第3章 随机信号分析

1、第三章第三章 随机信号分析随机信号分析 n随机过程随机过程n平稳随机过程平稳随机过程n噪声噪声n随机过程通过系统随机过程通过系统 3.1 3.1 随机过程随机过程 n通信过程就是信号和噪声通过系统的过程。n通信中信号特点：具有不可预知性随机信号。n通信中噪声特点：具有不确定性随机噪声。n统计学上：随机过程。一、基本概念二、统计特性 一、基本概念n随机变量n定义n分布函数n概率密度函数n二维随机变量n随机变量的数字特征n数学期望n方差n协方差n矩基本概念（续）n随机过程设E是随机试验，S=e是其样本空间，如果对于每一个eS，有一个时间t的实函数(e,t) t T与之对应，于是对于所有的eS，得到

2、时间t的函数族。该族时间t的函数称为随机过程，族中每个函数称为这个随机过程的样本函数。 (t)=x1(t),x2(t),xn(t), x1(t),x2(t),为样本函数基本概念（续）n随机过程的一个实现每一个实现都是一个确定的时间函数，即样本。随机过程其随机性体现在出现哪一个样本是不确定的。n随机过程没有确定的时间函数，只能从统计角度，用概率分布和数字特征来描述。x1(t)x2(t)xn(t)ttt样本空间S1S2Sn(t)tk基本概念（续）二、统计特性n概率分布n数学期望n方差n协方差函数n相关函数1. 概率分布n随机过程(t) 在任一时刻t1的取值是随机变量，则随机变量(t1)的取值小于等

3、于某一数值x1的概率为随机过程(t)的一维概率分布函数： 11111( , ) ( )F x tPtx概率分布(续)随机过程(t)的一维概率密度函数： 1111111),(),(xtxFtxf12121122( ,; ,) ( ), ( )( )nnnnnF x xx t ttPtxtxtxnnnnnnnnxxxtttxxxFtttxxxf2121212121),;,(),;,(随机过程(t)的n维概率分布函数和n维概率密度函数分别是：2.数学期望 1 ( )( , )( )Etxf x t dxa t物理意义：表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心（平均值） 3. 方差 22( ( ) (

4、 ) ( )( )DtEtEtt物理意义：表示随机过程在某时刻t的取值（随机变量）相对于该时刻的期望a(t)的偏离程度 4. 自相关函数 1212122121212( , ) ( ) ( )( ,; , )R t tEttx x fx x t t dx dx 物理意义：表示随机过程在两个时刻的取值的关联程度， (t)变化越平缓，两个时刻取值的相关性越大，R值越大 5.自协方差函数 12112211222121212( , ) ( )( ) ( )( ),; ,B t tEta tta txa txa tfx x t tdx dx 物理意义：表示随机过程在两个时刻间的线性依从关系 6.互协方差及

5、互相关函数 1212122121212( , ) ( ) ( )y( ,y ; , )yRt tEttxfxt t dx d 121122( , ) ( )( ) ( )( )Bt tEta tta t3.2 平稳随机过程平稳随机过程n定义n各态历经性n自相关函数n功率谱密度一、定义n若随机过程的n维概率分布函数Fn ()和n维概率密度函数fn ()与时间起点无关，则为平稳随机过程 n严平稳过程，狭义平稳过程12121212,.,; , ,.,.,;,.,nnnnnnfx xx t ttfx xx ttt定义（续）n一维分布与t无关：n二维分布只与有关n统计特性与时间起点无关n依据数字特征定义

6、n广义平稳过程a (t)a;2(t) 2; R(t1,t2)R() 二、各态历经性设x (t)是(t)的任一实现，(t)的统计平均= x (t)的时间平均 22)(1limTTTdttxTaa22222)(1limTTTdtatxT22)()(1)()(limTTTdttxtxTRR 意义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此， 只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征， 从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。 平稳随机过程的自相关函数n以相关函数表示随机过程的物理特性(t)的平均功率：S = E 2(t) = R(0)(t

7、)的直流功率：a2 = E2 (t) = R()(t)的交流功率：2 = R(0) - R() R Ettn相关函数其他性质R()=R(-)| R()|R(0)平稳随机过程的功率谱密度n功率谱特性(t)的功率谱：( )( )jPR ed)()(RP即： (t)的平均功率：dPS)(21即：平均功率=功率谱曲线下的面积 例题n求随机相位正弦波(t)=Asin(w0t+)的自相关函数和功率谱密度,在(0, 2)内均匀分布。n解： n证明(t)是广义平稳过程n求自相关函数n功率谱密度n平均功率cARcos2)(2)()(2)(2ccAP2)(21)0(2AdPRS3.3 噪声噪声 n噪声种类n高斯白

8、噪声n随机过程通过线性系统n窄带噪声n正弦波加窄带噪声一、噪声种类单频噪声 脉冲噪声 起伏噪声 热噪声 散弹噪声 宇宙噪声 二、高斯随机过程-高斯白噪声n高斯随机过程 n时域特性n频域特性高斯白噪声时域特性n高斯过程重要性质n广义平稳n高斯过程中不同瞬间得到的随机变量之间，互不相关和相互独立等价n高斯过程通过线性系统，其输出仍是一个高斯过程n平稳高斯过程，数学期望和方差都是常数高斯白噪声时域特性 (续)1. 一维高斯分布 随机变量，若概率密度函数为 则称服从高斯分布（正态分布） 2)(exp21)(22axxf，的分布函数： axdzzfxFx)()(f (x)12Oax高斯白噪声时域特性 (

