2019高考数学二轮复习专题二数列第2讲数列求和及综合应用练习

1、第2讲数列求和及综合应用高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透.明考向扫要点真题感悟考点整合真题感悟1.(2017 全国出卷)设数列an满足 ai+3a2+ + (2n1)an=2n.(1)求an的通项公式；(2)求数列(忌韵前n项和.解 (1)因为 a + 3a2+ (2 n - 1) an = 2n,故当 n>2 时，a1 +3a2+ (2n 3)an 1=2(n-1),2一得(2n-1)an=2,所以 an=;r,2 n 1又n= 1时，a= 2

2、适合上式,2从而an的通项公式为 an = 2n 1- an2n+1向前n项和为S,由(1)知an2n+ 12n=1 =.2n+ 1 2n+12 1(2n 1) (2n+1) -2n12n + 1则&=13。O.+身赤菅)2.(2017 山东卷)已知an是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6, &a2=a3. 求数列an的通项公式;的前n项(2) bn为各项非零的等差数列，其前 n项和为已知&n+1 = bnbn+1,求数列和Tn.解(1)设an的公比为q,a1 (1 + q) =6, 由题意知i21函=a1q ,又 an>0,a1 = 2,解得 所以an=2

3、n.q=2,(2)由题意知：S2n+1 =(2n+1)(bi+bzn+i)(2 n+ 1) bn+1,又 &n+1=bnbn + 1, bn + 10,所以 bn= 2n +1.bn2n+ 1v cn= ,贝U cn=Qn ,an2因止匕Ti = Ci + C2+ Cn3 572n-1 2n+1=2+ 陵+ 213+ 2nT + -2n- ,两式相减得2Tn=2 + 2+方+2n+ 12n+1，所以Tn=53詈考点整合1.(1)数列通项an与前n项和&的关系,S1( n= 1),an= t1(n >2)(2)应用an与&的关系式f(an, S)=0时，应特别注意

4、n=1时的情况，防止产生错误2 .数列求和 (1)分组转化求和：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并(2)错位相减法：主要用于求数列 an bn的前n项和，其中d, bn分别是等差数列和等 比数列.(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如c其中an是各项均不为零的等差数列，c为常anan+ 1数)的数列.温馨提醒 裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误3 .数列与函数、不等式的交汇数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给

5、出数列所满足的条件，通常利用点在曲 线上名出 S的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题、不等关系或恒成立问题.稻点聚焦1分类突破I.研播点钎析考法热点一 an与3的关系问题【例1】 设数列an的前n项和为S,对任意的正整数 n,都有an=5&+1成立，bn=- 1 t> +1 log 2| an| ,数列 bn的前 n 项和为 Tn, Cn=FF-.Inln+1 求数列an的通项公式；(2)求数列Cn的前n项和A,并求出A的最值.解(1)因为 an=58+

6、 1, nC N*,所以防 + 1 = 5$+1 + 1,1两式相减，得 an+1= 4an,1又当 n= 1 时，a1 = 5a1+1,知 a=彳，所以数列an是公比、首项均为一1的等比数列.4所以数列an的通项公式an=14).(2) bn= 1 log 2I an| = 2n 1,数列bn的前n项和Tn = n2,bn+12n+111Cn = TnTn+1 = n2 (n+1) 2 =孑(n+1) 2， 1所以 A=1-(n+1) 2.因此A是单调递增数列，-13、-当n= 1时，A有最小值A=1=4； A没有最大值.探究提高 1.给出S与an的递推关系求an,常用思路是：一是利用 SS

7、1=an(n>2)转化 为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S的递推关系，先求出&与n之间的关系， 再求an.2.形如an+1 = pan+q(pw1, qw°),可构造一个新的等比数列 【训练1】(2018 安徽江南名校联考)已知数列an的首项a1= 1, 3是数列an的前n项和，且满足 2($+1) =(n+3)an. 求数列an的通项公式；1(2)设数列bn满足bn=K,记数列bn的前n项和为Tn,求证：Tn<3. Hndn +1(1)解 2(S+1) =(n + 3)an,当 n>2 时，2(S1 + 1) = (n+2)an1,一得，(n+

