概率论与数理统计习题随机变量及其分布

1、5800259.doc1第二章随机变虽及其分布一.填空题1.设随机变量X B(2, p), Y B(3, p),若P(X X) =5,则P(Y 1)=9-一54解.P(X =0) =1 - P(X _1) =1 =一99241(1-p)= Z，p=933|219P(Y 21) =1 P(Y = 0) =1 一 - j =2.已知随机变量X只能取一1,0, 1,2四个数值，其相应的概率依次为3.用随机变量X的分布函数F(x)表示下述概率P(X a) =. P(XI X x2) =.解.P(X a) = F(a) P(X = a) = P(X a) P(X a) = F(a) F(a 0)P(X1

2、 X a) = 1 - F(a)5800259.doc24.设k在(0, 5)上服从均匀分布则4x2+ 4kx + k + 2 = 0有实根的概率为1解.k的分布密度为f (k) = 0=Pk 2 =f1dk =3255一. a _一 . b5.已知PX =k =,PY = k=(k=1,2, 3), X与Y独立，则a =, b =,联kk合概率分布, Z = X + Y的概率分布为aa6解.a1, a = .2311=1,b=36495800259.doc3-1-2-31ababab492ababab28183ababab31227Z = X + Y-2-1012P24a66o(251a12

3、6a72a1ab = 216上，：=539P(Z二2) =P(X =1,Y二-3) =P(X =1)P(Y =-3) =些=24:9P(Z=1) =P(X =2,Y - -3) P(X =1,Y - -2) =66：P(Z =0) =P(X =3,Y - -3) P(X =2,Y - -2) P(X =1,Y - -1) =251：P(Z =1) = P(X =2,Y = -1) P(X =3,Y = -2) =126：abP(Z =2) = P(X = 3,Y = -1) = P(X =3)P(Y = -1)72：3mcsin(x +y) 0 xy 6.已知(X, Y)联合密度为中(x, y

4、)=0 X, y4,则c =，其它缘概率密度 气(y) =.二/4二/4解.|I csin(x y)dxdy =1, c = 2 100JT当0壬y壬一时4(X, Y)的联合分布为, Y的边所以x,y(身睥祢侦03T0 - x, y -一4其它n-5800259.doc44一(x, y)dx = ( 2 1)sin(x y)dx = (、2 1)(cos ycos(、 y)；(y)=5800259.doc5下面求X的边沿密度：当x e2时X(X)二0当1 x e2时1平X(x) = J_(x, y)dy = dy = ，所以甲X(2)=、.8.若X1, X2,，Xn是正态总体N(P, CT)的

5、一组简单随机样本，则一1X =(X1+X2+ +Xn)服从.n解.独立正态分布随机变量的线性函数服从正态分布1 1.f1 J 1 Ja2E-乙Xi=-二E(Xi) = P, D-二XiJ = 2二D(Xi)=_2所以XN(,) n9.如果(X, Y)的联合分布用下列表格给出(X, Y)(1, 1) (1,2) (1,3)(2, 1) (2, 2)(2, 3)P1111- - - aP69183且X与Y相互独立，则0( =, P =,解.12311/61/91/1821/3aP1-11-111P(X =2):：, P(Y =2) = : , P(Y = 3) = ：，P(Y = 1)=39186

6、 32所以Y(y)= 0(,2 1)(cos y -cos(y)4冗wy二其它12 L7.设平面区域D由曲线y =及直线y = 0, X = 1, X = e围成，二维随机变量(X, Y)在D上X服从均匀分布，则(X, Y)关于X的边缘密度在x = 2处的值为解.D的面积e21dx = 2.所以二维随机变量(X, Y)的密度为：1x9(x,y) = 20(x, y) D其它5800259.doc62P(Y = 1) P(Y = 2) P(Y = 3) = ： = 13”1c 1a =P(X =2,Y =2) =P(X =2)P(Y =2) =( +a +E)( +ot)39c1c 1 cp =

