概率论与数理统计复习提纲

1、1第一章随机事件及其概率一、随机事件及其运算1.样本空间、随机事件1样本点：随机试验的每一个可能结果，用与表示；2样本空间：样本点的全集，用L 表示；注：样本空间不唯一.3随机事件：样本点的某个集合或样本空间的某个子集，用A,B,C,表示;4必然事件就等于样本空间；不可能事件(。)是不包含任何样本点的空集；5基本事件就是仅包含单个样本点的子集。2. 事件的四种关系1包含关系：Au B，事件 A 发生必有事件 B 发生；2等价关系：A = B ,事件 A 发生必有事件 B 发生，且事件 B 发生必有事件 A 发生；3互不相容(互斥)：AB=。，事件 A 与事件 B 一定不会同时发生。- .一一.

2、 A A_ : 14对立关系(互逆):A,事件A发生事件 A 必不发生，反之也成立；互逆满足 0,贝U P( Bi| A)P(B)P(A|BJ31. 事件的对立与互不相容是等价的。(X)2. 若P(A) =0,则A=0。(X)3. 若P(A) =0.1, P(B) =0.5,WJP(AB) =0.05。 (X)4. A,B,C 三个事件恰有一个发生可表示为ABC+ABC+ABC。( V )5. n 个事件若满足yi, j, P(AjP()P(Aj)，则 n 个事件相互独立。(X)6.当Au B时，有 P(B-A)=P(B)-P(A) 。(V)第二章随机变量及其分布一、 随机变量的定义： 设样本

3、空间为Q ,变量X =X(co)为定义在Q上的单值实值函数，则称 X 为随机变量，通常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。二、 分布函数及其性质1.定义：设随机变量X，对于任意实数XW R，函数F(x) = PX苴x称为随机变量X的概率分布函数，简称分布函数。注：当X1X2时，P(X1X、X2) =F(X2) F(X1)X 是离散随机变量，并有概率函数p(Xj),i =1,2，则有 F(x)=Z p(x).xi3XX 连续随机变量，并有概率密度f (X)，贝 U F(X)=P(X 苴X) = f f (t)dt.-=02.分布函数性质：(1F F( X X)是单调非减函数，即对于任意X

4、X10), k = 0, 1, 2,. k!四、连续随机变量及其分布1.定义.若随机变量 X X 的取值范围是某个实数区间I,I,且存在非负函数 f(x)，使得对于任意区间(a,buI ,有P(a X b) = J f (x)dx，则称 X X 为连续随机变量；函数 f f (x)(x)称为连续随机变量 X X 的概率密度函数，简称概率密度。a注 1:连续随机变量 X X 任取某一确定值的x0概率等于 0,即P(X =x) =0;X汪 2:P(x1:X :x2) =P(x1=X%x2) = P(x1 2X :x2)= P(x1:： X %x2) =f (x)dx注 1: 一个函数若满足上述 2

5、 个条件，则它必是某个随机变量的概率密度函数。注2:当x1x2时，P(x1X壬x2) =F(x2)F(x)且在 f(x)的连续点 x x 处，有F (x) =f(x).3.几种常见的连续随机变量的分布：(1) E(C) =C, (C为常数)(2) E(CX)=CE(X)2.期望的性质： v 12.概率密度 f f (x)(x)的性质：，性质 1:1:f(x)芝0;性质2:0f (x)dxx2二 f(x)dxx1均匀分布X U(a,b),f(x)=b a0a _x _b其它F(x)=0,x：a;x - a-,axcb;b a指数分布X e(，)，, 0f(x)0,x _0 x :01 -eTx,

6、 x A0,0,正态分布X N(.、；2) : 0(x一J)2一.-o .2f(x) = e ,.2 捉F(x) =(t_J2x -e2。dt, -二：:x ：二1.2.当 N N 充分大时，超几何分布 H H (n,n, M,M, N N)可近似成泊松分布。概率函数与密度函数是同一个概念。3.设 X 是随机变量，有P(a X b) = P(aX b)。( X )4.若X的密度函数为f (x)=cos x, x 0,项，则P(0 X X=E EX X-E E(X X)20;它反映了随机变量 X X 取值分散的程度，如果 D D(X X)值越大(小)，表示 X X 取值越分散(集中)。2. 方差

