2三角形辅助线总结材料及口诀

1、实用文档三角形作辅助性方法大全口诀：总那么：3标注等线和等角,对顶角不要忘,相等边角要避开.31、等腰三线合；过腰上一点做另腰平行或底平行线.等腰顶角是腰高和底夹角二倍,等腰三角形一腰延长线和另一腰构建 新等腰三角形,原顶角是新底角的二倍,新底边垂直原底边.42、求角大小,需构造出有数值的角；两角做比拟,连点延边构三角,大外小内找中介；相等角,等腰、对顶、平行、同余和 同补；给出二倍角,构等腰二倍角变外角,分大扩小也可以.33、两线做比拟,截长补短可求证.特殊角求三边,带平方都要用 直角三角形.三角形内构四边,四边周长小于三角形周长；.34、角分线,到边距离相等经常用,也可两边截等段；三角形相

2、邻外交角角分线交点到两边距离相等,三角形内角平分线交予 一点,且到三边距离相等.平行线间角分线的交点一定是中 点见后25、中线,倍长中线、或倍长以中点为端点线利用对顶和相等线段；16垂分线上点连线段端点有帮助；3 7、多边变身三角形,延两边、连对角、连顶点；be中A一、遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一的性 质解题,思维模式是全等变换中的“对折.1三线合一例：,如图, ABC中,AB = AC, D为BC中点,DEL AB于E, DF丄AC于F,求证：DE = DF 证实：连结AD./ D为BC中点, BD = CD又 AB =AC AD平分/ BAC/ DEL AB, DFL A

3、C DE = DF求证：EFL BC例：,如图, ABC中,AB = AC在BA延长线和 AC上各取一点 E、F,使AE= AF,标准文案2、常过一腰上的某一点做另一腰的平行线和底平行线例：,如图,在 ABC中,AB = AC , D在AB上, E在AC延长线上,且 BD = CE,连结DE交 BC于 F求证：DF = EF证实：证法一过 D作 DN/ AE,交 BC于 N,那么/ DNB = / ACB / NDE = / E,/ AB = AC, / B = / ACBEE / B = / DNB BD = DN又 BD = CE DN = EC在厶DNF和 ECF中/ 1 = / 2/

4、NDF =/EDN = EC DNFA ECF DF = EF证法二过 E作EM/ AB交BC延长线于 M,那么/ EMB =Z B 过程略引入：如图是一个等边三角形木框,甲虫在边框上爬行,端点除外,设甲虫到另外两边的距离之和为,等边三角形的高为,那么与的大小关系是A d> hB、dv hC、d= hD无法确定三种方法1. 过点P做底边的平行线利用等边三角形三条高相等2. 连接B、P,将大三角形转换为两个小三角形,并利用三角形面积公式.3. 测试中标准画图量出答案注意取整值等边三角形3、常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形例：,如图, ABC中,AB= AC, / BAC = 80

5、76; ,P 为形内一点, 假设/ PBC= 10° /PCB = 30° 求/ PAB的度数.解法一：以AB为一边作等边三角形,连结 CE那么/ BAE =/ ABE = 60°AE = AB = BE/ AB = AC AE = AC / ABC =/ ACB/ AEC =/ ACE/ EAC =/ BAC / BAE=80° ° °60 = 201/ ACE = 一(180°/ EAC)= 80°21/ ACB= (180° / BAC)= 50°2/ BCE =/ ACE- / ACB&

6、#176; ° °50 = 30=80在厶PBC和 EBC中/ PBC = / EBCBC = BC/ PCB = / BCE BP = BE/ AB = BE AB = BP/ BAP =Z BPA/ ABP =Z ABO / PBC = 50° 10° = 40 / PAB =1 (180 °/ ABP)= 70°2解法二：以AC为一边作等边三角形,证法同一.解法三：以BC为一边作等边三角形 BCE连结AE,那么EB = EC = BC , / BEC =/ EBC = 60/ EB = EC E在BC的中垂线上同理A在BC的中垂

7、线上 EA所在的直线是BC的中垂线 EA1 BC1/ AEB = - / BEC = 30° = / PCB2P由解法一知：/ ABC = 50°二、角比拟1、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证实角的不等关系时,如果直接 证不出来,可连结两点或延长某边, 构造三角形,使求证的大角在某个三角形外角的位置上, 小角处在内角的位置上,再利用外角定理证题.BDC>/ BAC例：DABC内任一点,求证：/证法一：延长BD交AC于E,V/ BDA EDC 的外角, / BDO/ DEC同理：/ DEC>/ BAC / BDO/ BAC证法二：连结AD,并延长交BC

