数列求和方法大全例题变式解析答案——强烈推荐

1、1 1.7数列前n项和求法 知识点一倒序相加法 特征描述：此种方法主要针对类似等差数列中 an +a =an+a2 = ，具有这样特点的数列. 思考： 你能区分这类特征吗？ 知识点二 错位相减法 特征描述：此种方法主要用于数列 anbn的求和，其中an为等差数列，（bn是公比为q 的等比数列，只需用 & -qSn便可转化为等比数列的求和，但要注意讨论 q=1和q丰1两种 情况. 思考：错位时是怎样的对应关系？ 知识点三 分组划归法 1 1 1 特征描迷：此方法王要用于无法整体求和的数列，例如 1, 1+ , 1+ + , , 1 1 1 一，, , 1+；+；+顼1,可将其通项写成等比

2、、等差等我们熟悉的数列分别进行求和，再综 合求出所有项的和. 思考：求出通项公式后如何分组？ 知识点四 奇偶求合法 特征描述：此种方法是针对于奇、偶数项，要讨论的数列 例如Sn =13+5 + 7+（1）z（2n1）,要求Sn,就必须分奇偶来讨论，最后进行综合. 2 思考：如何讨论？ 知识点五 裂项相消法 1 1 1 特征描迷：此万法王要针对 + - 这样的求和，其中an是等差数列. aia2 a2a3 an Jan 思考：裂项公式你知道几个？ 知识点六 分类讨论法 特征描述：此方法是针对数列an的其中几项符号与另外的项不同， 而求各项绝对值的和的 问题，主要是要分段求. 思考：如何表示分段求

3、和? 考点一倒序相加法 例题1：等差数列求和 & =a +a2 +an 变式 1：求证：C： +3C： +5C； + 十（2n 十 1）C： =（n + 1）2n 变式 2：数列求和 sin21 一+sin2 2+ sin23-七 . +sin289 考点二错位相减法 例题2：试化简下列和式： Sn =1+2x+3x2 +nxn（x#0） 变式1:已知数列1,3a,5a2,，（2n-1）an.（a。0），求前n项和。3 变式2：求数列a,2a2,3a3,，nan,；的前n项和 . . 1 2 3 n 变式3:求和：Sn = + 2 + 3 + n a a a a 考点三：分组划归法 .

4、 1 1 1 例二：求数列1, 1十一，1十一十一， 变式 1: 5, 55, 555, 5555,，-(101), 9 变式 2： 1 3,2 4,3 5, ,n(n 2),; 变式 3:数列 1,(1+2),(1+2+22),.(1+2+2 2+2 n 1),前 n 项的和是 ( ) A. 2 n B. 2 n 2 C. 2 n+1 n 2 D. n2n 考点四：奇偶求合法 例四：Sn =1 -3 5 7 (-1)n(2n -1)1 + + . +的和. 2 4 2 4 变式 1：求和:& =1-5+9-13+ +(-1 )n -(4n-3) (nW) 变式2：已知数列an中ai=

5、2, an+涌+1=1, Sn为an前n项和，求Sn 变式 3,已知数列an中 ai=1, a2=4, an=an-2+2 (nA3), Sn为an前 n 项和,求 S 考点五：裂项相消法 , 、， 一 1 1 1 1 例五：an为首项为a1,公差为d的等差数列，求 Sn=+ + - aa2 a2a3 8384 aan 5 考点六：分类讨论法 例六：在公差为d的等差数列(an中，已知ai= 10,且a，2a2 + 2, 5a3成等比数列. 求d, an； (2)若 d f- - 5 Sn =5 55 555 55 5 =(9 99 999 3 9) = 5(10 -1) (102 -1) (1

6、03 -1) g (10n -1) 9 5 2 3 n 50 n 5 =10 +102 +103 + +10n _n= (10n _1)n . 9 81 9 变式2: 2 -n(n +2) = n + 2n , 原式=(12 +22 +32 + +n2)+2x(1+2+3 + - +n)=心+侦27) 6 变式3: C 考点四 例四： 解：当n = 2k (k亡N)时， & =Sk =(1-3) (5-7) - (4k-3)-(4k-1) =-2k = -n 2nd 11 当 n=2k1(k NH寸， & =S2k -a2k =-2k-(4k-1) =2k -1 =n 综合得：