7、的性质(1)D(C) =0, (C为常数)(2)D(CX)=C2D(X) 若X与Y相互独立，贝U D(X土Y)=D(X)+D(Y)(4) 对于任意实数 C R,有 E E ( ( X-CX-C ) )2 2 D(D( X X ) )当且仅当 C C = = E(XE(X)时，E E ( ( X-CX-C ) )2取得最小值 D(X).D(X).(5) (切比雪夫不等式):设 X X 的数学期望 日 X X)与方差 D D(X X)存在，对于任意的正数 们有P(|XP(|X -E(X)B-E(X)B 3 3 MDi.MDi.或P(|X-E(X)|P(|X-E(X)| e)e) Ml-DMl-D

8、.ee3. 计算 利用方差定义；(2)常用计算公式 D(X) =E(X2)E(X)2.(3)方差的性质；(4)常见分布的方差.注：常见分布的期望与方差1.若 X X B(nB(n, p p),则 E( X X)=np, D D(X X) = npqnpq; 2.若X P,则E(X)=D(X)=Z;3.若 X X UaUa, b b),则E(X)=空，D(X)=;4. 若Xe0),则E(X)=【，D(X) = ：;212-.25.若XN。,。2),则E(X)=H, D(X)=s2.三、原点矩与中心矩kk(总体)X 的 k 阶原点矩：vk(X) = E(X )(总体)X 的 k 阶中心矩：uk(X

9、) = EX E(X)1.只要是随机变量，都能计算期望和方差。(X )2.期望反映的是随机变量取值的中心位置，方差反映的是随机变量取值的分散程度。(V)3.方差越小，随机变量取值越分散，方差越大越集中。 (X )4. 方差的实质是随机变量函数的期望。(V)5. 对于任意的 X,Y,都有D(X Y)=DX +DY成立。(X )第四章正态分布一、正态分布的定义62,标准正态分布3.标准差c-(X) =c-一、正态分布的性质四、中心极限定理1_心2X N(比b2)概率密度为f (X) =re2兀CJ2,一8 x e,其分布函数为F (x)=1一 e宕dt2二：(t _ I)注：F(L)二方.正态密度

10、函数的几何特性:(1)曲线关于X=阳称；1当 x=由寸，f(x)取得最大值,2 : c(3)当XT也肘，f(X)T0,以X轴为渐近线；(X II)21- - -2(4)- e2；dx = 1 =.2= =e23 dxL-rd(顷当固定G,改变 也勺大小时，f(x)的图形不变，只是沿着y轴作平移变化.(6)当固定卬,改变 甫勺大小时，f(x)对称轴不变而形状在改 变，勰小，图形越高越瘦； 越大，图形越矮越胖.当卜=0,1时,XN(0,1),其密度函数为 q)(x)2 二2Xe2,_MCXE.且其分布函数为 6(x)t2X_e2dt中(x)的性质：(1)1(。)=云(3)：.：，(_x) =1 -

11、：.：，(x).X22dx =1 =x24=c _! e2dx = 2 二 -=O3.正态分布与标准正态分布的关系X正理：右 X N(比 cr2),贝 UY-N(0,1).CT定理：设 X N(J,二2),则 P(X1，:X _X2)=:CT工)二、正态分布的数字特征设X N(P,。2),则 1.期望 E E(X X)=卜1E(X)=,2X-W2xe2 2；- - dx =土-=O2,方差 R 为=Q21D(X)=N*D2e-20(x_.)22程 dx =。21. 线性性.设X N(H,cr2),贝 U Y =a+bX N(a +bP, b2。2), (b#0)2. 可加性.设X N(Hx，B