8、1)an=(n+2)an1,anan 1a11所以 n+2 = n+ 1 (n>2)，又，1+2 =予故一一a三港首项为1-的常数列.J+ 2：3一,1所以 an = -( n+ 2).3(2)证明由(1)知，1_ 9 / 11 "anan+1 (n+2) (n+3) - 9 n+ 2 n+3j.Tn=b1+b2+ b3+ bn=9除-卜5人+岛-制=9J3&热点二数列的求和考法1分组转化求和S=63.【例21】 （2018 合肥质检）已知等差数列an的前n项和为S,且满足&=24, 求数列an的通项公式;(2)若 bn= 2an+(- 1)n - an,求数列

9、 bn的前 n 项和 Tn.解（1） an为等差数列,r4x3 ,a1= 3d=2.S4= 4a1 + -2-d = 24,J7X6S7= 7a1 + -2-d = 63,因此an的通项公式an = 2n+1.(2) .bn=2an+( 1)n - an=22n+1+( 1)n (2 n+1) = 2X4n+( -1)n (2 n+1),.Tn=2X(4 1 + 42+-+ 4n) + -3+5-7+9-+ (-1)n(2n+ 1) =8(4 + G.3当n为偶数时，G=2*2=n,8 (4n1) Tn=q H n ；3(2 n+ 1) = n- 2, ，一,n 1当n为奇数时，Gn=2x 8

10、 (4n1).Tn=3-8 (4n-1)n-2,3"Tn= '8 (4-1)3（n为偶数），（n为奇数）.探究提高1.在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和.在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数n的奇偶进行讨论.最后再验证是否可以合并为一个表达式2.分组求和的策略：（1）根据等差、等比数列分组；（2）根据正号、负号分组.考法2裂项相消法求和【例22】 （2018 郑州调研）设S为数列an的前n项和，S=2n2+5n.（1）求证:数列3 an为等比数列;(2)设 bn=2S 3n,求数列，nanbn向前n项和Tn.=

11、 1il_工 n4 7 4n+ 7 7 ( 4n+ 7) .探究提高 1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.»八八 ，3【训练2 (2018 成都二诊)设正项等比数列an, a4= 81,且a2, a3的等差中项为-(ai +%).求数列an的通项公式；1(2)右bn= 10g 3&n 1 ,数列bn的前n项和为Sn,数列 Cn满足Cn = Tn为数列 G的前 4Sn- 1n项和，若Tn入n恒成立，求 入的取值范围

12、.解(1)设等比数列an的公比为q(q0),解得81=3, q=3.a4=a1q = 81,由题思，得 &q+a1q111 Cn-4n2- 1 -22n- 1 -2n+ 1 )=3 (a + aq),所以 an=&qnT = 3n.(2)由得 bn= log 332nT=2n1,n (bd bn)2=n1 + ( 2n 1)21士什十5n2n+ 1若丁=人入口恒成立,则入2士(ne N*)恒成立,则入1max所以入3考法3错位相减求和【例23】(2018 潍坊一模)公差不为0的等差数列an的前n项和为S,已知&= 10,且白，a3, a9成等比数列(1)求an的通项公式

13、;(2)求数列an向前n项和Tn.解(1)设an的公差为d,由题设401+ 6d=10, 得203= 01 09,解之得ai=1,且d=1.401+6d=10,(01 +2d) 2X3= 01(01 + 8d).nn+ 133 2n+3Tn= 一- 4 4X3探究提高 1.一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列an bn的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解.2.在写“ 与“ qS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出q3”的表达式.【训练3】 已知数列an的前n项和S=3n2+8n, bn是等差数列，且

14、 an=bn+bn+1.(1)求数列bn的通项公式;(2)令 Cn =/八 n + 1,求数列Cn的前n项和Tn.解 (1)由题意知，当 n>2 时，an=$i = 6n+ 5.当n=1时，a1=S = 11,符合上式.所以an=6n+5.设数列bn的公差为d,a=b202= b2+ b311=2bd d,17 = 2bd 3d,b1 = 4可解得二d=3.所以 bn= 3n+ 1.因此an= n.(2)令 Cn=3n,则 Tn=C1+C2+ Cn123 n-1 n _=3+针112 n-137n=32+33+ +丁+ 3-得：Q + J |- 3 'i3 33 /31-n+1(

