3【题目1】求证：PDAB；【题目2】在线段PB上找一点E，使AE/平面PCD；【题目3】求点D到平面PBC的距离题号：4试题内容已知正四棱柱中，点E为的中点，F为的中点。评分标准【题目1】【题目2】证明见解析【题目3】试题解析及建议【题目1】取中点，连，则取的中点N，连，是所成的角。.过N作所成的角为【题目2】连BE，则

3、为等腰三角形， 平面【题目3】可知面设到面BDE的距离为，则小题数3【题目1】求与DF所成角的大小；【题目2】求证：面；【题目3】求点到面BDE的距离。题号：5试题内容在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点.评分标准【题目1】证明见解析【题目2】arccos【题目3】试题解析及建议【题目1】取AC中点O，连结OS、OB.SA=SC，AB=BC，ACSO且ACBO.平面SAC平面ABC，平面SAC平面 ABC=ACSO面ABC，SOBO.如图所示建立空间直角坐标系Oxyz.则A（2，0，0），B（0，2，0），C（2，0

4、，0），S（0，0，2），M(1，0)，N(0，).=（4，0，0），=（0，2，2），·=（4，0，0）·（0，2，2）=0，ACSB.【题目2】由【题目1】得=（3，0），=（1，0，）.设n=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量， 取z=1，则x=，y=-，·n=x+z=0，n=(，1)，又=(0，0，2)为平面ABC的一个法向量， cos<n，>=.二面角NCMB的大小为arccos.【题目3】由【题目1】【题目2】得=（1，0），n=（，1）为平面CMN的一个法向量，点B到平面CMN的距离d=.小题数3【题目1】证明：ACSB；【题目2】求

5、二面角NCMB的大小；【题目3】求点B到平面CMN的距离.题号：6试题内容在五棱锥P-ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=a，BC=DE=a，EAB=ABC=DEA=90° 评分标准【题目1】见解析【题目2】见解析【题目3】【题目4】a试题解析及建议【题目1】证明PA=AB=2a，PB=2a,PA2+AB2=PB2，PAB=90°，即PAAB同理PAAE ABAE=A，PA平面ABCDE【题目2】AED90°，AEEDPA平面ABCDE，PAEDED平面PAE，所以DEAG。，为中点，所以AGPE，AG平面PDE 【题目3】AED90°，A

6、EEDPA平面ABCDE，PAEDED平面PAE过A作AGPE于G，过DEAG，AG平面PDE过G作GHPD于H，连AH，由三垂线定理得AHPDAHG为二面角A-PD-E的平面角在直角PAE中，AGa在直角PAD中，AHa，在直角AHG中，sinAHG二面角A-PD-E的正弦值为 【题目4】EAB=ABC=DEA=90°, BC=DE=a,AB=AE=2a, 取AE中点F，连CF，AF=BC,四边形ABCF为平行四边形CFAB，而ABDE，CFDE，而DE平面PDE，CF平面PDE，CF平面PDE点C到平面PDE的距离等于F到平面PDE的距离PA平面ABCDE，PADE又DEAE，D

7、E平面PAE平面PAE平面PDE过F作FGPE于G，则FG平面PDEFG的长即F点到平面PDE的距离在PAE中，PA=AE=2a，F为AE中点，FGPE， FG=a 点C到平面PDE的距离为a小题数4【题目1】求证：PA平面ABCDE；【题目2】若G为PE中点，求证：平面PDE【题目3】求二面角A-PD-E的正弦值；【题目4】求点C到平面PDE的距离题号：7试题内容如图，正三棱柱中，是的中点，评分标准【题目1】证明见答案【题目2】【题目3】证明见答案试题解析及建议【题目1】证法：点是正中边的中点，又底面，平面，证法：如图（a），连结，则点是等腰的底边的中点，（a）【题目2】作于，平面平面，平面

8、于，即的长为点到平面的距离，在中，即点到平面的距离为【题目3】证明：直线平面如图（b）连结交于，则为的中点是的中点，又平面，平面，平面（b）（c）小题数3【题目1】求证：；【题目2】求点到平面的距离；【题目3】判断与平面的位置关系并证明你的结论题号：8试题内容如图所示，四棱锥PABCD的底面是矩形，PA平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，又二面角PCDB为45°.评分标准【题目1】见解析【题目2】见解析【题目3】1试题解析及建议【题目1】取PC的中点G，连接EG、FG，F为PD的中点，GFCD.CDAB，又E为AB的中点，AE GF.四边形AEGF为平行四边形.AFGE，且A

9、F平面PEC，因此AF平面PEC.【题目2】PA平面ABCD，则AD是PD在底面上的射影.又ABCD为矩形，CDAD，则CDPD.因此CDAF，PDA为二面角P-CD-B的平面角，即PDA=45°.F为RtPAD斜边PD的中点，AFPD，PDCD=D，AF平面PCD.由（1）知AFEG.EG平面PCD.EG平面PEC，平面PEC平面PCD.【题目3】由【题目1】【题目2】知AF平面PEC，平面PCD平面PEC，过F作FHPC交PC于H，则FH平面PEC.FH的长度为F到平面PEC的距离，即A到平面PEC的距离.在PFH与PCD中，P为公共角，FHP=CDP=90°，PFHP