7、P(X =2,Y =3) = P(X =2)P(Y =3) =( +a + P)( + P)L318112两式相除碍-9-=,解得a = 2E,E= , a=.1 . 991810.设(X, Y)的联合分布律为-2-10-11131212121_2_102121232021212则i. Z = X + Y的分布律. ii. V = X一 丫的分布律iii. U= X2+ Y 2的分布律.解.X + Y-3-2一13/21/213P1/121/123/122/121/122/122/12X Y-1013/25/235P3/121/121/121/122/122/122/12X2+ Y 215/4

8、-3一11/4-2- 157P2/121/121/121/123/122/122/12二.单项选择题1.如下四个函数哪个是随机变量X的分布函数0 x 2”0 x 0(A)F (x)=1-2x 0(B) c 0(C) c舄 0(D) c 0,且赤 0解.因为P(X =k) =c7%*/k! (k =0,2,4,)，所以c 0.而k为偶数，所以九可以为负.所以(B)是答案.3. XN(1, 1),概率密度为8(x),贝U(A)p(X 0) =P(X _0) =0.5(B)(x)=乎(一x), x(-二，二)(C)p(X 1) =P(X _1) =0.5(D)F(x) =1 - F(x), x (-

9、二，二)解.因为E(X) = P = 1,所以p(X苴1) = P(X Z1) =0.5. (C)是答案.(X, Y)中(x, y)= 十乎，y* .所以(A)是答案.、0其它0 x5.设函数F(x) =21(A) F(x)是随机变量X的分布函数.(B)不是分布函数.(C)离散型分布函数.(D)连续型分布函数.解.因为不满足F(1 + 0) = F(1),所以F(x)不是分布函数,(B)是答案.它们的分布函数为FX(x), FY(y),则Z = max(X, Y)(B)Fz(z)= max|Fx(z)|,|FY(z)|00X 0一、1(C)F(x)=Jsinx0XTI/2,(D)F(X)=X+

10、31x Z兀/ 2&X ：: 00_x ： ： ：】2 x_l24. X, Y相互独立，且都服从区间机变量是(A) (X, Y)解.X甲(x)(B) X + Y，0 x10其它0, 1上的均匀分布，则服从区间或区域上的均匀分布的随(C) X2(D) X YY中(y)=E.所以、0其它0 x苴1则x 16.设X, Y是相互独立的两个随机变量的分布函数是(A)FZ(z)= max(FX(z),FY(z)25800259.doc8解.FZ(z) =P(Z三z) =Pmax(X,Y)三z = P X三z且Y z)因为独立P(X &z)P(Y z) =FX(Z)FY(Z).(C)是答案.

11、7.设X, Y是相互独立的两个随机变量，其分布函数分别为Fx(x),FY(y),则Z = min(X, Y)的分布函数是解.FY(y) = P(Y三y) = P2X y) = P(X 立)=Fx2气(y) =FY(y) = Fx()(B)是答案.的分布密度是(A)Fz(z)=Fx(z)(B)Fz(z)=FY(Z)(C)Fz(z)= minFX(Z),FY(Z)(D)Fz(Z)=11Fx(Z)1FY(Z)解.FZ(z) =P(Z &z) =1 P(Z z) =1 Pmin( X,Y) . z) = 1 P X . z且Y . z)因为独立1一1 P(X土z)1 P(Y壬z) =1 -1

12、FX(Z)1 FY(Z)(D)是答案.8.设X的密度函数为一.1(x),而甲(x)=-,贝U Y = 2X二(1 x2)的概率密度是1(A)二(1 4y2)(B)-T-二(4 y )(C)二(1 y )(D) arctan y22二(4 y )9.设随机变量(X, Y)的联合分布函数为*x, y)=-(xr)e0 x 0, y其它(A)Z(Z) =2014x y)ex 0, y 0其它(B)(z)x 0, y 0其它-2z(C)(D)z(Z)= 20z 0z%0,排除(A), (B).25800259.doc9X Y、巾一是一维随机变量，密度函数是一元函数解.05800259.doc10f0Q

