第12章 动量矩定理

1、第十二章 动量矩定理1 动量矩的概念一、质点的动量矩回顾：Mo(F)= rFxozyFrm若 r=xi+yj+zkF=Xi+Yj+Zk则 大小：Mo(F) =2SOAB方向：按右手螺旋规则定。BA力对点的矩FrmFrmFrmMO(F)Mo(mv)= rmvA(mv)xyxozymvrBBF动量对固定轴z的矩：大小= mvr sin =2SOAB方位：过O且OAB；指向：按右手螺旋规则定。Mo(mv)z= Mz(mv) =2SOAB质点A的动量对固定点O的矩：MO(mv)A(mv)xymvrBFMO(mv)A(mv)xymvrBFMO(mv)FrMO(mv)A(mv)xyBA 质点的动量mv 在

2、Oxy平面内的投影(mv)xy对于点O的矩定义为质点对于z轴的动量矩。Mo(mv)z= Mz(mv) 动量矩的量纲为 ML2T1 （kgm2/S） 代数量矢量 质点对点O的动量矩矢在z轴上的投影，等于质点对z轴的动量矩，即 质点的动量对点O的矩称为质点对于O的动量矩。Mo（mv）= rmv结论：二、质点系的动量矩质点系对固定点O的动量矩等于各质点对同一点O的动量矩的矢量和（即质点系动量对点O的主矩）：质点系对固定轴z的动量矩等于各质点对同一轴z的动量矩的代数和，即对定点对定轴矢量代数量例例12-112-1 已知均质杆质量为m，长为l，绕z轴以匀角速度作圆锥摆动，圆锥顶角为2。求该杆对z轴的动量

3、矩。解：沿杆轴线取坐标轴x。则微元体得解毕。质点系的动量矩矢Lo在直角坐标系Oxyz中的投影为：质点系对某固定点的动量矩矢在通过该点的轴上的投影等于质点系对该轴的动量矩。即OAB问题问题： 质点系的动量 p =mivi 质点系的动量矩 Lo = Mo(Mvc) ？ ll例例12-1 12-1 已知无重细杆AB两端各铰接质量为m的小球，系统绕水平O轴以角速度转动，求系统对O轴的动量矩。系统对O轴的动量矩为：= Mvc= Mvc= Mvc= MvcvAvBvAvBvAvBvAvB= l= l 从本例可以知道，系统质心的速度虽然为零，系统对O轴的动量矩并不等于零。 计算质点系的动量矩不能简单地用质心

4、的动量对某固定点或固定轴取矩。A例12-2vCO已知均质杆m，l，p = mvc = ml/2杆对O轴的动量矩为Lo = M o(Mvc) = (ml/2)(l/2) = ml2/4C ？则杆的动量为vCC vCCvCC 如何计算OA杆对O轴的动量矩？ 按照定轴转动刚体的动量矩计算方法。特例：定轴转动刚体的动量矩令miviz刚体对z轴的转动惯量Lz=Jziiniirrm1rimivimivimivimi结论 绕定轴转动刚体对其转轴的转动惯量为 绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。Lz=Jz(单位：kgm2)2 动量矩定理一、质点的动量矩定理xozymvBMO(

5、mv)FMO(F)设质点质量为m，根据质点的动量定理等式两边同时与矢径r作矢量积，受力F，动量mv，定坐标系Oxyz ，mvMO(mv)FMO(F)mvMO(mv)FMO(F)mvMO(mv)FMO(F)r r r r即A A A AMO(F)? ?为求等式v (O为定点！)左边项，先来看= 0MO(mv)()(ddFMvMoomt即质点对定点的动量矩定理质点的动量矩定理：将上式向直角坐标轴投影，并利用对点的动量矩与对轴的动量矩的关系，可得质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。质点对某轴的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对于同一轴的矩。关于质点动量矩守恒 当MO( F

