第11章 均匀设计及其应用

1、沐浴在改革开发的阳光下，神州大地生机盎然，沐浴在改革开发的阳光下，神州大地生机盎然，新生事物层出不穷。在科教兴国建设社会主义的新生事物层出不穷。在科教兴国建设社会主义的过程中，人们所熟悉的那些传统的试验设计方法过程中，人们所熟悉的那些传统的试验设计方法（如对比试验设计、全面试验设计、正交试验设（如对比试验设计、全面试验设计、正交试验设计等），已不能充分满足快节奏高效率的要求。计等），已不能充分满足快节奏高效率的要求。新时期呼唤新思维，新方法。新时期呼唤新思维，新方法。中国科学家巧妙的将中国科学家巧妙的将“数论方法数论方法”和和“统计试验统计试验设计设计”相结合，发明了一种全新的试验设计方法相结

2、合，发明了一种全新的试验设计方法，这就是，这就是均匀设计法均匀设计法。均匀设计法诞生于年。由中国著名数学均匀设计法诞生于年。由中国著名数学家家方开泰方开泰教授和教授和王元王元院士合作共同发明。院士合作共同发明。前 言 正交设计可使试验点“均匀分散、整齐可比”，为保证“整齐可比性”，使试验设计的均匀性受到了一定限制，使试验点的代表性还不够强，试验次数不能充分地少。 均匀设计是另一种部分实施的试验设计方法。它可以用较少的试验次数，安排多因素、多水平的析因试 验，是在均匀性的度量下最好的析因试验设计方法。它可以使试验点在试验范围内充分地均匀分散，不仅可大大减少试验点，而且仍能得到反映试验体系主要特征

3、的试验结果。 下面通过下面通过制药工业中的一个实例制药工业中的一个实例来说来说明均匀试验设计方法。明均匀试验设计方法。例例1.11.1 ：阿魏酸的制备根据试验目的，确定以阿魏酸产量作为试验根据试验目的，确定以阿魏酸产量作为试验指标指标Y Y。 阿魏酸是某些药品的主要成分，在制阿魏酸是某些药品的主要成分，在制备过程中，我们想提高阿魏酸产量。备过程中，我们想提高阿魏酸产量。全面交叉试验要全面交叉试验要N=73=343次，太多了。次，太多了。建议使用均匀设计。查阅均匀设计表。建议使用均匀设计。查阅均匀设计表。 经过资料查阅，分析研究，选出影响阿魏酸产量的试经过资料查阅，分析研究，选出影响阿魏酸产量的

4、试验因素，确定试验因素水平为：验因素，确定试验因素水平为：原料配比：原料配比：1.0-3.41.0-3.4吡啶总量：吡啶总量：10-2810-28反应时间：反应时间：0.5-3.50.5-3.5确定每个因素相应的水平数为确定每个因素相应的水平数为7 7。如何安排试验如何安排试验? ?“方开泰，均匀设计与均匀设计表，科学出版社(1994)”之之附表附表 1网络地址网络地址:.hk/UniformDesing也可以浏览如下网页：也可以浏览如下网页：第第1步：步： 列出试验因素水平表列出试验因素水平表表表 1.1.1 试验因素水平表试验因素水平表第第2步

5、步: : 选择相应的均匀设计表选择相应的均匀设计表均匀设计表格式见下，其含义为：Un(qs)均匀设计试验总次数因素水平数因素数例如:)7(47U)9(49U表表 1.1.2:表表 1.1.3: 每个均匀设计表都有一个每个均匀设计表都有一个使用表使用表，它将建议我们如何选，它将建议我们如何选择适当的列安排试验因素，进行试验设计，这样可以减少择适当的列安排试验因素，进行试验设计，这样可以减少“试验偏差试验偏差”。其中。其中偏差偏差为均匀性的度量值，数值小的设为均匀性的度量值，数值小的设计表示均匀性好。例如计表示均匀性好。例如 U7 (74)的使用表为：的使用表为：因素数列号偏差21, 30.239

6、831, 2, 30.372141, 2, 3, 40.4760No.123411236224653362444153553126654177777No.1231123224633624415553166547777)47(7U表表 1.1.4:表表1.1.2:第第3步步: 应用选择的 UD-表安排试验，设计试验方案No.12311232246336244155531665477771. 将 x1, x2和 x3放入均匀设计表的1,和3列；x1 x2 x3 2用x1的个水平（值）替代第一列的1到 7；1.02.63.03.43. 对第二列，第三列做同样的替代；13 1.519

