离散型统计变量

1、随机变量的分类随机变量的分类离散型离散型随机变量随机变量连续型连续型随机变量所取的可能值是随机变量所取的可能值是有限多个有限多个或或无限无限可列个可列个, 叫做离散型随机变量叫做离散型随机变量.随机变量所取的可能值可以随机变量所取的可能值可以连续地充满某个连续地充满某个区间区间,叫做连续型随机变量叫做连续型随机变量.总结：总结：一一、离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列二二、常见离散型随机变量的分布列常见离散型随机变量的分布列三三、小结小结第二节 离散型随机变量 及其分布列引入分布的原因以认识离散随机变量为例以认识离散随机变量为例, 我们不仅我们不仅要知道要知道 X 取哪些值取哪些值,

2、而且还要知道它而且还要知道它取这些值的取这些值的概率概率各是多少各是多少,这就需要这就需要分布的概念分布的概念.有没有有没有分布分布是区分一般是区分一般变量与随机变量的主要标志变量与随机变量的主要标志. 这个就是随机变量这个就是随机变量X 的概率分布。的概率分布。引例：引例：从盒中从盒中任取任取3 球球， 记记 X 为为取到取到白球白球数。则数。则 X 是一随机变量。是一随机变量。X 可能取的值为可能取的值为: 0, 1, 2。取各值的概率为取各值的概率为33351,10CC2132356,10C CC1232353,10C CC且且。 1)(20kkXP(0)P X (1)P X (2)P

3、X 一、离散型随机变量的分布列一、离散型随机变量的分布列定义定义(1,2,),1,2,.().kkkXxkXP XxpkX设离散型随机变量所有可能取的值为若取各个可能值的概率为则称上式为离散型随机变量的或概率分布、分列布律分布离散型随机变量的分布列也可表示为离散型随机变量的分布列也可表示为Xkpnxxx21nppp21分布列的性质分布列的性质 任一离散型随机变量的分布列任一离散型随机变量的分布列kp都具有下述两个性质：都具有下述两个性质：q , 2 , 1, 0kpk非负性非负性q 11kkp规范性规范性用这两条性质用这两条性质判断一个函数判断一个函数是否是分布律是否是分布律例题1： 设随机变

4、量设随机变量X的分布列为的分布列为,1,2,aP XkkNN试确定常数试确定常数a. .11NNkkaP XkN1a 1aNN56页页1题题例例2：某篮球运动员投中篮筐概率是某篮球运动员投中篮筐概率是0.9，求其，求其两次独两次独立立投篮后，投篮后，投中投中次数次数 X 的概率分布。的概率分布。解：解：X 可取的值为可取的值为 ：0, 1, 2，且，且 P(X=0) = 0.1*0.1 = 0.01， P(X=1) = 0.9*0.1+ 0.1*0.9= 0.18 , P(X=2) = 0.9*0.9= 0.81 .X0 12P0.010.180.81X 的概率分布的概率分布练习练习 设袋中装

5、有设袋中装有6个球，编号为个球，编号为1,1,2,2,2,3，从，从袋中任取一球，记取到的球的编号为袋中任取一球，记取到的球的编号为X，求：（求：（1）X 的分布列；（的分布列；（2）编号大于）编号大于1的概率的概率X123P1/31/21/6X 的分布列为的分布列为: 113P X 122P X 136P X 练习练习 设袋中装有设袋中装有6个球，编号为个球，编号为1,1,2,2,2,3，从，从袋中任取一球，记取到的球的编号为袋中任取一球，记取到的球的编号为X，求：（求：（1）X 的分布列；（的分布列；（2）编号大于）编号大于1的概率的概率1122631P X 23P XP X122P X

6、136P X56页2题一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4，5，从中随机抽取3个，以X表示取出的3个球中最大的号码，求X的分布列3511310P XC233513410CP XC243516510CP XC实例实例1 “抛硬币抛硬币”试验试验,观察正、反两面情观察正、反两面情况况. Xkp012121其分布律为其分布律为1,( )0,.X反面正面二、几个重要的离散型随机变量及其分布列二、几个重要的离散型随机变量及其分布列1、两点分布（也称（、两点分布（也称（0-1）分布）分布）1、两点分布（也称（、两点分布（也称（0-1）分布）分布）凡试验只有凡试验只有两个结果两个结果, 常用常用0

7、1分布描述分布描述, 如产如产品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超标等等电力消耗是否超标等等. X = xk 1 0Pk p 1 - p0 p 0 是常数，是常数， 则称则称 X 服从参数为服从参数为的泊松分布的泊松分布, 记作记作 X P() 。易见易见0. 1!, 2 , 1 , 0 , 0kkekkkXP易于验证：易于验证：e0,0,1,2,!kP Xkkk1)00e!kkkP Xkk2) 0e!kkkee1非负性非负性规范性规范性 例例6 6： 某商店根据过去的销售记录某商店根据过去的销售记录, ,总结出某种商品每总结出某种商品

8、每月的销售量可以用参数为月的销售量可以用参数为 的的泊松分布泊松分布来描述来描述, ,试试求：求： 5(1)(1)下个月该商店销售下个月该商店销售2 2件此种商品的概率是多少？件此种商品的概率是多少？ 55,(0,1,2, )!kP X kekk销售销售2 2件产品的概率为件产品的概率为25520.08422!P Xe例例6 6某商店根据过去的销售记录某商店根据过去的销售记录, ,总结出某种商品每月总结出某种商品每月的销售量可以用参数为的销售量可以用参数为 的的泊松分布泊松分布来描述来描述, ,试求：试求： 5(2)(2)下个月该商店销售此种商品多于下个月该商店销售此种商品多于2 2件的概率是

