2019年高考数学真题分类汇编-专题14-推与证明、新定义-理科及答案

1、百度文库，精选习题2019年高考数学真题分类汇编- 专题14-推与证明、新定义-理科 及答案专题十四 推理与证明、新定义1.12015高考湖北，理9】已知集合A (x,y“x2 y2 1,x,y Z) B (x,y)|x| 2,|y| 2, x,y Z)定义集合A B (x x2,yi y2)|(xi,yi) A, (x2, y2)B , 则 A B 中兀素的个数为( )A. 77 B .49 C .45D. 30【答案】C【解析】因为集合A (x,y)|x2 y2 1,x,y Z,所以集合A中 有9个元素(即9个点)，即图中圆中的整点，集 合 B (x,y)|x| 2,|y| 2, x, y

2、 Z中有 25 个元素(即 25 个点): 即图中正方形ABCD中的整点，集合 A B (x x2,y1 y2)|(x1,y1) A, gy?) B的元素 可看作 正方形 ABiGDi中的整点(除去四个顶点)即7 7 4 45个.【考点定位】1.集合的相关知识，2.新定义题型.试题习题，尽在百度【名师点睛】新定义题型的特点是：通过给出一 个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模 型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解 的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知 识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目 的.2.12015高考广东，理8】若空间中个不同的点两两距离都相等,则正整数的取值（

3、A.大于5 至多等于4 【答案】C.B.等于5D.至多等于3)C.【解析】显然正三角形和正四面体的顶点是两两 距离相等的，即 =3或4时命题成立，由此可排 除八B、 D,故选C.【考点定位】空间想象能力，推理能力，含有量 词命题真假的判断.【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力, 推理求解能力和含有量词命题真假的判断，此题 属于中高档题，如果直接正面解答比较困难，考 虑到是选择题及选项信息可以根据平时所积累的 平面几何、空间几何知识进行排除则不难得出正 确答案C,由于 =3时易知正三角形的三个顶点是,其中两两距离相等的， 知正四面体的四 可以排除D.3.12015高考吩 义 d(A, B)

4、 card (A B)B,又当n 4时易 离相等的从而B是有限集，定，d (A)表示有限集 A中的元素个数，命题：对任制祁艮集d(A，B) 0”的充分必要条件;命题：对任意(限集A. B.d(A,C) d(A,B) d(B,C)B.命题和()A.命题和命题都成立命题都不成立C.命题成立，命题不成立 D.命题不成 立，命题成立r答窒】a.【解析】命题显然正确，通过如下文氏图亦可知龙表示的区域不大于比的下肉&G的区域，故命题也正确，故选a.【考点定位】集合的性质百度文库，精选习题【名师点睛】本题是集合的阅读材料题，属于中 档题，在解题过程中需首先理解材料中相关概念 与已知的集合相关知识点的

5、结合，即可知命题 正确，同时注重数形结合思想的运用，若用韦恩 图表示三个集合A, B, C,则可将问题等价转化 为比较集合区域的大小，即可确定集合中元素个 数大小的比较.4.12015高考北京，理8】汽车的“燃油效率” 是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图 描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时， 消耗 10 升汽油D 某城市机动车最高限速80 千米 / 小时 . 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】 D【解析】“燃

6、油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程， A 中乙车消耗1 升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A错误；B中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油， B 错误， C中甲车以 80 千米 / 小时的速度行驶1 小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km,消耗8升汽油，C错误，D中某城市机动车最高限速80 千米 / 小时 . 由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 , 选 D.考点：本题考点定位为函数应用问题，考查学生对新定义“燃油效率”的理解和对函数图象的理解.【名师点睛】本题考查对新定义“燃油效率”的理解和读图能力， 本题

7、属于中等题， 有能力要求，贴近学生生活，要求按照“燃油效率”的定义，汽车每消耗1升汽油行驶的里程，可以断定“燃 油效率”高的车省油，相同的速度条件下，“燃 油效率”高的汽车，每消耗1升汽油行驶的里程 必然大，需要学生针对四个选择只做出正确判断. 5.12015高考福建，理15】一个二元码是由0和 1组成的数字串X1X2 Xn n N* ,其中Xk k 1,2, ,n称为第k位码元，二元码是通信中常用的码.但在通信【解析】由题意得相同数字经过运算百为口，不f 数字出错m由.右三左三T.三T-=Q可判断后 X-三*三V三r- = 0可判断出错的是第5个，得 0,0,过程中有时会发生码元错误（即码元