6、 ) = 0 时，有MO( mv ) = 常矢量。 当Mz( F ) = 0 时，有Mz( mv ) = 常量。质点对定点的动量矩守恒质点对定轴的动量矩守恒r1r2ABz解：分析小球受力。v2v1 思考题： 小球系于线的一端，线穿过铅直小孔，力F将线缓慢向下拉。开始时，小球以匀速v1沿半径为r1的圆周运动，求当小球被拉至B处(2r2=r1)时的速度v2 。FmgTMZ(F(e) = 0， LZ = const !初瞬时(A处)，LZA = mv1r1，B处，LZB = mv2r2， mv1r1 = mv2r2得v2 = 2v1mgTmgT而 r1 =2r2解毕。 设质点系由n个质点组成，第i个

7、质点的质量为mi， 速度为vi，二、质点系的动量矩定理 则根据质点的动量矩定理，有受力：外力Fi(e) 、内力Fi(i) ， 对于n个质点，有n个这样的方程，将这些方程求和，则内力系主矩 = 0 (交换求导数与求和的次序)所以得质点系对定点的动量矩定理即质点系对某定点O的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系的外力对同一点的主矩。质点系对定轴的动量矩定理质点系对某定轴的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系的外力对同一轴的矩的代数和。关于质点系动量矩守恒定律 当Mo( Fi(e) ) = 0 时，有Lo = 常矢量。 当Mz( Fi(e) ) = 0 时，有Lz = 常量。质点系对定点的动

8、量矩守恒质点系对定轴的动量矩守恒质点系对定点的动量矩守恒质点系对定轴的动量矩守恒质点系对定点的动量矩守恒质点系对定轴的动量矩守恒质点系对定点的动量矩守恒质点系对定轴的动量矩守恒即：当外力对某定点的主矩等于零时，质点系对该点 的动量矩保持不变。即：当外力对某定轴的力矩的代数和等于零时，质点系对该轴的动量矩保持不变。面积速度定理：有心力F作用下由于Mo(F) = 0，Mo (mv) = rmv =常矢量 r 和和 mv 必在一固定平面内，即点M的运动轨迹是平面曲线。FMMO( mv )drrOmv常量常量常量tAAttmmddd2dddddrrrrrrvr称为面积速度定理称为面积速度，该结论扫过的

9、面积是质点矢径tAAddrFMMO( mv )drrOmv二猴爬绳比赛。已知猴A、B质量相同，mA= mB=m。猴A比猴B爬得快。二猴分别抓住缠绕在定滑轮上的软绳两端，在同一高度从静止开始同时往上爬。不计绳子与滑轮的质量及轴承的摩擦，试分析比赛结果。解：研究整个系统。进行受力分析。即：质点系对轴O的动量矩守恒， 且等于零。二猴的绝对速度永远相等，比赛不分胜负！即：见后续二猴爬绳比赛分析因为二猴的体力有差异，所以设绳子的速度为u,则有所以可见，猴子体力的差别仅影响其相对速度。弱猴即使不向上 爬，也会因绳子的运动而与强猴同时达到同一高度。解毕。例12-3 ：卷扬机的传动轮系如图，设轴和各转动部分对

10、其轴的转动惯量分别为J1，J2，已知主动力矩M，提升重物为 W = mg，齿轮A、B节圆半径为r1、r2，且 i12 = r2 : r1 =1:2，卷筒半径为R ， 不 计 摩 擦 及 绳 质 量 ， 求 重 物 的 加 速 度 。 （J1，J2 将在后面的章节中着重阐述） 分析：本题中有两根固定轴，必须分开考虑。分别以两轴及与之固连的齿轮为研究对象，用对定轴的动量矩定理求解。WMACB解：XYMCPPnPnPWXYJ1 1 =M Pr 1 研究轴及重物系统，(J2+mR2)2 =Pr2 mgR 研究轴及轴上的齿轮，（约定以1转向为正）。设1与M同向，受力如图。受力如图。GGXYMPPnGXY