8、于 FV/ BDF>A ABD的外角,/ BDFW BAD同理/ CDF>Z CAD/ BDFZ CD>Z BADbZ CAD 即：/ BDOZ BAC1. 有二倍角时常用的辅助线构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角例：,如图,在 ABC中,/ 1 = / 2,/ ABC = 2 / C, 求证：AB+ BD = AC证实：延长AB至U E,使BE = BD,连结DE那么/ BED = / BDE/ ABD =/ E+Z BDE/ ABC =2/ E/ ABC = 2 / C Z E = / C在厶AED和 ACD中/ E = / C/ 1 = / 2AD = AD

9、 AEDA ACD AC = AE / AE = AB + BE AC = AB + BE 即 AB+ BD = AC平分二倍角例：,如图,在 ABC中,BD丄AC于D,Z BAC = 2 / DBC 求证：Z ABC = / ACB证实：作Z BAC的平分线 AE交BC于 E,那么Z BAE = Z CAE = Z DBC BD丄 ACEZ CBD + Z C = 90 Z CAEZ C= 90 Z AEC= 180°Z CAE-Z C= 90° AE丄 BC Z ABC+Z BAE = 90 Z CAEZ C= 90Z BAE = Z CAE Z ABC = Z ACB

10、例：,如图, AB = AC, BD丄AC于D,求证：Z BAC = 2 Z DB(证实：方法一作Z BAC的平分线 AE,交BC于E,那么Z 1 = Z 2 = - Z BAC2又 AB = AC AE丄 BC Z 2 +Z ACB = 90实用文档/ BD丄 AC/ DBOZ ACB = 900/ 2 = / DBC/ BAC = 2 / DBC方法二过 A作AE丄BC于 E 过程略方法三取 BC中点E,连结AE 过程略加倍小角例：,如图,在 ABC中,BD丄AC于D,Z BAC = 2 / DBC求证：/I ABC = / ACB证实：作/ FBD =/ DBC,BF交AC于F 过程略标

11、准文案三、两线做比拟1截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等这两种方法统称截长补短法 当或求证中涉及到线段 a、b、c、d有以下情况之一时用此种方法: a> b®a± b = c± d例：,如图,在 ABC中,AB> AC,/ 1 = / 2, P为AD上任一点,求证：AB- AC> PB- PC证实：截长法： 在AB上截取AN = AC,连结PN在厶APN和厶APC中,AN = AC/ 1 = / 2AP = AP APNA APC PC = PN/ BPN中有 PB- PCX

12、 BN PB- PCX AB- AC 补短法： 延长AC至M,使AM = AB,连结PM在厶ABP和厶AMP中AB = AM/ 1 = / 2AP = AP ABFPA AMP PB = PM又在 PCM中有 CM > PM- PC AB- AC> PB- PC2、利用三角形三边关系.n,如圏4, D E为AABC内两点,求证：AB十AOBD+DE+CE.3、当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形,利用勾股定理证题例：,如图,在 ABC中,/ A = 90 °, DE为BC的垂直平分线求证:BE Ah = AC证实：连结 CE贝U BE = CE Ah + AC =

13、ECC Ah + AC= BE2 BE" - Ah = AC练习：,如图,在 ABC中,/ BAC = 90°, AB = AC, P为BC上一点求证：PB" + PC= 2PA24条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中 例：,如图,在 ABC中,/ B = 45 °,Z C = 30 °, AB ,2,求 AC的长.解：过A作AD£ BC于D / B+Z BAD = 90°,/ B = 45 °,Z B = Z BAD = 45°, AD = BD /AB" = AD 2 + BD,

14、 AB = .2 AD = 1vZ C = 30 °, AD丄 BC AC = 2AD = 2四、角平分线1有角平分线时常在角两边截取相等的线段,构造全等三角形例：,如图,ABC的中线且/ 1 = / 2,/ 3 = / 4,求证：BE+ CF> EF证实：在 DA上截取 DN= DB 连结 NE NF,贝U DN= DC 在厶BDE和 NDE中,DN = DB/ 1 = / 2 ED = ED BE = NE同理可证：CF = NF在厶 EFN 中,EN+ FN> EF BE+ CF> EF2、可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变