10、CD，=.AD=2，PF=，PC=4，FH=×2=1.A到平面PEC的距离为1.小题数3【题目1】求证：AF平面PEC；【题目2】求证：平面PEC平面PCD；【题目3】设AD=2，CD=2,求点A到平面PEC的距离.题号：9试题内容如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知ABAA1a，BCa，M是AD的中点。评分标准【题目1】见解析【题目2】见解析【题目3】A点到平面A1MC的距离为试题解析及建议以D点为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz如图所示.【题目1】,设平面A1BC的法向量为又,即AD/平面A1BC.【题目2】,设平面A1MC

11、的法向量为: ,又,设平面A1BD1的法向量为: ,即平面A1MC平面A1BD1.【题目3】设点A到平面A1MC的距离为d,是平面A1MC的法向量,又,A点到平面A1MC的距离为:.小题数3【题目1】求证：AD平面A1BC；【题目2】求证：平面A1MC平面A1BD1；【题目3】求点A到平面A1MC的距离。题号：10试题内容如图，在棱长为1的正方体中，、分别是棱、的中点BCDA1B1C1D1FEGAKH评分标准【题目1】见解析；【题目2】点到平面的距离为；【题目3】二面角的大小是.试题解析及建议【题目1】证明：连结、，、分别是棱、的中点，由全等的正方形中对应的线段长度相等可得，四边形是菱形，【题

12、目2】解：在面上的射影是，、分别是棱、的中点， 由（）有，与是平面内两相交直线，平面设，则，即点到平面的距离等于【题目3】解：取的中点，连结、，由全等的正方形中对应的线段长度相等可得，由（）有平面，是二面角的平面角 在中， 在中，二面角的大小是小题数3【题目1】求证：；【题目2】求点到平面的距离；【题目3】求二面角的大小题号：11试题内容如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，评分标准【题目1】见解析【题目2】【题目3】试题解析及建议方法一：【题目1】证明：连结OC1分在中，由已知可得而即3分 又平面5分【题目2】解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知直线O

13、E与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角。6分 在中，7分是直角斜边AC上的中线，8分异面直线AB与CD所成角大小的余弦为；9分【题目3】解：设点E到平面ACD的距离为11分在中， 12分而13分点E到平面ACD的距离为14分方法二：【题目1】同方法一5分【题目2】解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则6分7分9分异面直线AB与CD所成角大小的余弦为；10分【题目3】解：设平面ACD的法向量为则11分令得是平面ACD的一个法向量12分又点E到平面ACD的距离14分小题数3【题目1】求证：平面BCD；【题目2】求异面直线AB与CD所成角的余弦；【题目3】求点E到平面ACD的距离题号：

14、12试题内容ABC111ACB如图，斜三棱柱，已知侧面与底面ABC垂直且BCA =90°，=2，若二面角为30°.评分标准【题目1】见解析【题目2】【题目3】试题解析及建议【题目1】面面，因为面面，所以面【题目2】取中点，连接，在中， 是正三角形，又面且面，即即为二面角的平面角为30°， 面，在中， 又面，即与面所成的线面角，在中，【题目3】在上取点，使，则因为是的中线，是的重心，在中，过作/交于， 面，/面，即点在平面上的射影是的中心，该点即为所求，且，小题数3【题目1】证明；【题目2】求与平面所成角的正切值；【题目3】在平面内找一点P，使三棱锥为正三棱锥，并求

15、P到平面距离.题号：13试题内容如图，为等腰直角的直角顶点，、都垂直于所在的平面，A B C D E 评分标准【题目1】【题目2】【题目3】见解析试题解析及建议【题目1】作于，平面平面则向量与所成的角即为二面角的大小.M A K B C D E 由计算得故由面积求得，由射影定理可求得.而则故，故二面角的大小为【题目2】平面，平面，故A、C、D、E四点共面. 且平面平面作于,则有平面， 由故由得即到平面的距离是.【题目3】假设线段BE上存在点，使，平面.平面，平面.又，平面 又（F不与B重合），故平面，则而由计算得:故这与矛盾,故上不存在,使（或平面，而过空间一点有且仅有一条直线与已知平面垂直）

16、z E T D x B A y F C 向量法：过作平面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.【题目1】设平面的一个法向量为则， 故 同理：平面的一个法向量为，则 二面角的大小为【题目2】由【题目1】知平面的一个法向量为，而，故D到平面的距离是【题目3】若上存在使平面，显然此时故（上式也可用向量共线与共面定理得到F点的坐标），故与不垂直，故在上不存在符合题意的点。小题数3【题目1】求二面角的大小；【题目2】求点到平面的距离；【题目3】问线段上是否存在一点，使得平面且若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由题号：14试题内容在正方体中，棱长.评分标准【题目1】见解析【题目2】【题目3】试题解析及建议【题目1】 ， ， . 4分【题目2】连结与交于点，则面，过点作于点，连结，则即二面角的平面角，6分在中， ， . （或，）9分【题目3】，到平面的距离即到平面的距离，又因为点是 的中点，到平面的距离即点到平面的距离， 面，面面，过点作的垂线交于点，则面，的长即点到面的距离，11分在中，到平面的距离为.12分小题数3【题目1】为棱的中点，求证：；【题目2】求二面角的大小；【题目3】求点到平面的距离.题号：15试题内容如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为