12、), YN(%,b2)，且 X 和 丫相互独立,Z =X 丫N(口xy,H+E);3. 线性组合性2一设Xi N(0,Oi), I =1,2，n,且相互独立,nnn:一CiXI N (.二Cii，.二G2*).71.独立同分布的中心极限定理(2)样本矩的性质8设随机变量Xi，X2，Xn，相互独立，服从相同的分布，且定理解释：若Xi,X2，Xn满足上述条件，当n充分大时，有nZX Xi-n-n(1)Y； = AN(0,1)；(2)n nsn21,.、(3)X = A Xi AN(P,打)2.棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理Y_、1X (t-日2设Yn B(n, p),则 limlim P P_n22

13、 苴 x x = =f e2廿dtF F lJnp(1lJnp(1 - - p)p)； V2na定理解释：若Yn B（n, p）,当 n n 充分大时，有(1)Yn-npAN(0,1)；(2) Yn AN(np,np(1 p)np(1 -p)1. 若X N(0, 1), Y N(2, 1),则X Y N(-2, 2).( X )X- 口12. 右XN(P,s )，则P(-苴0) = .( V )二23. 设随机变量 X 与 Y 均服从正态分布：X N(已42), Y N(P,52)而p1=P（X壬卜一4）; p2=P（Y芝卜+5），则（B ）.A.对任何实数氏 都有p p2； B.对任何实数

14、七 都有p1= p2C.只对卜的个别值，才有p1= p2；D.对任何实数都有p1p2.第五章数理统计的基本知识一、总体个体样本1.总体：把研究对象的全体称为总体（或母体）.它是一个随机变量，记 X.X.2. 个体：总体中每个研究对象称为个体.即每一个可能的观察值.3. 样本：从总体 X X 中，随机地抽取 n n 个个体X1,X2，Xn,称为总体 X X 的容量为 n n 的样本。注： 样本（X1，X2，Xn）是一个 n 维的随机变量； 本书中提到的样本都是指简单随机样本，其满足2 个特性:E(X) = J,D(X)=o2,i =1,2, ,n,;则对于任何实数 x,有limlim P Pj：

15、(t_.)2-亏dtn* Yn=Xii 4， .2、 AN(nP, n。)；4.已知连续随机变量 X X 的概率密度函数为2x1则 X X 的数学期望为1X X 的方差为1/2 nZXi -nL皿 l 而(Tx_e9代表性：Xi,X2，Xn中每一个与总体 X X 有相同的分布. 独立性：Xi,X2，Xn是相互独立的随机变量4.样本(Xi, X2,，Xn)的联合分布n设总体 X X 的分布函数为 F F(X X)，则样本(X1，X2，Xn)的联合分布函数为F(X1，X2L,Xn)=HF(Xi)；i -4n(1)设总体 X X 的概率密度函数为 f f (X X),则样本的联合密度函数为f (X，

16、X2,，Xn) =H Hi=1n 设总体 X X 的概率函数为p(X), (X =0,1,2,)，则样本的联合概率函数为p(X,X2,，Xn)=n)=n p(Xi)；i 4、统计量1.定义不含总体分布中任何未知参数的样本函数g(X1,X2,Xn)称为统计量，g(X1,X2,，Xn)是g(X,X2,Xn)的观测值.注：(1)统计量g(X1,X2，,Xn)是随机变量；(2) 统计量 g(Xi,X2，Xn)不含总体分布中任何未知参数;样本 k k 阶中心矩 Uk=】 (Xi-X)k,(k =1,2，)其观测值. 1样本 k 阶原点矩Vk=-Xjk,(k =1,2，)与总体 k 阶原点矩E(Xk),(

17、k=1,2，)；样本 k 阶中心矩UI (XiX)k,(k=1,2，)与总体 k 阶原点矩EX E(X)k,(k=1,2,).前者是随机变量，后者是常数n 3IO(3)统计量的分布称为2.常用统计量抽样分布.(1)样本矩：样本均值X =W Xi ；n7其观测值X=L Xi.nid可用于推断：总体均值E E(X X).c1n样本方差S2= 寸n -1i注(Xi-X)2X2i-nX2);其观测值s2n -1n(Xi=1-x)21n -122为FX可用于推断：总体方差D D(X).样本标准差S = . S2n1二一(Xin一1 II 1i注-X)n1n22芝Xi2-nX2J其观测值n样本 k k 阶