15、换中的“对折,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.例 ,如图, AC平分/ BAD CD=CB AB>AD 求证：/ B+Z ADC=180.有角平分线时,常过角平分线上的点向角两边做垂线,利用角平分线上的点到角两边距离相等证题.例：,如图,Z 1 = Z 2 , P为BN上一点,且 PD丄BC于D, AB+ BC = 2BD, 求证：Z BAP+Z BCP = 180°证实：过P作PE! BA于E/ PD丄 BC, Z 1 = Z 2 PE = PD在 Rt BPE和 Rt BPD中BP = BPPE = PD Rt BPE Rt BPD BE = BD/ AB+ B

16、C = 2BD, BC = CD+ BD, AB = BE AE AE = CD/ PEL BE, PD丄 BC/ PEB =Z PDC = 90 在厶PEA和厶PDC中 PE = PD/ PEB =/ PDCAE =CD PEAA PDC/ PCB = / EAP / BAP+Z EAP = 180 Z BAP+Z BCP = 180练习：1.,如图,PA PC分别是 ABC外角Z MAC与Z NCA的平分线,它们交于 P,PDL BM于M PF丄BN于F,求证：BP为Z MBN的平分线2. ,如图,在 ABC中,Z ABC =100o,Z ACB = 20°, CE是Z ACB的

17、平分线,D 是AC上一点,假设Z CBD = 20°,求Z CED的度数.CE解：/ ACB=20,/ CBD=20 , BD=CD又 BD=ED ED=CD/ CED=/ DCE/ CE平分/ ACB/ CED=/ DCE=1O .五、中线1、有以线段中点为端点的线段时,常加倍延长此线段构造全等三角形例：,如图,ABC的中线,且/ 1 = / 2,/ 3 = / 4,求证：BE+ CF> EF证实：延长 ED到M,使DM = DE,连结CM FM巳.£和厶CDM中,BD = CD/ 1 = / 5ED = MD BDEm CDM CM = BE 又/ 1 = / 2

18、, / 3 = /4/ 1 + / 2 +/ 3 + / 4 = 180 03 +/ 2 = 90 0即/FDM = / EDF = 90 0EDF = 90 0 EDF和厶MDF中ED = MD / FDM = / EDFDF = DF EDFA MDF EF = MF在 CMF中, CF+ CM > MFBE+ CF> EF此题也可加倍 FD,证法同上2、在三角形中有中线时,常加倍延长中线构造全等三角形.例：,如图,ABC的中线,求证： AB+ AC>2AD证实：延长AD至 E, 使 DE = AD,连结BE/ ADABC的 中线D BD = CD在厶ACDn EBD中B

19、D = CD/ 1 = / 2EAD = ED ACDA EBD/ ABE中有 AB+ BE> AE AB+ AO 2AD3、.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等 例：ABC的中线,且 CF丄AD于F, BEX AD的延长线于 E求证：BE = CF证实：略C4. 有中点时常构造垂直平分线.例：,如图,在 ABC中,BC = 2AB, / ABC = 2 / C,BD = CD求证： ABC为直角三角形证实：过 D作DEL BC,交AC于E,连结 BE贝U BE = CE,/ C = / EBC/ ABE =Z EBC / BC = 2AB , BD = CD BD =

20、AB在厶ABE和厶DBE中AB = BD/ ABE =Z EBCBE = BE ABEm DBE/ BAE = 90 即厶ABC为直角三角形六、高1有垂直时常构造垂直平分线 例：,如图,在 ABC中,/ B =2 / C, AD丄BC于 D证实：:一在CD上截取 DE = DB,B =Z AEB/B =2 Z CAEB = 2 Z C又ZAEB = Z C+Z EAC求证：CD = AB+ BD连结 AE贝U AB = AEED AE = CE又 CD = DE+ CE二延长 CB到 F,使DF = DC连结. CD = BD+ ABAF贝U AF =AC 过程略2有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来例：,如图, ABC中,AB = AC,/ BAC = 120°, EF为AB的垂直平分线, EF交BC于F,交AB于E1求证：BF = FC2证实：连结 AF,贝U AF = BF/ B = / FAB/ AB = AC / BAC = 120°1C/ B = / C/ BAC =-(180°-/ BAC) = 30 °/ FAB = 30° / FAC =/ BAC- / FAB = 120 ° 30° =90°又/ C = 30&