9、续)2. 性质n 对称为x=an 在 单调升，在 单调下降n面积n 不变，不同的a值，表现为图形平移na不变，不同的 值，表现为随 减小，图形变高变窄，随 增大，变低变宽n归一化 a=0, xfa , a xf 122dxxfdxxfdxxfaa1 2221-xexf高斯白噪声时域特性 (续)3.几个函数的定义 概率积分函数： dzzxx)2exp(21)(2误差函数： dzexerfzx202)(互补误差函数： 22( )1( )2 ( 2 )zxerfc xerf xedzQx Q函数： dzzxQx)2exp(21)(2高斯白噪声时域特性 (续)n随机过程(t)，在任一时刻的取值（随机变

10、量）都符合高斯分布，则称(t)服从高斯分布。其n维概率密度函数为： 各种起伏噪声，在任一时刻，噪声的振幅都符合均值a=0的高斯分布，故称为高斯噪声。 njnkkkkjjjjknnnnnaxaxBBBtttxxxf112/1212/2121)(21exp.)2(1),.,.,(；高斯白噪声频域特性n频域特性近似白噪声近似白噪声 白噪声：白噪声：功率谱密度在整个频域内都均匀分布通信系统中的起伏噪声，在相当宽的频域内具有平坦的功率谱，故近似认为是白噪声。 双边功率谱密度函数为：Pn()=n0/2(W/Hz)n0/2fn00Pn（f）Pn（f）单边功率谱密度函数为：Pn()=n0(W/Hz)高斯白噪声

11、频域特性 (续)n白噪声的自相关函数为： 仅在=0时，R() 0，说明白噪声在任意两个时刻上的取值都是不相关的。 )(2)(0nR，P()0f0n02n02R三、随机过程通过系统三、随机过程通过系统 1、随机过程通过线性系统2、随机过程通过乘法器 1、随机过程通过线性系统)()()(thttio随机过程i(t)通过线性系统h (t)，其输出也是随机过程， 输入信号 输出信号 系统 o (t) Po() h(t) H() i(t) Pi() 随机过程通过线性系统(续)n性质：若i(t)是平稳随机过程，则 1.期望：Eo(t) = Ei(t) H (0)与t无关 2.自相关函数：Ro(t, t+)

12、 = Ro() 与t无关 3.功率谱密度函数： 2)()()()(HPdeRPiojo4.概率分布：若i(t)是高斯型的，经过线性系统 后的o(t)也是高斯型的。 四、窄带随机过程-窄带噪声 n定义 表示法1：( )( )cos( )cta ttta (t) 对应信号的包络，(t)对应信号的相位，c=2fc 窄带信号的中心频率（载频） 窄带随机过程的频谱和波形示意定义(续)表示法2：( )( )cos( )sinccscttttt( )( )cos( )cta tt( )( )sin( )sta tt同相分量 正交分量 时域分析n 的实现n关于 ,n 和 的均值都为0n 和 的自相关只与时间

13、有关n 、 的方差= 的方差n同一时刻得到的 和 不相关 ct st ct st st ct ct st st t ct ct st时域分析(续) ct st t窄带噪声可由高斯白噪声经过窄带滤波器得到。 窄带噪声的 、 、 都是均值a=0的平稳高斯白噪声； 、 、 的平均功率（方差）相同，为 t ct st2时域特性n , , 都是均值为0的平稳高斯过程n , , 的方差相同n 包络 的一维分布符合瑞利分布n相位 的一维分布符合均匀分布222()exp()2aaf a t t1()2f t ct st ct st at t)()(),(fafaf频域特性n带通白噪声（窄带高斯白噪声）n同相、

14、正交分量为带限白噪声（低通型噪声）频域特性(续)Pn(f)R()fOOfH-fHn0212fH-12fH低通白噪声 002()0sin 22HnHHHnffpffRn ff其他频域特性(续)带通白噪声 0002()220sincos 222ccncBBnfffpfBRn BfBnBfA其他等效带宽n由于 不理想，引入等效带宽的概念窄带噪声功率谱密度为： 20)(2)(HnPnPn() 在0处有最大值Pn(0) 定义：等效带宽 Bn = n/2 )()()(2)(000nnnnnPdPPdP H等效带宽 (续)n物理意义：使用等效带宽的概念，可以认为窄带噪声功率谱Pn()在带宽Bn内是平坦的，等于Pn(0) 五、正弦波加窄带噪声 1.时域特性 合成信号 )()cos()(tntAtrcttnttntncsccsin)(cos)()(22)(sin)(cos)(tnAtnAtzsc包络 符合广义瑞利分布 220222( )exp ()2nnnzzAAzf zI其中,I0(x)为0阶修正贝塞尔函数 正弦波加窄带噪声(续)2.频域特性窄带白噪声加线谱 总结总结确知信号的分析确知信号的分析时域时域频域频域 信号通过线性系统信号通过线性系统 信号调制信号调制TwFwPTT2| )(|)(lim时间函数f(t) 频谱密度函数F(w)频谱函数相关函数R() 功