18、原点矩 Vk= Xjk,(k=1,2，)ni其观测值Vkn1 k二一 Xini4注：比较样本矩与总体矩，如样本均值X和总体均值 E E(X);X);样本方差S2与总体方差以为；(2)样本矩的性质10设总体 X 的数学期望和方差分别为EX =H,DX=b2,X,S2为样本均值、样本方差，则c -n -12. o O1oE(X)=；2oD(X)= I-2;3oE(S2)=c2.n3.抽样分布：统计量的分布称为抽样分布三、3 大抽样分布1.乂2分布: 定义.设Xi,X2，Xk相互独立，且Xi N(0,1), i =1,2，,k，则 72=Xi2+X2 + +X2 72(k) 注：若X N(0,1),

19、则X2X2(1).(2)性质(可加性)设新2和器相互独立，且 匕2 72),7；72(k2),则好+财K2(k1+k2).(2)性质.设XF(k，k2),则1/XF(k2,k).四、分位点定义：对于总体 X X 和给定的a(0ct 1)，若存在乂口，使得P(X芝乂营)=口则称注：常见分布的分位点表示方法(1)/2(k)分布的a分位点7：(k);(2) t(k)分布的a分位点(k),其性质:1(3)F#(k1,k2),分布的a分位点F(k1,k2),其性质F1q(k1,k2)=-；顷2,3(4) N(0,1)分布的ot分位点u,有P(X芝uQ =1 P(XuQ =1中(uQ,第六章参数估计-、点

20、估计：设(X，X2，,Xn)为来自总体 X 的样本，6 为X 中的未知参数，(X1，X2，,Xn)为样本值，构造某个统计量&X，X2，Xn)作为参数8的估计，则称做 X，X2，Xn)为，的点估计量,。(.，X?劣)为8的估计值.2.常用点估计的方法：矩估计法和最大似然估计法二、矩估计法1. 基本思想：用样本矩(原点矩或中心矩)代替相应的总体矩2. 求总体 X 的分布中包含的 m 个未知参数,&，,确的矩估计步骤： 求出总体矩，即 E(Xk)或 EXE(X)k,k=1,2，； 用样本矩代替总体矩，列出矩估计方程:1ZXik=E(Xk)或 1Z (XiX)k=EX E(X)k,k=

21、1,2，n . n .顼i1i J解上述方程(或方程组)得到 q q, ,% %岛的矩估计量为： 岛=d(X1,X2,， Xn), i=1,2， ， m %携,的矩估计值为:耳=g(x1,X2， ，xn), i =1,2，,m3.矩估计法的优缺点：设 X X 与 Y Y 相互独立，且 X N(0,1), YX2(k)，贝U t =t(k).,Y/k注：t t 分布的密度图像关于 t t=0 对称；当 n 充分大时，t 分布趋向于标准正态分布3. F F 分布： 定义.设 X X 与 Y Y 相互独立，且 XX X2 2(k1), 丫7 72 2(k2),则=/*Y/k22. t t 分布:N(0,1). Fl).XQ为 X 分布的 a a 分位点。t1_：.(k) - -t：.(k);11优点：直观、简单；只须知道总体的矩，不须知道总体的分布形式.缺点：没有充分利用总体分布提供的信息；矩估计量不具有唯一性；可能估计结果的精度比其它估计法的低三、最大似然估计法1. 直观想法：在试验中，事件 A 的概率 RA）最大，则 A 出现的可能性就大；如果事件A 出现了，我们认为事件A的概率最大.2. 定义 设总体X的概率函数或密度函数为p（x,e）（或f（x,a），其中参数 e e 未知，贝uX的样本（x1,x2，xn）的联合概率函数（或联合密度函数）L（H）