13、dz =,所以(D)不是答案.(C)是答案.注：排除法做单项选择题是经常使用而且很有效的方法.该题也可直接计算Z的密度:当z 0时X YFz(z) =P(Z _ z) =P(- - z) =P(X Y _ 2z) ： IL (x, y)dxdyx y gz2z 2z_xq99=j e | f edy dx = -2ze+1J00z(z) = Fz(z)=* , (C)是答案.0 z壬 010.设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1),则下列结论正确的是解.因为X和Y分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1),且X和Y相互独立，所以X + Y N(1,2)

14、, X Y N( 1,2)于是PX + Y y)当y 2时FY(y) =1 - P( mi n)t2)y) =1 -0 =1当0 y y)=1-(X y,2y)=1 -P(X y) = P(X _ y) =1 -L当y 0时FY(y) =1 P( mi nX,2) Ay) =1 (X a y,2y)=1 -P(X y) = P(X y) =0(A) PX + Y 0 = 1/2(C) PX - Y 0 = 1/2(B) PX + Y 1 = 1/2(D) PX - Y 1 = 1/205800259.doc11于是 FY(y) =1e只有y = 2一个间断点,(D)是答案.二.计算题1.某射手

15、有5发子弹，射击一次的命中率为0.9,如果他命中目标就停止射击，不命中就一直到用完5发子弹，求所用子弹数X的分布密度.解.假设X表示所用子弹数.X = 1,2, 3, 4, 5.P(X = i) = P(前i 1次不中，第i次命中)=(0.1)i_1Q9, i = 1,2, 3, 4.当i = 5时，只要前四次不中，无论第五次中与不中，都要结束射击(因为只有五发子弹).所以P(X = 5) =(0.1)4.于是分布律为X12345p0.90.090.0090.00090.00012.设一批产品中有10件正品，3件次品，现一件一件地随机取出，分别求出在下列各情形中 直到取得正品为止所需次数X的分

16、布密度.i.每次取出的产品不放回； ii.每次取出的产品经检验后放回，再抽取；iii.每次取出一件产品后总以一件正品放回，再抽取.解.假设Ai表示第i次取出正品(i = 1,2, 3,)i.每次取出的产品不放回X1234P1010 310 2 31231312 1311 12 1311 12 13P(X =1) = P(A) 13103P(X =2) =P(A2F) =P(A2|A)P(A)=12 13102 3P(X =3) =P(AA2A3) =P(A3|A2)P(A |A1)P(A1)=二-1112 13I2 3P(X =4) =P(A4|A3)P(A3|A2)P(A2|A)P(A)=1

17、“II12 13ii.每次抽取后将原产品放回X12k-P迫3 10f 3 V 31313 13U3.J 13一 (3尸10=P(A1)/(&)(疽石(k= 1，2,)iii.每次抽取后总以一个正品放回P(X =k) = p(A Aj AQX12345800259.doc85800259.doc14p103 113 2 12.1 2 3一一 一 1 1313 13 13 13 1313 13 1310P(X =1) = P(A):1311 3P(X =2) = P(A2A) = P(A2| A)P(A)=13 13122 3P(X =3) =P(A A2A3) =P(A3| A2A1)P

18、(A2|A1)P(A1)= 1313 13123P(X =4) =P(AA3A2A)P(A3| 丹 &)P(A2|&)P(A1) =1 -1313 13c*13.随机变量X的密度为中(x) = 山x2咋 CL求：L常数c; ii. X落在(,-)内其匕2 2、0的概率.1c1解.1二(x)dx ：-dx二2carcsin x |。=2c二c二，- 1 x22ii.当x 0时P(X (-1/2,1/2)1/21 _dx_ /2;草 x22=一a r c sJI1/2xr|04.随机变量X分布密度为i.(x)=寻*1 -x2ii.(x)=；2-xi其匕00求i., ii的分布函数F

