空间曲面及其方程

1、1、球面、球面2、柱面、柱面3、旋转曲面、旋转曲面水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：如如果果曲曲面面S与与三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述关关系系：（1 1） 曲面曲面S上任一点的坐标都满足方程；上任一点的坐标都满足方程；（2 2）不在曲面）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程；上的点的坐标都不满足方程；那那么么，方方程程0),( zyxF就就叫叫做做曲曲面面S的的方方程程，而而曲曲面面S就就叫叫做做方方程程的的图图形形曲面的实例：曲面的实例：xyzo

2、),(zyxP例例1 xOy坐标面的方程坐标面的方程 : z=0解析几何的两类基本问题解析几何的两类基本问题:(1)已知几何图形已知几何图形,求其方程求其方程;(2)已知方程分析图形的形状及其位置已知方程分析图形的形状及其位置.xyz0zo几种常见曲面举例几种常见曲面举例与与 xOy坐标面平行的平面的坐标面平行的平面的方程方程 : z=ccz 设设),(zyxM是是所所求求平平面面上上任任一一点点，根据题意有根据题意有|,|MBMA 222321 zyx ,412222 zyx化简得所求方程化简得所求方程. 07262 zyx解解 AB),(zyxMzxyo例例3 3 方程方程 的图形是怎样的

3、？的图形是怎样的？1)2()1(22 yxz根据题意有根据题意有1 z用用平平面面cz 去去截截图图形形得得圆圆：)1(1)2()1(22 ccyx 当当平平面面cz 上上下下移移动动时时，得得到到一一系系列列圆圆圆心在圆心在), 2 , 1(c，半径为，半径为c 1半径随半径随c的增大而增大的增大而增大.图形上不封顶，下封底图形上不封顶，下封底解解c以上几例表明研究空间曲面有以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题：（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程解解设设),

4、(zyxM是球面上任一点，是球面上任一点，RMM |0根据题意有根据题意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为2222Rzyx ),(zyxM),(0000zyxMxyzo上、下半球面的方程分别是：上、下半球面的方程分别是：202020202020)()()()(yyxxRzzyyxxRzz 由上述方程可得球面的一般式方程为：由上述方程可得球面的一般式方程为： x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0 （*）反之，由一般式方程（反之，由一般式方程（*），经过配方又可得

5、到），经过配方又可得到 DCBACzByAx441222222222 ., 04 222是球面方程是球面方程时时当当 DCBA222222yxRzyxRz 球心在原点的上、下球心在原点的上、下半球面的方程分别是：半球面的方程分别是： )()()(2202020即即Rzzyyxx 02222202020000222 Rzyxzzyyxxzyx222 44481624160 xyzxyz例5：方程表示什么曲面？.18)3(2104642 222222 zyxzyxzyx）（）（配方化为配方化为化为化为解：方程解：方程.233 , 2, 1(的球面的球面球心，半径为球心，半径为）为）为方程表示以点方

6、程表示以点 解解设设),(zyxM是曲面上任一点，是曲面上任一点，,21|0 MMMO根据题意有根据题意有 ,21432222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程为所求方程为柱面：柱面： 平行于定直线平行于定直线, ,并沿曲线并沿曲线C移动的直线移动的直线L形成的轨迹形成的轨迹称为柱面，定曲线称为柱面，定曲线C称为柱面的准线，动直线称为柱面的准线，动直线L称为柱称为柱面的母线。面的母线。 本课程只研究母线平行于坐标轴，准线在坐标本课程只研究母线平行于坐标轴，准线在坐标 面上的柱面。面上的柱面。柱面举例柱面举例xozyxozyxy22 抛物柱面抛物柱面xy 平面平面x

7、ozyC M 0M设柱面其准线为设柱面其准线为xoy面上面上., 0),(:求柱面方程求柱面方程轴轴母线平行母线平行zyxFC 如图如图0),( yxF),(zyx)0 ,(00yx0),( yxF00,yyxx 0),(00 yxF又又故故柱面方程柱面方程：例例3 方程方程 表示怎样的曲面？表示怎样的曲面？222Ryx 从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征： 只只含含 zx, 而而缺缺y的的方方程程 0),( zxF，在在空空间间直直角角坐坐标标系系中中表表示示母母线线平平行行于于 y 轴轴的的柱柱面面，其其准准线线为为 xoz 面面上上曲曲线线 C. 只只含含 yx, 而而缺缺 z

8、 的的方方程程 0),( yxF，在在空空间间直直角角坐坐标标系系中中表表示示母母线线平平行行于于 z 轴轴的的柱柱面面，其其准准线线为为 xoy 面面上上曲曲线线 C. 实实 例例12222 czby椭圆柱面椭圆柱面 / 轴轴x12222 byax双曲柱面双曲柱面 / 轴轴zpzx22 抛物柱面抛物柱面 / 轴轴y椭圆柱面椭圆柱面：方程方程 称为母线平行于称为母线平行于z轴的椭圆柱面。轴的椭圆柱面。12222byax方程方程 称为母线平行于称为母线平行于z轴的双曲柱面轴的双曲柱面; ;12222axby双曲柱面：双曲柱面：方程方程 x2=2py 称为母线平行于称为母线平行于z轴的抛物柱面。轴

