降次——解一元二次方程（第1课时）

1、教学设计（庐江县汤池镇中学 刘敏芳）课题： 降次解一元二次方程 （第1课时） 配方法教材： 义务教育教科书数学九年级（上册）（人民教育出版社）课型： 新授课教学目的：1、让学生理解解一元二次方程的基本思想.2、使学生掌握直接开平方法，配方法，并能解一些简单的一元二次方程.教学重点：用直接开平方法、配方法解一元二次方程.教学难点：解一元二次方程的基本思想、如何配方.教学方法：探究法.教具准备：用PowerPoint2003制作幻灯片.教学过程：一、教师引导、学生回忆.(幻灯片一) （打开幻灯片先显示题目，待学生回答后再添加答案）1、 什么叫做整式方程？试举两例.2、 什么样的方程叫做一元一次方程

2、？3、 什么样的方程叫做一元二次方程？4、 说明一元一次方程与一元二次方程的相同点与不同点.5、 一元二次方程的一般形式是什么？其中字母a应具备什么条件？二、解一元二次方程的基本思想(幻灯片二)一元二次方程-降次-一元一次方程 教师指出：在七年级（下）我们学过解二元一次方程组，它的基本思想是“消元”，使二元一次方程转化为一元一次方程.而解一元二次方程的基本思想是“降次”，把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.“消元”和“降次”都是数学转化思想的主要应用，数学思想与数学方法是解决数学问题的“魂”，我们在掌握基础知识的同时，更要体会数学思想与方法的应用.从这节课开始，我们将围绕“降次”这一基本思

3、想，介绍四种解一元二次方程的方法.板书课题：降次解一元二次方程三、直接开平方法问题1 一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？教师引导、学生分析：(幻灯片三)（1）设正方体的棱长为Xdm，那么根据题意所得的方程是什么？（ 10×6X2 1500 ）（2）化简得，X2 25 ，问：如果一个数的平方等于25，那么这个数X叫做25的什么？一个正数的平方根有几个？求一个数的平方根的运算叫做什么？（3）我们知道：X ± . X ±5 . X1 5 ，或X2 5 .（不合题意，舍去）.答（略

4、）.请你猜想：一元二次方程如果有实数根，那么它有几个实数根？怎样表示？思考1：怎样解下例方程 （2X1）2 5 （学生先解，教师规范解题格式.）解： 2X1 ±. 2X1 , 2X1 . X1 , X2 . X2 6X 9 2 问：此方程的左边不是完平方式怎么办？（学生自己完成）教师指出：1、上述方法实质上就是把一个一元二次“降次”，转化为两个一元一次方程.2、一般地，运用平方根的定义直接开平方求出一元二次方程的解的方法，叫做直接开平方法.3、归纳 如果方程能化成 X2 = P 或（mX + n）2 = p (p0)的形式，那么可得 X = ±或 mX + n = 

5、7;.学生总结:用直接开平方法解一元二次方程的步骤是:(学生回答，教师用幻灯片四显示)（1） 把常数项移到等式的右边.（2） 左边配成完全平方式.（3） 写成（mX + n）2 = p (p0)的形式.（4） 直接开平方，写出方程的解.课堂练习: 练习(1)(3)(5).四、配方法问题2 要使一块矩形场地的长比宽多6 m,并且面积为16 m2,这块场地的长和宽各是多少?教师提问:(1)设场地宽为Xm ,那么长为(X + 6)m ,根据题意得到的方程是什么?(幻灯片五) X (X + 6) = 16 , 即 X2 + 6X 16 = 0 .(2)(P37)思考2 怎样解方程 X2 + 6X 16

6、 = 0 ?如果用直接开平方法解此题,那么方程的左边应是什么形式?方程右边的数有什么要求? (幻灯片六) 因为X2 = -8 不符合题意,应舍去.所以场地宽为2m ,长为8m .(3)讨论:为什么在方程X2 + 6X = 16的两边加上9 ?加其他数行吗?教师指出:(1)通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法.(2)配方法的关键是方程的两边同时加上一次项系数一半的平方.(3)切记:只有在二次项系数为1的情况下才能配一次项系数一半的平方.教师引导、学生自主练习.1、填空: (幻灯片七)(1) X2 - X + ( ) = (X - )2 .(2) X2 + X + ( ) =

7、(X + )2 .2、模仿幻灯片六,解方程 X2 -8X + 1 = 0 .(教科书例题)(待学生做完后,用幻灯片八帮助学生规范解一元二次方程的格式)(幻灯片八) 解: 移项,得 X2 8X = -1 .(要求分步骤显示) 配方,得 X2 8X + 42 = -1 + 42 . (X 4)2 = ±. X1 = 4 + ,X2 = 4 - .(3)自主探究,解下例方程 (教科书例题) 2X2 + 1 = 3X ; 3X2 6X + 4 = 0 .教师启发学生:这两个方程的二次项系数都不是1 ,你能运用数学上的化归思想把方程中二次项系数化为1吗?试试看,要自信.(待学生做完后,用幻灯片

8、九帮助学生规范解一元二次方程的格式)(幻灯片九) 解: 移项,得 2X2 3X = -1 .(要求分步骤显示) 二次项系数化为1,得 X2 - X = - . 配方 X2 - X + ()2 = - + ()2 . ( X - )2 = . X - = ± X1 = 1 ,X2 = .解: 移项,得 3X2 6X = -4 .(要求分步骤显示) 二次项系数化为1,得 X2 - 2X = - . 配方 X2 - 2X + 12 = - + 12 . ( X -1 )2 = - .因为( X -1 )2 0 , 而 - 0 .所以原方程无实数解.课堂练习:练习1(1)(3), 2(2)(4).展示学生练习，肯定学生能力,找出不足之处,提出改进办法.学生交流总结:1、解一元二次方程的基本思想是什么？为什么?答: 是降次，这样能使解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题.2、用配方法解一元二次方程的步骤是什么?(学生回答，教师逐条用幻灯片十来显示)(1)移项,使含有未知数的项在方程的左边,常数项在方程的右边.(2)二次项系数化为1.(3)在方程的两边配一次项系数一半的平方.(4)写成(aX + b)2 = C 的形