15、2)由(1)知 Cn =(6n + 6)(3n+3) n3(n+1) 2n+1.又 Tn= Cl + C2+ Cn,得 Tn = 3x2 X 2 2+ 3X 2 n1TnWS可化为2< n2.又 nC N , n= 1,或 n= 2故适合条件TnWS的所有n的值为1和2.探究提高1.求解数列与函数交汇问题注意两点：(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是+ (n+1) X2n+1, 2Tn = 3X2 X 2 3+ 3X 2 4+(n+1) X2 n+2.两式作差，得-Tn=3X2 X 2 2+ 23+ 24+ 2n+1 (n+1) X2 n+2n+ 23n . 24(1 2n)n+2=3

16、X 4 +(n+1) X2n+21 2所以 Tn=3n 2n+2热点三与数列相关的综合问题【例3】 设f(x) = 2x2+2x, f ' (x)是y = f(x)的导函数，若数列an满足an+1 = f' (an),且首项a1= 1. 求数列an的通项公式；(2)数列an的前n项和为S,等比数列bn中,b1=a1, b2= a2,数列bn的前n项和为Tn,请写出适合条件Tnw $的所有n的值.1 2解(1)由 f(x) =2x +2x,得 f (x)=x+2.,an+1 = f' (an),且 a1 = 1.an+ 1 = an + 2 则 an + 1 an= 2

17、,因此数列an是公差为2,首项为1的等差数列an= 1 + 2( n 1) = 2n- 1.(2)数列an的前 n 项和 $= n (UnT) = n2, 等比数列bn中，b1=a1=1, b2= a2= 3, q= 3.bn=3n 1 13n3n 1 3n1.数歹Ubn的前 n 项和 Tn=-1 - 33- 12正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别重视；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理.【训练4】(2018 长沙雅礼中学质检)设数歹U an( n=

18、1, 2, 3,)的前n项和$满足S= 2an-ai,且 ai, az+1, a3成等差数列. 求数列an的通项公式；(2)记数列=1酌前n项和为Tn,求使得| Tn- 1|</K成立的n的最小值. an1 000解 (1)由已知S=2an ai,有 an = Si一Si i = 2an-2&-i(n>2),即 an = 2an-1(n>2).从而 a2= 2ab a3=2a2=4a1.又因为a1, a2 +1, a3成等差数列，即 a + a3= 2( a+ 1),所以 a1 + 4a1= 2(2a+1),解得 a1=2,所以数列an是首项为2,公比为2的等比数歹U

19、, 故 an = 2 .11(2)由(1)可得 3=了，=1-J.21由 I TnT|<71 000日A A1 倚1 2n 11<1 000 '即 2n>1 000 ,又nC N*,因为 29=512<1 000<1 024 =210,所以 n>10,一 一 ，1一一，于是，使1工1|<1而成立的n的最小值为10.探规律防失误归细总站思维升华1 .错位相减法的关注点 适用题型：等差数列an乘以等比数列bn对应项得到的数列an bn求和.(2)步骤：求和时先乘以数列 bn的公比.把两个和的形式错位相减 .整理结果形式2 .裂项求和的常见技巧小 1

20、11 S' 1111 n (n+1) - n-n+ 1 . n (n+ k) - kn n+ k j1111 n2- 1 -2ni- 1 n+1 .1111(4)4? =2 21 -衿.3.数列与不等式综合问题(1)如果是证明不等式，常转化为数列和的最值问题，同时要注意比较法、放缩法、基本不等式的应用；(2)如果是解不等式，注意因式分解的应用.专题训练I对接高考I求落实.迎高考一、选择题1.已知等差数列an的前n项和为S,且a1=1, S=a5.令bn=(- 1)n 19=1一=.因此1-n77=而，所以n= 9.所以直线方程为10x+ y+9 = 0.令x=0,得y=- 9,所以在y

21、轴上的截距为一9.答案 Ban,则数列bn的前2n项和丁加为()A. nB. 2nC.nD.2n解析 设等差数列an的公差为d,由&=a5得3a2=a5,，3(1+d) = 1 + 4d,解得d=2, an = 2n-1, bn= ( 1)n1(2n1) ,，T2n=1-3+ 5 7+ + (4n3) -(4n-1) =-2n.答案 B 1 9 .2.(2018 衡水中学月考)数列 a=n(n+ 1)，其刖n项之和为 正，则在平面直角坐标系中， 直线(n+1)x+y+n= 0在y轴上的截距为()D.9A. 10B. -9C.10解析 由于an=/ 1八=1-7. n (n+1) n n