19、(x).解.i.当x 1时xxF(x) = jU*(t)dt = j-0dt =0- -嗜当一1 x 1时F(x)= _Qt)dt = K 后7dt =1-1:所以F(x)= 1x2亦林；1x，1_ 1 ： x K：1x _ 1x._.0dt = 05800259.doc15xF(x)=.(t)dt5800259.doc16x:(t)dt 二J e2xF(x) = = (t)dt =0tdt1(2 -t)dt 万 2x-1(x -20)23200试求:i.测量误差的绝对值不超过30的概率；ii.接连独立测量三次，至少有一次误差的绝对值不超过30的概率.i.P(| X |30) =P-30 X

20、3。= P=：0.25) _令(-1.25)= (0.25) _(1 _：，(1.25) =(0.25) f (1.25)- 1= 0.59870.8944 -1= 0.4931.（其中小（x）为N（0, 1）的分布函数）ii. P（至少有一次误差的绝对值不超过3=1 -(0.4931) =1 -0.12 = 0.886.设电子元件的寿命X具有密度为问在150小时内,i.三只元件中没有一只损坏的概率是多少？ ii.三只电子元件全损坏的概率F(x)=xx2tdt二F(x)=12tdt1(2-t)dt=1J02xx : 0所以F(x) = 22x _-2x _ 121x _25.设测量从某地到某一

21、目标的距离时带有的随机误差X具有分布密度函数1食牛.因为平(x) =- exp40 2(x 20)2、3200一 s x +叫 所以X N(20, 402).25 9时1501001P(X：150) = . 100 ,2dx x.3.12令p = P(X 150) = 1 -=-33i. P(150小时内三只元件没有一只损坏、38)=P =一iii. P(150小时内三只元件只有一只损坏、 )=C32n Y2)11。 人3)7.对圆片直径进行测量，其值在5, 6上服从均匀分布，求圆片面积的概率分布. 1解.直径D的分布笞度为 中(d)=05三d土6其它2假设X =, X的分布函数为4F(x).

22、F(x) = P(X _x) = P(二D2-x)当x 0时F(x) =P(X x) =P(二D25,即x超时4F(x) =P(X、x) =P(兀D2Mx) =P_4xD r.4xF(x) = 05800259.doc18F(x) = (t)dt =5dt =104x所以F(x) -5|V n11密度(x) = F(x)项x025 二x :-425二425-：48.已知X服从参数p = 0.6的0 1分顷X = 0, X = 1下，关于Y的条件分布分别为表表2所示表1表2Y123Y123111111P(Y|X = 0)-P(Y|X = 1) 424263求(X, Y)的联合概率分布,以及在Y丰

23、1时，关于X的条件分布.解.X的分布律为X01p0.40.6其它(X, Y)的联合分布为1、XY12300.10.20.110.30.10.21 3 P(X =1,Y =1) =P(Y =1 |X =1)P(X =1) W = 0.31 3 P(X =1,Y =2) =P(Y =2 |X =1)P(X =1) = 一 一 = 0.16 51 3 P(X =1,Y =3) =P(Y =3| X =1)P(X =1)；=0.21 2 P(X =0,Y =1) = P(Y =1|X =0)P(X =0) =0.14 51 2 P(X =0,Y =2) =P(Y =2 |X =0)P(X =0) =； - =0.21 2P(X =0,Y =3) =P(Y = 3|X =0)P(X =0) = - =0.1 4 5所以Y的分布律为Y123P0.40.30.3P(X=0,Y=1)0.3P(X =0 |Y =1)(1)- = 0.5P(Y=1)0.65800259.doc195800259.doc20PXms PVTYE)0.3P( X = l|Y - I)二-所以密度.因为X, Y相互独立，所以(X, Y)联合密度为Y _11 11Fz冲z)=P(X M 冲丫z