具有时滞的SIR计算机病毒模型的稳定性分析

1、具有时滞的SIR计算机病毒模型的稳定性分析雷学红许云霞【摘要】研究了一类具有非线性发生率的时滞SIR传染病模型.确定了决定计算机病毒消失或继续存在的根本再生数，通过分析系统对应的特征方程，得到无病平衡点与地方平衡点的局部稳定性。通过构造适当的Lyapunov函数，利用LaSalle不变原理，证明当根本再生数小于1时，无病平衡点是全局渐近稳定的；最后，通过MATLAB进行数值模拟验证了所得理论分析结果的正确性。【关键词】时滞；传染病模型；全局稳定性；Lyapunov函数；根本再生数StabilityAnalysisofaDelayedSIRComputerVirusModelLEIXue-hon

2、gXUYun-xiaDepartmentofmathematicalscience，KailiCollege，KailiGuizhou556011，China【Abstract】Inthispaper，AdelayedSIRepidemicmodelwithnonlinearincidencerateisinvestigated.thebasicreproductionnumberisdeterminingwhetherthediseasediesisfound，andtheexistenceofthemodelisdiscussed.Byanalyzingthecorrespondingch

3、aracteristicequation.thelocalstabilityofadisease-freeequilibriumandendemicequilibriumarediscussed.AccordingtothesuitableLyapunovfunctionandLaSalleinvarianceprinciple，itisprovedthatthedisease-freeequilibriumisgloballyasymptoticallystableasthebasicreproductionnumberforviralinfectionislessthanunity，Fin

4、ally，thetheoreticalresultsobtainedareverifiedbynumericalsimulationsforthenumericalmodelwithaspecificincidencebyMATLAB.【Keywords】Timedelay；Epidemicmodel；Globalstability；LyapunovFunction；BasicReproductionNumber0引言在過去的几十年里，互联网的迅速普及。然而，随着计算机迅速普及也极大提高了计算机病毒的传播能力。由于计算机病毒具有极大的破坏性、不可预测性，多态性等特点，早已成为现代信息社会的重要

5、威胁之一。随着计算机与通信技术的快速开展，计算机病毒程序也变得越来越复杂，人们开始运用传染病动力学中仓室模型来了解计算机病毒传播的一般规律，并得到了大量的研究成果1-2。最典型的仓室模型是Kephart借鉴经典的传染病SIS模型建立了最早的计算机病毒传播仓室模型，宣告计算机病毒传播动力学的诞生。SIS模型那么用来描述计算机康复后不具有免疫力再次被病毒感染的情况。大量的临床研究发现，由于个体的免疫系统完善水平不同，对于相同的病毒，并不是每个个体感染后都能产生抵抗被该病毒再次感染的免疫力。因此，更合理的发生率应该是非线性的。随着研究的不断深入，人们开始引入不同的非线性传染率；如带有非线性传染率为S

6、qI的SIS传染病毒模型；带有非线性传染率的的SIR或SIRS模型，带有非线性传染病毒I1+Ik-1S的SIR模型，带有非线性传染率的的SEIV模型，带有非线性传染病毒的模型和带有非线性传染率的SIR模型；本文研究如下S't=？撰-SI't=-+r+IR't=rI-R1其中St，It，Rt分别表示在t时刻因特网中易感节点、感染节点，免疫节点所占的比例。设？撰表示单位时间内新增加易感节点的数量，表示因故障等引起的宕机率，表示平均有效接触率，表示因病毒感染病引起的宕机率，r表示为感染节点到免疫节点的恢复系数。为时滞，即表示病毒的潜伏期，0系统1满足初始条件：S=1；I=2；

7、R=3，i0；-，0；i=1，2，32其中1，2，3C-，0，R3，R3+=x1，x2，x3：xi0。引理1设St，It，Rt是系统1满足初值条件2的解，对任意的t0时，都有St0，It0，R0。令=S，I，R：S0，I0，R0，S+I+R？撰，那么是系统1的正向不变集。1平衡点的局部稳定性分析显然，系统1总存在未感染平衡点P0，0，0，假设？撰e->+r+时，还有一个病毒平衡点P*S*，I*，R*.I*=；S*=；R*=.令R0=为系统1的根本再生数。在本节，通过讨论系统1对应的特征方程来讨论平衡点的局部渐近稳定性。定理1：当R01时，系统1的无病平衡点P0是不稳定的。证明：系统1的无