8、 或者由1变为0）,已知某种二元码X4 X5 X6 X7满足如下校验方程组：X2 X3 X6 X7XiX3X5X70,其中运算定义为：0 0 0,0 1 1,1 0 1,1 1 0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k等于【答案】5.【解析】由题意得相同数字经过运算后为。，不同数字运算后为1.由三三七三工T .V-=。可判断后个敬字出错m由0三毛三北三，=。可判断后2个数字没错，即出错的是第4个或第5个M由T-三毛三七三Y- = 0可判断出错的是第5个，综上，第5位发生码元错误.【考点定位】推理证明和新定义.【名师点睛】本

9、题以二元码为背景考查新定义问 题，解决时候要耐心读题，并分析新定义的特点,试题习题,尽在百度百度文库，精选习题按照所给的数学规则和要求进行逻辑推理和计 算等，从而达到解决问题的目的.6.12015高考山东，理11】观察下列各式：Ci040C； c3 41C； C5 C； 42;c； c7 c2 c343照此规律，当n N时, 1 C22n 1 C22klll_ 【答案】4n1【解析因为第一个等式右端为：丁 =42;第二个等式右端为；41=尸"m第三个等式右端为；4:=4J I由归纲推理得i第耳个等式为 c"+CX + C41+ +<?/=产：所以答案应墉4 T【考点定

10、位】1、合情推理；2、组合数.【名师点睛】本题考查了合情推理与组合数，重 点考查了学生对归纳推理的理解与运用，意在考 查学生观察、分析、归纳、推理判断的能力，关 键是能从前三个特殊的等式中观察、归纳、总结 出一般的规律，从而得到结论.此题属基础题.7.12015江苏高考，23（本小题满分10分）试题习题,尽在百度百度文库，精选习题已知集合 X1,2,3)Yn1,2,3, ,n(n N*),Sn(a, b)a整除b或b整除a,a X,b Yn ,令f(n)表示集合Sn所含元素的个数.(1)写出f(6)的值;(2)当n 6时，写出f(n)的表达式，并用数学 归纳法证明.【答案】(1) 13 (2)

11、 f nn 2n 2n 2n 2n 2n 2n n,n2 36t23n n 2, n23n 1 n,n23n n 1- ,n23n 1 n 2n 6t 16t 26t 36t 4,n 6t 5【解析】 试题分析：(1)根据题意按a分类计数:a 1,b 1,2,3,4,5,6; a 2,b 1,2,4,6; a 3,b 1,3,6;共13个(2)由(1) 知 a 1,b 1,2,3； ,n; a 2,b 1,2,4；,2k; a 3,b 1：3, ,3k;(k N*), 所以当 n 6时，f(n)的表达式要按2 3 6除的余数进行分类，最 后不难利用数学归纳法进行证明 试题解析：(1) f 6

12、13.71 + 2+：-（2当也36时,V1 r :町 H-1 ,升 十 二一 -I 6r -43 3 ）下面用数学归纳法证明，当打=6时./I, 6 = 6 + 2-K- =13 ,结诒成立； 2 3假设拄=4 （4三6）时结诒成立，那么出=%一1时，5、在显的基础上新赠加的元素在“木一 1， 2k 1 , 3，k 1中产生，分以下情形讨论：1）若k 16t，则k 6t 1 5,此时有f k 1 f k 3 k 2 k1 k2 3 23k 1 2 ?结论成立；2）若k 1 6t 1 则 k 6t 此时有 f k 1 f k 1 k 2 ： § 12 3k 1 2 ，结论成立；3）若

13、k 16t 2 ,贝I k 6t 1 ,此时有 f k 1 f k 2 k 2 k1 k1 2 23k 1 2 = V，结论成立；4）若k 16t 3,则k & 2,此时有 k k 2 f k 1 f k 2 k 2223k 1 2 一结论成立；5）若k 1 6t 4,贝Uk 6t 3,此时有k 1 kf k 1 f k 2 k 2223k 1 2 ?，结论成立；6）若k 1 6t 5,则k 6t 4,此时有k k 1 f k 1 f k 1 k 2123综上所述，I论对满足n 6的自然数n均成立.【考点定位】计数原理、数学归纳法【名师点晴】用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其