7、 3.025 1.010 2.516 0.522 2.028 3.54. 按设计的方案进行试验，得到个结果，将其放入最后一列。y0.3300.3660.2940.4760.2090.4510.482表表 1.1.5: 试验方案试验方案第第 4步步: 用回归模型匹配数据首先，考虑线性回归模型:这个结果与人们的经验不符。) 1 . 1 . 1 (3322110 xxxy使用回归分析中变量筛选的方法，比如向后法，得到推荐的模型为：)2 . 1 . 1 (0792. 02142. 03xy然后，我们尝试用二次回归模型来匹配这些数据：使用向前的变量选择法，我们发现适宜的模型：(1.1.3)3223311

8、321122333222221113322110 xxxxxxxxxxxxy)4 .1 .1 (0235.006.025.006232.031233xxxxy14来源来源dfSSMSFp回归30.062190 0.02073043.880.006误差30.014170 0.000472总和60.063608表表 1.1.6: 方差分析（方差分析（ANOVA） 表表的示意图残差与 y 状态是正常的，所以模型(1.1.4)是可接受的。图图1.1.1:y yy.88.4,64.5,41.6,02174.0,978.0 312332xxxxtttsR具有模型)4 . 1 . 1 (0235. 006.

9、 025. 006232. 031233xxxxy中的三项，在 5%的水平下都是显著的。图 1.1.2a 匹配图图 1.1.2b 正态 Q-Q 图图 1.1.2c偏回归图16第第5步步: : 优化 - 寻找最佳的因素水平组合表1.1.5的设计是73=343个全面试验的部分实施, 其中最好的试验点是值为Y= 48.2%的 #7。它不一定是全局最好的。人们想找到满足下式的x1*和 x3* ：),(max),(31*3*1xxYxxY这里求取max的区域为：5 . 35 . 0, 4 . 3131xx31233310235.006.025.006232.0),(xxxxxxY且x1x3的回归系数是正

10、的，x3的回归系数也是正的, x1* = 3.4。233306. 03309. 006232. 0), 4 . 3(xxxY在x3* = 2.7575达到最大值 。 图图 1.1.3 等值线图等值线图 (x1*,x3*)在x1* = 3.4和 x3* = 2.7575处估计响应的最大值是 51.85% 。它比个试验点的最好值48.2%还大。18讨论讨论:因素因素 x2 没有给响应没有给响应Y予显著的贡献，我们可以选予显著的贡献，我们可以选x2为为其中点其中点x2 = 19 ml. 求出的求出的x1* = 3.4 在边界上在边界上, 我们需要扩大我们需要扩大x1的试验上限的试验上限。在在x1 =

11、 3.4和和 x3 = 2.7575的邻域的邻域, ,追加一些追加一些试验是必要的。试验是必要的。在第步，一些优化算法是很有用的。混合型水平的均匀设计混合型水平的均匀设计试验中各因素若有不同水平数，比如，其水平数分别为q1，qk。这时应使用相应的混合均匀设计表。见“方开泰,均匀设计与均匀设计表,科学出版(1994).”之附表2每个混合水平表有一个记号，含义为：Un(q1 qk )均匀设计试验次数各定量因素之水平数定量因素的最大数下表是一个混合水平均匀设计表:此均匀设计表此均匀设计表试验总数为试验总数为 12，用它可以，用它可以安排水平数为安排水平数为、的、的因素各一个。因素各一个。 U12(6

12、2 4)此表也是混合水平均匀设计表。23它的试验数它的试验数为为 12。可。可以安排二个以安排二个6水平因素和水平因素和一个一个4水平因水平因素的设计。素的设计。考虑考虑4 4个因素：个因素： 平均施肥量X，分为12个水平 （70,74,78,82,86,90,94,98,102,106,110,11470,74,78,82,86,90,94,98,102,106,110,114）； 种子播种前浸种时间T，分为6个水平（1,2,3,4,5,61,2,3,4,5,6）； 土壤类型B，分4种B1B1，B2B2，B3B3，B4B4； 种子品种A，分3个A1A1，A2A2，A3A3；对某农作物产量的影