11、MPPnGXYMPPnGAPnPWXYGPnPWXYGPnPW2XYGBr1r2R1补充方程：解得：所以，重物上升的加速度为已知均质轮O1，半径R1，质量为m1; 均质轮O2，半径R2，质量为m2，主动力矩M，阻力矩Mf，求1。M思考题MfO1O21问此种解法问此种解法是否正确？是否正确？为什么？为什么？2正确解法正确解法 对O1轮，有MMfO1O22T1T1T2T2 对O2轮，有R2R1 补充方程：且：将R2+R1可解得：MMfT1T1T2T2MMfT1T1T2T2MMfT1T1T2T21若刚体对z轴的转动惯量为Jz ，这些力均为外力，它们使刚体绕z轴以角速度转动。3 刚体绕定轴转动的微分方

12、程设刚体上作用有主动力F1、F2、Fn，Lz=Jz根据FnF1F2zxy且轴承反力对z轴的矩为零，所以有FN2或则刚体对z轴的动量矩为Fi轴承反力FN1、FN2 ，FN1结论：刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。或或此三式均称为刚体绕定轴的转动微分方程。根据刚体定轴转动微分方程可知： 作用于刚体的主动力对转轴的矩使刚体转动状态发生变化；Mz 刚体转动惯量的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。当Mz= 0 时， = 0，刚体作匀速转动或静止。请比较 Jz = Mz 与 m a = F 。 如果作用于刚体的主动力对转轴的矩的代数和等于零，则刚体作匀速转

13、动； Mz 如果主动力对转轴的矩为常量，则刚体作匀变速转动； 转动惯量是刚体转动时的惯性度量。它等于刚体内各质点的质量与质点到轴的垂直距离平方的乘积之和，即4 刚体对轴的转动惯量一、转动惯量的概念转动惯量是刚体转动时的惯性度量，dimJ = ML2转动惯量不仅与质量的大小有关，可见，而且与质量的分布有关。转动惯量的量纲为在国际单位制中，转动惯量的单位是kgm2 。 飞轮通常安装在经常受到冲击的机器上，如往复式活塞发动机、冲床和剪床等。制造飞轮时，要求尽可能将质量分布在轮缘上，以使转动惯量尽可能大， 从转动惯量的概念，看飞轮的作用这样，机器受到冲击时，角加速度很小，从而可以保持比较稳定的运转状态

14、。二、转动惯量的确定 积分法计算简单形状物体的转动惯量确定刚体对轴的转动惯量的方法有计算法和实验法。例如，均质细直杆，质量为m，长度为l，xzoxlzc对杆端轴z的转动惯量为对质心轴zC的转动惯量为CdxxCdxxCdxxCdx均质薄圆环均质圆轮（盘、柱）RRRRRRRzz 惯性半径（回转半径） 对于均质物体，其转动惯量与质量的比值仅与物体的几何形状和尺寸有关，例如mz惯性半径的定义：均质细直杆均质薄圆环均质圆轮z转动惯量与质量的比值的平方根，即mzmzmz常用表示。即：物体的转动惯量等于该物体的质量与惯性半径平方的乘积。 惯性半径仅与物体的形状、尺寸有关，与材料无关。 惯性半径的特点 查机械

15、工程手册中简单几何形状或几何形状已经标准化的零件的惯性半径，求Jz 。平行轴定理刚体对任意轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。刚体对于通过质心轴的转动惯量最小。显然：显然：x1刚体对于过质心的z1轴的转动惯量为JzC， 平行轴定理的证明设点C为刚体的质心，z1x1y1zyxodCrr1y1y=x = z求证证明作直角坐标系Oxyz和Cx1y1z1，则因为x=x1 ，y =y1+d，所以根据质心坐标公式C= 0于是得C C Cd d dr1r1r1miz1C= 0C= 0 x1y1y=x = zz1x1y1y=x = zz1x1y