14、步骤为：归纳奠基：证明当取第一个自然数 ”时命题成归纳递推：假设n k , ( k N , k n0)时，命题成立，证明当n k 1时，命题成立；由得出结论.8.12015高考北京,理20】已知数列an满足：a N*,1, 2,2an , an < 18, n2an 36, an 18记集合M. 一一*an | n N试题习题,尽在百度百度文库，精选习题（I ）若a，6 ,写出集合M的所有元素；（n）若集合M存在一个元素是3的倍数，证明： M 的所有元素都是3 的倍数；（田）求集合M的元素个数的最大值.（ 1） M 6,12,24 ， （ 2）证明见解析，3） 8【解析】（I）由已知an

15、，2：n' an18伯可知：2an 36 ， an 18a16, a212, a324, a412,M 6,12,24（n）因为集合m存在一个元素是3的倍数，所 以 不 妨 设 ak 是 3 的 倍 数 ， 由 已 知an， H,af可用用数学归纳法证明对任意2an 36 ， an 18n k, 4是3的倍数，当k 1时，则M中的所 有元素都是3 的倍数，如果k ， 时，因为ak 2ak,或2ak, 36,所以2ak i是3的倍数，于是ak i 是3的倍数，类似可得，ak2a,都是3的倍 数，从而对任意n 1 , an是3的倍数，因此M的 所有元素都是 3 的倍数 .（III）由干叔中

16、的元素都不超过93由瓦 36,易得江 36-类似可得乙 36,其次省中的 419元素个数最多除了前面两个教外,都是的倍数.因为第二个数必定为偶数，由曳的定义可知.第三 个敷及后面的数心定是4的倍数，另外，U中的敷除以9的余数，由定义可知，邑_二和Z4除以，的余 瓶一临若三中有2的倍数I由二）知；所有的凡都是二的倍敬，所以2都是m的倍数，所以方除以9的 余数为为3羯3, %，一咸6. 土 也 3“一F或 % S .而豳，余3月是斗的借裂只有1之 除以9余代且是的倍致只有：4,除以&余且是$的倍数只有受，则V中的敝艮第三项起最多： 项；加上前面两项，最多二项，当中没有3的倍数，则久都不是的

17、倍数，对于生除以9的余数只能是1,47,二，. 1中的一 个，从鼻起,名：随d。的余数是1，-'斗，'八二,1,，h £:不断的名项循环（可能从3 4f &,，或m开始），而除以g的余数是L 2-1S,三且是4的倍敬;不大于具有工；斗，却产, 岂，所以乂中的项加上前两项最多8项，则q =1时，/ =也2,4,&16,变,24 20,项数为总 所以集合"的元素个数的最大值为5.考点定位：1.分段函数形数列通项公式求值；2. 归纳法证明；3.数列元素分析.【名师点睛】本题考查数列的有关知识及归纳法 证明方法，即考查了数列（分段形函数）求值， 又考

18、查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查 了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属 于拔高难题，特别是第二、三两步难度较大，适 合选拔优秀学生.【2015高考上海，理23】对于定义域为R的函数 g x ,若存在正常数，使得。咤x是以 为周期的函数，则称gx为余弦周期函数，且称为其余弦 周期.已知f x是以为余弦周期的余弦周期函数， 其值域为R.设f x单调递增，f 0 0, f 4 .（1）验证hx x sinx是以6为周期的余弦周期函 3数；（2）设a b .证明对任意c f a , f b ,存在x a,b , 使得f x° c ；（3）证明：“u0为方程cosf x 1在0,上

19、得解”的充 要条件是“U0为方程cosf x 1在,2上有解"，并 证明对任意x 0,都有f x f x f .【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）详见 解析【解析】证明；（1）易见9上1=X十式门二的定义域为R, 3对任意工w R，力（工+67 I=工+6工+4口 "*'=I r I 6 T »3所以 85 石 I X46；T| = COS I / I .V I =35 A I 工 I，即h |> |是以6 _T为余弦周期的余弦周期函敬.（2）由于f x的值域为R ,所以对任意c f a ,f b , 诸B是一个函数值，即有 R,使得f & c.若x° a,则由f x单调递增得到c f Xo f a ,与 c f a , f b矛盾,所以Xo a.同理可证x b,故存在Xoa,b 使得 f Xoc试题习题,尽在百度百度文库