9、多少？件的概率是多少？ 250510.8754!kkek 12P X2P X 例例6 6某商店根据过去的销售记录某商店根据过去的销售记录, ,总结出某种商品每月的总结出某种商品每月的销售量可以用参数为销售量可以用参数为 的泊松分布来描述的泊松分布来描述, ,试求：试求： 5(3)(3)为了以为了以95%95%以上的概率保证不脱销以上的概率保证不脱销 问商店在月底应问商店在月底应存多少件该种商品？存多少件该种商品？0.95P Xa50050.95!kaakkP XaP Xkek练习：练习：某一无线寻呼台，每分钟收到寻呼的次数某一无线寻呼台，每分钟收到寻呼的次数X服服从参数从参数 =3 的的泊松泊

10、松分布。求：分布。求： (1)一分钟内恰好收到一分钟内恰好收到3 3次次寻呼的概率；寻呼的概率； (2)一分钟内收到一分钟内收到2至至5次次寻呼的概率。寻呼的概率。解解: = (32/2!) + (33/3!) + (34/4!) + (35/5!) e- -3 0.7169. (1). PX=3 = p(3; 3) = (33/3!)e- -3 0.2240；(2). P2X5= PX=2 + PX=3 + PX=4 + PX=5泊松定理泊松定理,0是是一一个个常常数数设设 是是任任意意正正整整n数数,np设,k整整数数则则对对于于任任一一固固定定的的非非负负有有lim(1)!kkkn kn

11、nnC ppek(1)!kkkn knneC ppk111150.9222eeee21012!kP Xek解：解：设设1000 辆车通过辆车通过,出事故的次数为出事故的次数为 X , 则则可用泊松定理计算可用泊松定理计算, 1 . 00001. 01000 所求概率为所求概率为.0047. 0! 1e1 . 0! 0e11 . 01 . 0 1 01 2 XPXPXP(1000,0.0001),XB练习练习 有一繁忙的汽车站有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过每天有大量汽车通过,设设每辆汽车每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率为在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001,在每天的该段时

12、间内有在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过辆汽车通过,问问出事故的次数出事故的次数不小于不小于2的概率是多少的概率是多少?例例9 9 为了保证设备正常工作为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修需配备适量的维修工人工人, 现有同类型设备现有同类型设备300台台,各台工作是相互独立的各台工作是相互独立的, 发生故障的发生故障的概率都是概率都是0.01.在通常情况下一台设备的在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理故障可由一个人来处理,问至少需问至少需配备多少工人配备多少工人 ,才能才能保证设备发生故障但保证设备发生故障但不能不能及时维修的概率及时维修的概率小于小于0.01?解解.人人设需配

13、备设需配备 N设备设备记同一时刻发生故障的记同一时刻发生故障的,X台数为台数为,(300,0.01).XB那么所需解决的问题所需解决的问题,N是确定最小的是确定最小的使得使得.99. 0 NXP,!e303 NkkkNXP,!e303 NkkkNXP故有故有303 e1 0.010.99,!kNkk . 8是是小的小的查表可求得满足此式最查表可求得满足此式最N个工人个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于概率小于0.01.故至少需配备故至少需配备8例例9 9 为了保证设备正常工作为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修需配备适量的维修工人工人,

14、现有同类型设备现有同类型设备300台台,各台工作是相互独立的各台工作是相互独立的, 发生故障的发生故障的概率都是概率都是0.01.在通常情况下一台设备的在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理故障可由一个人来处理,问至少需问至少需配备多少工人配备多少工人 ,才能才能保证设备发生故障但保证设备发生故障但不能不能及时维修的概率及时维修的概率小于小于0.01?在某个时段内：在某个时段内：大卖场的顾客数；大卖场的顾客数；某地区拨错号的电话呼唤次数；某地区拨错号的电话呼唤次数；市级医院急诊病人数；市级医院急诊病人数；某地区发生的交通事故的次数某地区发生的交通事故的次数.一个容器中的细菌数；一个容器中的

15、细菌数；一本书一页中的印刷错误数；一本书一页中的印刷错误数；一匹布上的疵点个数；一匹布上的疵点个数；泊松泊松分布分布应用应用场合场合放射性物质发出的放射性物质发出的 粒子数；粒子数；4. 几何分布（了解）几何分布（了解） 从一批次品率为从一批次品率为p(0p1）的产品中逐个随机抽取）的产品中逐个随机抽取产品进行检验，验后放回再抽取下一件，直到抽到产品进行检验，验后放回再抽取下一件，直到抽到次品为止，设检验的次数为次品为止，设检验的次数为X, 则则X可能取值为可能取值为1，2，3.,其概率分布为：其概率分布为： 11,1,2,kP Xkpp k ( ).XG p记为称这种概率分布为称这种概率分布为几何分布几何分布 例例7 7 一个保险推销员在某地区随机地选择家庭进行一个保险推销员在某地区随机地选择家庭进行访问，每次访问的结果是：如果该户购买了保险则访问，每次访问的结果是：如果该户购买了保险则定义为成功定义为成功，没有购买保险则定义为，没有购买保险则定义为