9、的抛物柱面。抛物柱面抛物柱面：表表示示什什么么曲曲面面？表表示示什什么么曲曲面面？例例：1 122 zxyx. 1 122圆圆柱柱面面轴轴平平行行的的表表示示母母线线与与轴轴平平行行的的平平面面。表表示示与与解解：yzxzyx zxyo222Rzx oxyz1 yx例例 方程方程 x2= = 4z 表示怎样的柱面？表示怎样的柱面？解解： 方程中仅含方程中仅含x、z，故此柱面的母线平行于，故此柱面的母线平行于y轴，它们轴，它们的准线为的准线为xoz平面上的抛物线平面上的抛物线x2=4z, ,这类柱面为抛物这类柱面为抛物柱面。柱面。旋转曲面旋转曲面： 一平面曲线一平面曲线C绕同一平面上的定直线绕同

10、一平面上的定直线L旋转一周所旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。曲线成的曲面称为旋转曲面。曲线C称为旋转曲面的母线，称为旋转曲面的母线，直线直线L称为旋转曲面的轴。称为旋转曲面的轴。在在这这里里只只研研究究坐坐标标平平的的坐坐标标轴轴旋旋转转产产生生面面内内的的曲曲线线绕绕该该平平面面内内的曲面。的曲面。xozy0),( zyf), 0(111zyM M),(zyxM设设1)1(zz （2）点）点M到到z轴的距离轴的距离|122yyxd 旋转过程中的特征：旋转过程中的特征：如图如图将将 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd , 0,22 zyxf得方程得方程平平面面内内的的一一条条

11、曲曲线线，绕绕是是设设问问题题：yozzyf0 ),(曲面的方程。曲面的方程。轴旋转一周，求此旋转轴旋转一周，求此旋转z , 0,22 zyxf表表示示yoz坐坐标标面面上上的的已已知知曲曲线线0),( zyf绕绕 z 轴轴旋旋转转一一周周的的旋旋转转曲曲面面方方程程. 方程方程同同理理：yoz坐坐标标面面上上的的已已知知曲曲线线0),( zyf绕绕y轴轴旋旋转转一一周周的的旋旋转转曲曲面面方方程程为为 . 0,22 zxyf同同理理：xoz坐坐标标面面上上的的已已知知曲曲线线0),( zxf绕绕z 轴轴旋旋转转一一周周的的旋旋转转曲曲面面方方程程为为 . 0,22 zyxf同同理理：xoz坐

12、坐标标面面上上的的已已知知曲曲线线0),( zxf绕绕x 轴轴旋旋转转一一周周的的旋旋转转曲曲面面方方程程为为 . 0,22 zyxf例例 yoz坐标面上的直线坐标面上的直线 , ,绕绕z轴旋转，试轴旋转，试求所得旋转曲面方程。求所得旋转曲面方程。)0( aayz因为是因为是yoz坐标面上的直线坐标面上的直线 绕绕z轴旋转，轴旋转，故将故将z保持不变，保持不变，y 换成换成 , ,则有则有: :例题解：例题解：)0( aayz22yx )(22yxaz 即所求旋转曲面方程:上式表示的曲面称为圆锥面，点上式表示的曲面称为圆锥面，点o称为圆锥的顶点称为圆锥的顶点。)(2222yxaz xozy解解

13、 yoz面面上上直直线线方方程程为为 cotyz ), 0(111zyM ),(zyxM圆锥面方程圆锥面方程 cot22yxz oxzy 例例生成的旋转曲面的方程生成的旋转曲面的方程绕绕x轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转xyzOxyzO解解, 122222 cyzax122222 czayx绕绕y轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czxay122222 czayx旋转椭球面旋转椭球面 , 1222222 czxay , 1222222 czayxpzyx222 旋转抛物面旋转抛物面 ,2222pzyx 旋转椭球面旋转椭球面: :由方程 1222222 czayax 表示由表示由xoz平

14、面上的椭圆平面上的椭圆 绕绕z轴旋转而轴旋转而成的，叫做旋转椭球面成的，叫做旋转椭球面。 12222 czax旋转抛物面旋转抛物面: : 2222zqypx 它可以看作它可以看作xoy面上的抛面上的抛物线物线x2=2pz绕绕z轴旋转而轴旋转而成的旋转曲面，这曲面成的旋转曲面，这曲面叫做旋转叫做旋转抛物面。抛物面。p=q时时,椭圆抛物面方程：椭圆抛物面方程：变为：变为：0)p( 2222 zpypx曲面方程的概念曲面方程的概念旋转曲面的概念及方程的求法旋转曲面的概念及方程的求法.柱面的概念柱面的概念(母线、准线母线、准线). 0),( zyxF小结思考题思考题 指出下列方程在平面解析几何中和空指

15、出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？间解析几何中分别表示什么图形？; 2)1( x; 4)2(22 yx. 1)3( xy思考题解答思考题解答平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中2 x422 yx1 xy平平行行于于y轴轴的的直直线线平平行行于于yoz面面的的平平面面圆圆心心在在)0 , 0(，半半径径为为2的的圆圆以以z轴为中心轴的圆柱面轴为中心轴的圆柱面斜率为斜率为1的直线的直线平平行行于于z轴轴的的平平面面方程方程二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为

16、旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上

17、的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以

18、一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面

19、的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面

20、转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴返回返回定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面

21、的母线母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形

22、观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .