数值分析-插值法

1、数值分析-插值法 第二章插 值 法 fig 思考1 设f x x2，求f x 的次数不超过1、2、3、的插值多项式各是什么？在哪些点处会有误差？ 思考2 设f x sinx，求f x 的次数不超过1、2、3、的插值多项式各是什么？在哪些点处会有误差？ 思考1答案：当f x 是次数不超过n的多项式时，其n次的插值多项式就是f x 本身。此时误差为0！ f x 的次数不超过1时存在误差：只在插值点处没有误差。 思考2答案：当f x 是非多项式时，其任何的插值多项式除插值点外均有误差！Sinx的幂展开为无限多次项。 四、插值余项 定义 函数f x 用n次插值多项式Ln x 近似代替时，截断误差记为

2、称Rn x 为n次插值多项式Ln x 的余项 Ln x 中的n指的是Ln x 为n次多项式，而Rn x 中的想指的是它是与Ln x 相对应的余项，Rn x 不一定是x的n次多项式。 当 f x 足够光滑时，有如下估计定理： 定理 设函数 f x 在包含节点x0,x1,xn的区间a,b上连续，在 a, b 上具有n+1阶导数，Ln x 为满足插值条件的n次插值多项式，则对任一点xa, b，总存在相应的点 a, b ，使 其中 注意 1 根此定理可计算插值多项式的余项 误差 。 2 定理中的下标意义不同Ln x 和n+1 x 的下标表示次数，而Rn x 的下标则不表示次数。 3 复习罗尔定理 罗尔

3、定理如果函数满足： （1）如果在闭区间a,b上连续； （2）在开区间（a,b）上可导； （3）在区间断点处函数值相等，即： f a f b ,那么在 a,b 上至少存在 一点 a b ,使得： 证明 由给定条件知Rn x 在插值基点xi i 1,2,n 上为零， 其中K x 是与x有关的待定函数。 现把x看成a,b上一个固定点，作函数 则 注意： 根据插值条件及余项定义，可知 t 在x0,x1,xn及x处均为0，故 t 在a,b上有n+2个零点，根据罗尔定理 在 t 的两个零点间至少有一个零 点，故 在a,b内至少有n+1个零点。依次类推， 在 a, b 内至少有一个零点，记为，使（导数的阶数

4、与零点个数之和是n+2） fig 于是 其中 a, b 且依赖于x。 将 K x 代入余项表达式即可得到结论。 （1）来看n+1 x 对Rn x 的影响 | n+1 x |是|Rn x |的一个因子，因而越小越好。当插值多项式的次数n确定，从而插值基点的个数n+1也确定之后，对于给定的x， | n+1 x | 对余项表达式的分析： 的大小就取决于插值基点的选取。为了使得 | n+1 x | 尽可能小一些，插值基点的选取原则是：使x尽可能位于区间Ix的中部，这里Ix是包含x以及所用基点的最小闭区间。 定义： 设插值基点x0,x1,xn中最小者为a、最大者为b，当插值点x a, b 时我们称为内插

5、，否则称为外插 （2）若被插函数f x 是k次多项式， 则当插值多项式次数为nk时： Rn 0,因为： 为0. 例1 给定数据表 x 2 3 4 5 6 7 f x 10 15 18 22 20 16 要用插值方法计算f 4.8 的近似值。问线性插值、二次插值和三次插值应选哪些基点？ 解 如果用线性插值，就选 为基点。如果用二次插值，就选 为基点。如果用三次插值，就选 为基点。 因为：4.8-3 6-4.8 例2 给定函数y lnx在两点的值如表 2.303 2.398 y 10 11 x 试用线性插值求ln10.5的近似值，并估计截断误差。 解 记f x lnx，取x0 10，x1 11，x

6、 10.5，有 因为 故 插值余项为 所以 例3 设 求证 （ 其中： 表示f x 在 a,b 上 直到二阶导数连续。） 证：以 为节点进行线性插值，得 因 ，故 根据插值余项定理，有 故 例4 已知函数y lnx 的函数表如下： x 10 11 12 y 2.3062 2.3979 2.4849 x 13 14 y 2.5649 2.6391 分别用拉格朗日线性插值和二次插值求ln11.5的近似值，并估计余项。 解 线性插值。取两个基点 插值基函数为 故线性拉格朗日插值函数为 将x 11.5代入得 其插值余项为 因为 而 在11与12之间，故 于是 数 值 分 析 §1 引 言 一