16、1y=x = zz1轴z轴z1，且相距d。mimimizC2zC2zC2zC2叠加法求转动惯量举例zxom1m2c1c2l1l2例(1) 图示复合细直杆由两部分组成，第一段质量为m1，长为l1；第二段质量为m2，长为l2；求该杆对于杆端轴z的转动惯量。当物体由几个物体组合而成时，可用叠加法计算整体的转动惯量，即先计算各部分的转动惯量，然后再叠加起来。解：c1c2c1c2c1c2已知均质细杆和均质圆盘的质量分别为m1，m2 ，杆长为 l；盘的半径为R。杆与盘固结为一体，求JolRJo = Jo 杆+ Jo 盘Jo 杆=叠加法求转动惯量举例(2)解：C2C1O已知zz则?思考题例12- 4已知复摆

17、(物理摆)的质量为m，质心为C， OC = rc，摆对悬挂点O的转动惯量为JO，求微小摆动的规律。解：OmgYoXo根据刚体定轴转动微分方程，有二阶常系数线性微分方程研究复摆，受力如图，设 增大的方向为正，则mgYoXomgYoXomgYoXoC摆作微小摆动， 很小，sin，二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程此方程的通解为式中O称为角振幅， 为初相位。或关于复摆的讨论所以复摆微振周期为已求得复摆微振的规律为因为实验法测转动惯量实验法测转动惯量实验法测转动惯量实验法测转动惯量关于复摆摆心K令我们又知道单摆周期为于是得应用：（1）摆心、悬点位置互换，周期不变。（2）

18、碰撞时撞在K处，O轴的动反力最小。mLOmgCKL即：在OC延线上距离悬点O为L 处的点K，称为摆心。已求得复摆微振的周期为KLKLKL不规则物件的转动惯量测量单击图片运行动画单击图片运行动画单击图片运行动画猫为什么总是前脚落地卫 星 消 旋卫 星 姿 态 调 整动量矩定理的应用 建立运动微分方程或已知外力矩求运动 已知运动求力或力矩 质点系动量矩守恒O例12-5：均质滑轮质量为M，半径为r，两重物的质量分别为m1和m2 。试求重物的加速度。m2m1解：以整个系统为研究对象，画受力图。m1gMgXOYOvvLo = Lo轮+ Lo1+ Lo2+m1vrm2g设系统运动如图。m1gMgXOYOv

19、vm2gm1gMgXOYOvvm2gm1gMgXOYOvvm2g系统对定轴O的动量矩为根据质点系对定轴的动量矩定理，有+ m2vr+m1r2+ m2r2思考题O2O1QP 2图示两均质轮质量均为M，半径均为R，且已知PQ，则? 1 2 1 2 1 2 QPQPQPQPQPQP 1QPRR对O1轮： 11对O2轮： 22O1O2RRQPPQ例12-6：图示水平圆盘重为P，半径为R，可绕 z 轴转动，动物重为Q，按S=at2/2的规律沿盘缘行走。若开始时盘的角速度为o，求任意瞬时t，盘的角速度和角加速度。SPABS S SQPQPQPQ见后续zyxAB例12-6续：已知盘P，R， o ；动物Q，S

20、=at2/2，求盘、。解：研究盘和动物系统，画受力图。 Mz(F(e) = 0 系统对z轴的动量矩守恒，初瞬时，动物相对于盘速度为零， 只是与盘一起绕z轴转动，ZAYAXAXBYB0PQZAYAXAXBYBPQZAYAXAXBYBPQZAYAXAXBYBPQ系统对z轴的动量矩为S 即Lz=常量！例12-6续：zyxAB已求得初瞬时系统对z轴的动量矩为S设瞬时t，盘的角速度为，角加速度为，绝对速度为动物相对于盘的速度为系统对z轴的动量矩为由 Lzo=Lz 得vrvevrvevrvevrve对上式求导 得5 质点系相对于质心的动量矩定理一般情况下，在研究质点系的动力学问题时，通常是以质心C为原点，