8、病平衡点P0的线性特征方程为+2-e-+r+=031=2=-，3？撰e-+-+r+，令方程f=-？撰e-+r+4由文献【5】定理1当R0假设R0>1时，f0=-e-+r+f在0，+上至少存在一个正实部。故当R0>1时，系统1不稳定的。当R0>1时，系统1在病毒平衡点P*处的特征方程为3+a12+a2+a3+b12+b2+b3e-=05其中：a1=3+；b1=-a2=32+2+2+2+b2=-a3=+；b3=-；当=0时，有3+c12+c2+c3=0.6c1=3+I*+，c2=c3=I*；此时有c1>0，c2>0，c3>0，容易计算c1c2-c3>0.因

9、此，由Routh-Hurwitz判断定理可知，平衡点P*局部渐近稳定性的。当>0时，设=i>0是方程4的一个根，别离实部与虚部，得b2cos+b12-b3sin=3-a2b3-b12cos+b2sin=a12-a377式两个平方和，得6+r14+r22+r3=0其中：r1=a21-2a2-b21；r2=a22-2a1a3+2b1b3-b22；r3=a23-b23；令z=2，=r21-3r2，gz=z3+r1z2+r2z+r38定理2假设R0>1成立；1当=0时；2当>0时，r3>0且0；3当>0时，r3那么系统1在病毒平衡点P*是局部渐近稳定的。证明方法见文

10、献【6】。2平衡点的全局稳定性在这一节中，主要通过构造Lyapunov函数，利用Lyapunov-Lasalle不变集原理证明系统1平衡点的全局平衡性。定理3假设R0证明：设S，I，R是系统1满足初始条件2的任意正解。令Vt=S-S0-S0ln+eI+dV't=1-？撰-S-e+r+I+=？撰-S1-+e+r+I-1？撰-S1-+e+r+IR0-1-S1-+e+r+IR0-10即：V't0，由LaSalle不变原理可知，当R03数值分析为了验证上述理论分析的结果，本节给出一个仿真例如，系统1选取参数r=0.15；=0.45；=0.6；=0.2；=0.15；？撰=10，=0.2此

11、時R0=0.2876。当时滞=0时。系统1变成常规的传染病模型。此时系统S、I、R都瞬间上升，然后、随着时间到达平衡位置如图1。当=0，R0当时滞=8时，病毒有病毒引起的宕机率大于因故障而引起的宕机率。易感节点经过潜伏期仍然然存活的数量e-=0.0273，满足要求。此时，易感病毒S数量急剧上升到达某个一个平衡位置，而I，R任然平衡在0点上，R0当R04结束语本文主要研究的是一类具有非线性发生率和时滞的SIR计算机病毒模型，通过分析模型的根本再生数。通过Hurwitz判断定理可知，分析了R01时解是局部渐近的。通过构造Lyapunov函数，利用LaSalle不变原理，证明当R01时，得到了地方平

12、衡点稳定的充分条件。最后，选取适当的数值，通过MATLAB进行数值模拟，进一步验证了所得的主要结果。【参考文献】【1】LiuWM，LevinSA，IwasaY.InfluenceofnonlinearincidenceratesuponthebehaviorofSIRSepidemiologicalmodelsJ.JoumalofMathematicalBiology，1986，232：187-204.【2】胡宝安，李兵，李亚玲.具有时滞的SIR计算机病毒传播模型J.计算机工程.2021.425：168-172【3】杨亚莉，李建全，刘万萌，等.一类具有分布时滞和非线性发生率的媒介传染病模型的全局稳定性J.应用数学和力学Vol.34，No.12.Dec，2021，1291-1299.【4】陈辉，徐瑞.一类具有饱和感染率和胞内时滞的病毒感染模型的稳定性和Hopf分支J.应用数学，2021，292：398-408.【5】杨俊仙，闫萍.一类具有饱和率的时滞SEIR传染病模型的分析J.中山大学学报自然科学版.Vol.54，No.3.May，2021，51-55.【6】徐昌进，姚凌云.具有时滞的计算机网络病毒传染模型分支分析J.河南科技大学学报自然科学版Vol.34，No.1.Feb.，2021，55-59.【7】叶志勇，刘原，赵彦勇.一类SIQR传染病模型在无尺度网络上的传播