7、、实际背景 二、问题的分类 三、插值问题的定义 一、实际背景 基本过程： 飞机、汽车的外形设计制造 测点 插值曲线 插值曲面 三角函数表、对数表等 不在表上的函数值如何求？ 插值问题： 求一条曲线严格通过数据点 曲线拟合问题： 求一条曲线在一定意义下靠近数据点 注：插值问题和曲线拟合问题统称函数逼近问题！ 二、问题的分类 三、插值问题的定义 1. 插值问题的有关概念 设给出关于函数y f x 的一组函数值， 已知条件 y0 y1 y2 yn y x0 x1 x2 xn x 其中x0 , x1, x2, , xn是区间a,b上的互异点 因为函数是这样的映射：一个x唯一的对应一个y ， 求 一个简

8、单函数 x 作为f x 的近似表达式，以满足 我们称这样的问题为插值问题，并称 x 为 f x 的插值函数，f x 为被插函数， x0 , x1, x2, , xn是插值节 基 点 是插值原则. 条件 思考题 当数据点 xi, yi 给定后，满足插值条件的插值函数 x 有多少种类型？ 答 有许多种。例如给出平面上两个点，则过这两个点的曲线有无穷多种，可以是代数多项式、三角多项式、有理函数等等，但最简单而最常用的是代数多项式，它有许多良好的性质，故本章仅考虑代数多项式插值问题 2. 代数多项式插值问题 设给出关于函数y f x 的一组函数值， y0 y1 y2 yn y x0 x1 x2 xn

9、x 其中x0 , x1, x2, , xn是区间a, b上的互异点 因为函数是这样的映射：一个x唯一的对应一个y 一共n+1个节点 , 已知条件 求 一个次数不超过n的多项式 称Pn x 为 f x 的n次插值多项式 使满足插值原则 条件 问题：这样的插值多项式是否存在唯一呢？ 定理 在n+1个互异节点处满足插值原则且次数不超过n的多项式Pn x 存在并且唯一。 证明 设Pn x 为所求多项式，则 这是未知量a0, a1,an的线性方程组，其系数行列式是范德蒙行列式 因为x0, x1,xn的互不相同，故系数行列式不等于0，因此方程组有唯一解，即Pn x 存在并唯一。 注意 从定理的证明可以看出

10、，只要通过求解一个线性方程组得出a0, a1,an的值，便可以确定Pn x 了。然而这样构造多项式不但计算量大，而且难以得到Pn x 的简单公式，因此本章下面几节将介绍几种直接构造Pn x 的方法。 注：若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。 也是一个插值多项式，其中 可以是任意多项式。 例如 The mathematician S. had to move to a new place. His wife didn't trust him very much, so when they stood down on the street with all their thi

11、ngs, she asked him to watch their ten trunks, while she got a taxi. Some minutes later she returned. Said the husband: "I thought you said there were ten trunks, but I've only counted to nine!" The wife said: "No, they're TEN!" "But I have counted them: 0, 1, 2, .&qu

12、ot; A mathematician, a physicist, and an engineer were traveling through Scotland when they saw a black sheep through the window of the train. "Aha," says the engineer, "I see that Scottish sheep are black." "Hmm," says the physicist, "You mean that some Scottish s

13、heep are black." "No," says the mathematician, "All we know is that there is at least one sheep in Scotland, and that at least one side of that one sheep is black!" §2 拉格朗日插值 一、线性插值 三、n次多项式 四、插值余项 二、二次插值 一、线性插值 1. 线性插值的定义 当n 1时的n次代数多项式插值称为线性插值，即：已知在互异点x0, x1处的函数值f x0 y0

14、, f x1 y1，要构造线性函数 L1 x a0+a1x，满足 L1 xi yi，i 0,1 2. 线性插值的几何意义 用通过两点 x0, y0 、 x1, y1 的直线y L1 x 近似代替曲线y f x ，如下图所示。 y L1 x y f x x1 x0 y0 y1 x y o 3. 线性插值公式的推导 根据直线的点斜式，有 把上式改写成 称按如上方法确定的L1 x 为拉格朗日线性插值多项式，其特点为：是两个函数l0 x , l1 x 的线性组合，并且 l0 x , l1 x 具有性质 1 都是一次多项式； 2 l0 x0 1, l1 x0 0 l0 x1 0, l1 x1 1 线性插值基函数 二、二次插值 1. 二次插值的定义 设给出关于函数y f x 在三个互异点处的函数值， y0 y1 y2 y x0 x1 x2 x 求 一个次数不超过二次的多项式. 这就是二次插值问题 满足 2. 二次插值的几何意义 用经过三点 x0, y0 , x1, y1 , x2, y2 的抛物线y L2 x 近似代替曲线y f x ，如下图所示。 x y o y f x y L1 x x2 x0 y0 y2 y1 x1 3. 二次插值公式的推导 仿照线性插值多项式的构造特点，先对每个基点xi构造一个二次函数 li x i 0,1,2 ,使满足 先构造l0 x 。