13、响。对某农作物产量的影响。可以看出前两个为定量因素，前两个为定量因素，后两个为定性因素。后两个为定性因素。例例2 2 .1:在农业试验中如何进行试验安排？如何进行试验安排？混合型因素混合型水平的均匀设计混合型因素混合型水平的均匀设计一般情况下试验中既有定量型连续变化因素，又有定性型状态变化因素。假设有k个定量因素X1,Xk；这k个因素可化为k个连续变量， 其水平数分别为q1，qk。又有t个定性因素G1,Gt，这t个定性因素分别有d1，dt个状态。可以使用“拟水平法”，或用优化方法计算，求出相应的均匀设计表。混合因素混合水平表有如下的记号和含义：Un(q1 qk d1 dt )均匀设计试验次数各

14、定性因素之水平数定性因素的最大数各定量因素之水平数定量因素的最大数 U12(12643 2 ) 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 2 3 1 2 2 2 2 2 3 2 2 1 3 3 3 3 2 1 1 2 4 4 4 4 3 1 2 1 5 5 5 1 1 2 2 2 6 6 6 2 3 2 1 1 7 7 1 3 1 1 1 1 8 8 2 4 3 3 2 1 9 9 3 1 1 3 2 2 10 10 4 2 2 2 1 2 11 11 5 3 1 1 1 1 12 12 6 4 2 3 2 2 例：次试验。次试验。可以安排可以安排个个水平数为水平数为12、6的定量因素，的定

15、量因素，以及总数为以及总数为的一个水平的一个水平为为4、两个水、两个水平为平为3和两个和两个水平为水平为2的定的定性因素的设计性因素的设计。 U12(12643 )表2.1.12461212135111122410101139934288131773266611555344442333332222211114321选混合均匀设计表选混合均匀设计表.1安排此试验安排此试验第第1 1列安排平均施肥量列安排平均施肥量X X，分为分为1212个水平；个水平；第第2 2列安排种子播种前浸列安排种子播种前浸种时间种时间T T，分为分为6 6个水个水平；平；第第3 3列安排土壤类型列安排土壤

16、类型B B，分分4 4种种B1B1，B2B2，B3B3，B4B4；第第4 4列安排种子品种列安排种子品种A A，分分3 3个个A1A1，A2A2，A3A3。97461141062511012204106118731021069298105319412716901111586927482899378901274771170241322113413321134233221ABABABABABABABABABABABABABTX值试验安排及结果如表2.1.2为了进行分析，我们引进5个伪变量。它们的记号和取值如下：它们和 、 一起进行回归分析。B因素的) 000100010001 (31z) 0010

17、00100010 (32z) 010001000100 (33z) 010101010000 (41z) 101000000101 (42zA因素的回归方程如下回归方程如下:00000611411110051101000104106111001310210000029810110019410001069010100158610000048211010037810001027411000117019741062122011871069105312711111927899901771121110987654321eeeeeeeeeeee76543210+=427416335324313210ZZZ

18、ZZTXy84.18753.0875.16850.12445.14498.20809.231625.1254.896Ru不显著。需进一步考虑高阶回归项。u若我们考虑除主效应外，再多考虑一个2次效应和一个交互效应。这时回归方程化为解得回归系数的最小二乘估计及其和值为：0114011041060102098094690086082078274070000006114111100511010001041061110013102100000298101100194100010690101001586100000482110100378100010274110001170122

19、22222222229741062122011871069105312711111927899901771121110987654321eeeeeeeeeeee9876543210)(32928427416335324313210ZTXZZZZZTXy+=解得5883.141700000. 10600.114937. 06920.413200.916902.1017927.1449875.1998600. 98649.983642.38989876543210FR非常显著非常显著回归系数的最小二乘估计及其和值为：)(32928427416335324313210ZtXZZZZZtXy5883.

20、141700000. 10600.114937. 06920.413200.916902.1017927.1449875.1998600. 98649.983642.38989876543210FR方程为:其中1.含变量x 的两项与其它是分离的（即可加的），最大值点在 x=100.127 。2.含变量z41 z42 的两项与其它是分离的，最大值点在 z41=0 z42=0，即品种3为好。3.含变量 z31 z32 z33 的四项与其它是分离的，最大值点可能在 z31=1 z32=0 z33=0 类型为1，=6或 z31=0 z32=1 z33=0 类型为2，=6比较后知道为后者。所以得到最佳状