21、建立一个平动坐标系Cxyz，对于随质心的平行移动，在动量定理一章质心运动定理已论述过。 为论述质点系相对质心的转动，首先要研究质点系对质心的动量矩。将质点系的运动分解为随同质心平动系Cxyz的平移和相对动系Cxyz的转动， 或 简 称 为随质心的平移和绕质心的转动。一、质点系对质心C的动量矩 建立定坐标系Oxyz和平动坐标系CxyzxozyxzyrircriviCmi 根据速度合成定理，质点系中任一质点mi的绝对速度 质点系中各质点在绝对运动中的动量mi vi相对质心C的动量矩为式中=0rircriviCmirircriviCmirircriviCmirC -质心C在平动系Cxyz中的矢径！L

22、C -质点系相对于平动系Cxyz的相对动量矩！质点系对质心C的动量矩结论质点系中各质点的绝对动量对质心的动量矩等于它的相对动量对质心的动量矩。统称为质点系对质心的动量矩Lc=rimivri=Lc即二、质点系相对定点o的动量矩 与对质心动量矩的关系对质点mi ，有ri = rc + rimvcLc =LcxozyxzyrircriviCmirircriviCmirircriviCmirircriviCmi质点系对定点O的动量矩为Lo=rcmvc+Lc所以得质点系相对定点o的动量矩 与对质心动量矩的关系结论即质点系对任意定点的动量矩等于质点系对质心的相对动量矩与质点系的动量( (位于质心位于质心)

23、 )对该定点的矩的矢量和。Lo=rcmvc+LcC例12-7：已知两均质轮O、C重量分别为P、Q，半径均为r。O轮上作用主动力偶M，C轮在斜面上纯滚动，斜面倾角为。求C轮轮心的加速度。OM见续后MMM 本题可考虑用质点系对定轴的动量 矩定理求解； 问题的关键是如何求平面运动的C轮对O轴的动量矩。由于C轮在斜面上纯滚动，瞬心为D，绳子不可伸长，CO例12-7续QP已知轮P、Q，r，力偶M，求aC。M解：研究二轮系统， 进行受力分析。XoYoNF系统对O轴的动量矩为covc所以，vc = rc=r o设系统的运动如图。QPMXoYoNFcovcQPMXoYoNFcovcQPMXoYoNFcovcD

24、瞬心D D D系统所受外力对O轴的矩为根据质点系对定轴的动量矩定理，有三、质点系相对于质心的动量矩定理根据质点系对定点的动量矩定理，我们已经知道，质点系相对定点o的动量矩与对质心动量矩的关系为ri = rc + riLo=rcmvc+LcoxzyrircrivimiC将上式展开，vC= 0Fi(e)质点系相对于质心的动量矩定理即质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的矩的矢量和（主矩）。质点系相对于质心的动量矩定理将刚体的平面运动分解为随同基点的平动和相对基点的转动，6 刚体的平面运动微分方程回顾：在刚体的平面运动一章中，刚体的运动情况完全可由基点的运动方程和绕基点

25、的转动方程来描述。在运动学中，基点是任意选的。分析：在动力学的研究中，必须将刚体的运动与它所受的力联系起来。 质心运动定理将刚体质心的运动与外力系的主矢联系起来； 相对于质心的动量矩定理将刚体的转动与外力系的主矩联系起来。此时，只有通过所以：在动力学中，必须选取质心为基点，从而得到刚体的平面运动微分方程。6 刚体的平面运动微分方程（续）OxyyxDLc=Jc选质心C为基点，建立平动坐标系CxyF1F2FiFnCCD与x轴的夹角为 ，则刚体的位置可由xC，yC， 确定。刚体的运动分解为随同质心C的平动和相对质心C的转动。刚体对质心C的动量矩为JC 刚体对过质心且于与运动平面垂直的轴的转动惯量。根