22、+173 G-3 卜+1n n+ 13.已知Tn为数列，2n+ 1 T向前n项和，若m>Tw+ 1 013恒成立，则整数 m的最小值为（B.1 025A.1 026C.1 024D.1 023一，2n+ 11 ，1解析因为一2n=1+2,所以 Tn=n+1 2n,则 T10+1 013 =11 4+ 1 013 = 1 024 -1ro, 22又 m>T10+ 1 013 ,所以整数m的最小值为1 024.答案 C4.已知数列an满足an+1an=2,a1 = - 5,则 |a+ | 比| + |a=()A.9B.15C.18D.30解析 an+1-an=2,a1= 5, .数列a

23、n是公差为2,首项为一5的等差数列 an= - 5+ 2( n 1) = 2n 7.n ( 5+2n7)2数列an的前n项和S =2= n 6n.7令 an= 2n-7>0,解得 n>2.''' nw 3 时,| an| = an； n>4 时,| an| = an.贝U | a" + | a2| + | a6| = a1 a2 a3+ a4+ a5+ a6=S6 2S3 = 62 6 X 6 2(3 2 6 X 3)= 18.答案 C5.对于数列an,定义数列an+1 an为数列an的“差数列”，若a1=2,数列an的“差数列”的通项公式为

24、an+1 an = 2"，则数列an的前n项和Sn=()A.2B.2nC.2n+1-2D.2n L2解析 因为 an+1 an= 2 ,所以 an= (an an 1) + (an-1 an 2) + (a2 a1) + a1 = 2+2+nn+1-9 一 9.9 一 92 +2 + 2 =+2=2 -2+2=2 ,所以 &=2 -2.1-2'1-2答案 C、填空题6.（2018 昆明诊断）数列an满足an=n（n：1）,则工+工+等于 2a1 a2a2 018解析n (n+1) 皿 1211 )an =2，3=n (n+1) =2一币Jaia21a2 018= 2，

25、ff-2；2 0182 019上 _40362 I _ _ .I20192019“4 036昌于 2 019 7.记S为正项数列an的前n项和，且an+1 = 2A/Sn,则与 018 = 解析由题意得4Sn=(an+1)2, 当 n= 1 时，4a1=(a1+1)2, a1=1,2当 n>2 时，4Sn 1 = (an 1+ 1),一得 an an-1 2( an + an1)=0,所以(anan1 2)( a+an1)=0,又 an>0 ,所以 an an1 = 2,则an是以1为首项，2为公差的等差数列.所以 an=2n 1, S2 018 =2 018 (1+2X2 018

26、 1)=2 018 2.2答案 2 018 8.(2018 贵阳质检)已知x表示不超过 x的最大整数，例如：2.3 =2, -1.5 =-2.在数列an中，an= lgn , nC N+,记Sn为数歹U an的前n项和，则 $ 018 =.解析当 1w nw9 时，an = lg n = 0.当 10WnW99 时，an=lg n =1.当 100W nw 999 时，an= lg n = 2.当 1 000wnw2 018 时，an= lg n = 3.故 S2 018 =9X0+90X 1 + 900X2+1 019 X3= 4 947.答案 4 947三、解答题9.(2018 济南模拟)

27、记Sn为数列an的前n项和，已知Sn=2n2+n, nCN*. 求数列an的通项公式；1(2)设bn= -'一,求数列bn的前n项和Tn. anHn+ 12斛 (1)由 S = 2n + n, 得占 n=1 时)a1=S=3；当 n>2 时,an= Sn S1=2n+n 2( n 1) +(n 1) =4n 1.又ai = 3满足上式.*所以 an= 4n 1( n £ N).c11111(2) bn= anan+1 = (4n1) ( 4n+ 3) =4即1 -4n+3)所以49 4nW号石.10.（2018 南昌调研）已知数列0；n是等比数列，且a = 9, 82= 36. 求数列an的通项公式;（2）求数列ann2的前n项和S.解（1）设等比数列旧一n的公比为q,6 一3=2.从而,Ja'n n= (3 1)X2 ,故 an=(n+2).(2)由(1)知 an- n2= n - 2n+1+4n.记 Tn = 2? + 2 2 3+ n 2 n+ 1 ,则 2Tn=23+2 - 24+ (n1) 2 n+1+n 2n+2,两式作差，得Tn= 22+ 23+ 2n+1-n 2n+2n+ 2n+2n+2=2 4 n , 2 = (1 n) ,2 4,.-.Tn=(n-1) - 2 n+2 + 4,“T 4-4n1n+2 4