21、态组合为施肥量X=100.127，浸种时间T=6，土壤类型B取2，种子品种A取3，此时最大值估计为4515.13217929.144692.203642.3898127.1008619.98127.1004937. 02my一、表的选择,因素及水平的安排u若试验中有k个定量因素和t个定性因素时，我们从混合型均匀设计表中选出带有s=k+t列的Un(q1qkd1dt)表。u这里要求nk+d+1,其中d=(d1+dt -t). 为了给误差留下自由度，其中的n最好不取等号。 u表中前k列对应k个连续变量， 表中后t列可安排定性因素。 安排n个试验，得到n个结果y1，y2，yn。下面综述应注意的事项：u

22、为了分析，首先要将定性因素之状态，依照伪变量法，将第i个因素分别化成(di-1)个相对独立的n维伪变量Zi1,Zi2,，Zi(di-1)。u将这总共d=(d1+dt-t)个伪变量与相应的k个连续变量X1，Xk一起进行建模分析。u为了保证主效应不蜕化，要对混合型均匀设计表进行挑选。二、试验结果的回归建模分析如果不理想,则ijtidijijkjjjZXy11110首先考察它们的一阶回归模型： 再考虑一些交互效应，和一些连续变量的高次效应。显然最多可考虑的附加效应数为m个，这里 mn-(k+d-2)u值得指出的是，由于Zij *Zij=Zij ,因此无需考虑伪变量的高阶效应,只考虑连续变量的高次效应

23、即可. u又因为Zij1*Zij2=0,j1j2时,因此也无需考虑同一状态因素内的伪变量间的交互效应。u只有i1i2时,才有可能使Zi1j1*Zi2j20，即不同状态因素间的交互效应可能要考虑.。u此外，不要忘记考虑连续变量与伪变量的交互效应。u至于 三个以上的状态因素间 的交互效应项Zi1j1*Zi2j2*Zi3j30的可能性就更少了。许多产品都是混合多种成分在一起形成的。面粉水糖蔬菜汁 椰子汁盐发酵粉乳酸钙 咖啡粉香料色素咖啡面包咖啡面包怎样确定各种成分的比例呢？经验经验试验试验混料试验混料试验混料配方均匀设计混料配方均匀设计43有 s 个因素: X1, , Xs 满足 Xi 0, i =

24、 1, , s 和 X1 + + Xs = 1. 试验区域为单纯形Ts = (x1, , xs): xi 0, i = 1, , s , x1 + + xs = 1. 单纯形格子点设计 (Scheffe, 1958).单纯形重心设计(Scheffe, 1963).轴设计(Cornell, 1975)人们提出了许多混料设计方法，如例如, 成分数 s = 3单纯形格子点设计单纯形重心设计d轴设计这些设计的全面评价请参考：Cornell, J. A. (1990). Experiments with Mixtures: Designs, Models and the Analysis of Mixt

25、ure Data. Wiley, New York.45混料均匀设计混料均匀设计上述设计的弱点：上述设计的弱点：许多点在Ts 的边界上；给用户设计的选择不多。混料均匀设计是要寻找在Ts上均匀散布的试验点。问题问题: 怎样设计这些试验点呢？变换方法46给定s-1维单位立方体C s-1上的均匀设计，且用Ck = (ck1, ,ck,s-1), k = 1, ,n 表示。则进行下列必要的 变换：(3.1.1)11111111sjkjksijkjkikijsjsiscxccxxk = (xk1, ,xks), k = 1, ,n 是 Ts.上的均匀设计。47 变换方法例例3.13.1 构造T3 上带有

26、11 个(配方)试验点的均匀设计。 假设我们选用 U11(112) 和相关的 Ck, k = 1, ,11:,51110102988673611514739241)11(211U115 . 0kk;4091.09545.08636.08636.01364.07727.06818.06818.05000.05909.02273.05000.09545.04091.00455.03182.05909.02273.07727.01364.03182.00455.0c48变换公式 (4.1) 现在成为: (3.1.2).);1 (;121321211kkkkkkkkccxccxcx.3997. 057

27、73. 00230. 08026. 01267. 00707. 01199. 07592. 01210. 05630. 02627. 01743. 03844. 03844. 02313. 01607. 05464. 02929. 06105. 00291. 03604. 00256. 05384. 04359. 02817. 01950. 05233. 02853. 00839. 06307. 00678. 01454. 07868. 0),(321kkkxxxx用这个变换公式, 正方形0,12上的均匀设计 Ck = (ck1, ck2), k = 1, ,11 导出T3上的均匀设计 Xk = (xk1, xk2, xk3), k = 1, ,11 如下:49区域 T3 是一个边长为 的等边三角形,用 V2 表示。2111T3x1x2x3T3可以证明：V2 上的任何点 (z1, z