7、& = (-1) n 变式1 ： 解：当 n 为偶数时：Sn =(1_5 )+(9 _13 )+.,+ I(4n_7)_(4n 3) = ；(-4)=_0 n-1 - 当 n 为奇数时： 叩餐亢913)七士，牛)-(4n“ J+(4-3)、-4尹(4r-3)=?n_i 变式2: 解：当n为偶数时：&=a1+a2+a3+a4+礼+斗 = (a +a2)十佰3 S)十+(aj+an) = n，1 =三 2 2 当 n 为奇数时：S =a+02 *a3)+(a4+a5)+ + (an+an) c n-1 n 3 =2 - = - 2 2 变式3: 解： a(r an-2=2 (n A

8、 3) ,- a,a 3,a 5, . ,a 2n-1 为等差数歹U ； a2,a 4,a 6, . ,a 2n为等差数歹U n 一1 当 n 为奇数时：an = 1 + ( - -1)，2 = n 2 当n为偶数时：an =4十(旦一1)，2 = n +2 2 即 n N*时， an = n + 1 + (-1)n I Q . n -1 n(n 1) $ =(1十2十3十十n)十 - 2 = - 十n-1 .n为奇数时： 2 2 n为偶数时：E5F 号2=粉打 考点五 12 例五： 解： .1 1 -1 务, d f , 一 akak 1 ak(ak d) d ajak d)13 1 1 1

9、 -( ) d an 1 an 1 1 、 1 - ) ak ak d d 1、 1 , 1 1 ) 了（一 a2 d a2 a3 1 1 d (!) ak ak 1 1 1 1 d一) 1 1 ( ) a1 a2 a2 a3 1 1 ( ) an J an d a1 aiai (n -1)d 变式1: 11 1 =一(一 - ) n(n 2) 2 n n 2 1 1 1111 1 Sn =(1)( )( )(一 2 3 2 4 3 5 n 111 1 1 - )=_( ). n 2 - 2 - 2 n 1 n 2 变式2: 解：an .n . n 1 ( , n . n 1)(、n 1 Tn

10、) 1 1 1 + - +-十, _ 一2 .1 3 一 2 .nV / n = (721)十(庐一72) +(Jn 十 1 -垢)=。耳_1 . 变式3: 思路分析：分式求和可用裂项相消法求和 解 ak 一 2 一 2 (2k) (2k) -1 1 1 . 1 1 1, 1 1 ) I I ( J (2k -1)(2k 1) (2k -1)(2k 1) (2k-1)(2k 1) 2 2k-1 2k 1 Sn 1 1 1 1 如 an=n 2(1一3)(3一？ (2n-1 二)=n 1(1)= 2n 1 2 2n 1 2n 1 14 15 考点六 例六： 解：(1)由题意得 2 即 d 3d

11、4 = 0. 所以d= 1或d = 4. 所以 an= n + 11, n N或 an= 4n + 6, n N . (2)设数列an的前n项和为Sn.因为d0,由(1)得d = 1, an= 一 当 nv 11 时，|a 1| + |a 2| + |a3| + |an| 1 2 21 =二 n + n. 2 2 当 nA 12 时，|a i| + |a 2| + |a3| + |a n| = Sn+ 2Si = n -n2+ yn, nv 11, 综上所述，|a 1| + |a 2| + |a3| + + |an|= 12. .2 2 变式1: 练习：求Sn 1 2 =_ + a a2 3 n + p+ 答案：Sn = a a n(n +1) n2 a(a -1) _ n(a n / A2 a (a -1) (a = 1) 9 (a=1) 解：（1）当n = 20或21时, Sn的最小值为-630. （2）Tn 3 2 一 n 2 123 2 n,n _21 3 2 123 jccc n n + 1260,n21 、2 2 变式2: a + a2 + + an 变式3: n -4 7 -n 解：an=a1 q =2 3