26、据质心运动定理和相对于质心的动量矩定理，有设刚体受力如图，DCDCDC刚体的平面运动微分方程矢量方程代数方程矢量方程代数方程矢量方程代数方程矢量方程代数方程刚体的平面运动微分方程的投影式或当质心轨迹已知时例12-8均质细杆AB长2l，质量为m，B端搁在光滑的地板上，A端靠在光滑的墙壁上，A、B均在垂直墙壁的同一铅直平面内。初瞬时，杆与墙壁的夹角为0，由静止开始运动。求杆的角加速度、角速度及墙壁和地面的反力（表示成的函数）BAC见后续例12-8续已知杆m，2l；0，求时杆、及A、B处的反力。AB解：以杆为研究对象，进行受力分析。NANB列出杆的平面运动微分方程式上列三方程中未知量数必须找补充方程

27、。根据几何关系，有xC=lsin,yC=lcos,对时间t求二阶导数，得ll又杆对质心的转动惯量为Cmg5个。NANBmgNANBmgNANBmg见后续联立求解 式，得代入式，得ABCmgNANBll式代入式、，得例12-8续现在求杆的角速度 ，例12-8续 已求得ABCmgNANBll讨论问：AB杆什么时候开始脱离墙壁？AB杆脱离墙壁的条件是什么？杆脱离墙壁的条件是什么？此时，令得AB杆开始脱离墙壁的角度为NA= 0 !NA= 0 !例12-9 绕线轮质量M=50kg，半径为 R=100mm 和 r=60mm，对质心的回转半径为 =70mm；轮与地面的静、动滑动摩擦系数分别为 f=0.20和

28、f =0.15，水平绳的拉力为T=200N，求轮心C的加速度和轮的角加速度。CTRr见后续TRrTRrTRrT T T T已知轮M =50kg， =70mm ，R=100mm，r=60mm；f=0.2、 f =0.15；T=200N，求轮心的加速度aC和轮的角加速度 。例12-9续RrCPFN解：绕线轮作平面运动， 受力如图，aC列出轮的平面运动微分方程式轮作纯滚动，则有aC= R 上列三方程中未知量数有必须找补充方程。4个，此时F为静摩擦力，应满足F f N ,联立式，并代入数据得N = 490N = 10.74rad/s2F= 146.3N最大静摩擦力Fmax = f N =0.2490=

29、98N。F= 146.3NFmax 设PFNaCPFNaCPFNaC设设设例12-9续RrCFNTaC已求得F= 146.3N Fmax = f N =0.2490=98N，说明前面的假设：实际上，此时轮受力如图，其中F = f N 为动摩擦力。再列轮的平面运动微分方程为补充方程F = f N联立式，并代入数据得N = 490N = 18.95 rad/s2F = f N=73.6NaC= 2.53 m/s2PFNTaCPFNTaCPFaC轮作纯滚动不符合实际！轮既滚又滑！BO例12-10：图示摆由均质细杆(质量为m1=m，长度为l=3r) 和均质圆盘(质量为m2 =2m，半径为r) 固结而成

30、，求B端绳子突然断裂瞬时，轴承O处的约束反力。C1m2rC2m1见后续l=3r分析求轴承反力用动量矩定理显然不行！应考虑用质心运动定理。摆的质心的加速度必须先求出。B端绳断开瞬时，摆的受力如图。BOn例12-10续： 已知m1 =m，m2 =2m，求B端绳断裂瞬时，轴承O处的约束反力。解：C1m2grC2根据刚体定轴转动微分方程，Jo =mo(F)acacn于是得摆的角加速度为m1g研究摆，rcFnCFnFnFnl=3rFFFF式中摆质心的加速度为绳断瞬时，摆的角速度为 = 0，acn = 0，acacnrcCacacnrcCacacnrcC见后续m2gm1gm2gm1gm2gm1g再由质心运动定理，解得根据质心坐标公式，有BOnC12mgrC2acacnmgrcFnCl=3rF已求得 acn = 0，关于质点系动量矩定理的说明质点系动量矩定理（相对于惯性参考系）：质点系相对于质心的动量矩定理：质点系动量矩定理的形