量子统计南大ppt课件

1、 第八章、玻色统计和费米统计(一一)、热力学量的统计表达式、热力学量的统计表达式1eMB 分布分布1; 1ee那么量子效应就必需思索，那么量子效应就必需思索，需求用量子统计需求用量子统计1leall：玻色分布：费米分布我们引进巨配分函数我们引进巨配分函数：llle1lnln 1llle lnllN ， ，y的函数的函数取对数：取对数：平均粒子数：平均粒子数：ln11yyeyYlllllllln1llllllleU总能量：总能量：外界对系统的广义力：外界对系统的广义力： 利用上述公式得到：利用上述公式得到：dyydddlnlnlnlnNddYdydUlnlnln对于一个孤立的系统，粒子数目的变化

2、为零，有：对于一个孤立的系统，粒子数目的变化为零，有：lnlnln0dYdydUNddSdQT1lnlnlnddQ根据热力学第二定律：根据热力学第二定律：TkB1lnlnlndkdSlnlnlnkS根据ln 的定义，以及最可几分布给出的参数间的关系，可以得到玻尔兹曼关系式：，其中我们曾经取积分常数为零。lnkS对于一个开放的系统，粒子数目的变化不为零，有：对于一个开放的系统，粒子数目的变化不为零，有：在热力学中，我们知道：在热力学中，我们知道：kTkT ;1lnlnlndkdS。lnkSNddYdydUlnlnlnlnlnlndNdYdydUdSNdYdydUT1lnlnlnkS对于服从玻色、

3、费米分布的系统，只需求出了系对于服从玻色、费米分布的系统，只需求出了系统的巨配分函数的对数统的巨配分函数的对数ln ，就可以求出系统的，就可以求出系统的平均粒子数、内能、物态方程、熵等，从而确定平均粒子数、内能、物态方程、熵等，从而确定系统的一切的平衡性质。系统的一切的平衡性质。 ln 是以是以 ， ，y对对应简单系统，即：应简单系统，即： T，V， 为自然变量的特为自然变量的特征函数。热力学中知道，这种系统的特征函数是征函数。热力学中知道，这种系统的特征函数是巨热力势巨热力势JUTS N。这样，我们得到巨热。这样，我们得到巨热力势用力势用ln 表示的方式：表示的方式： 。所以：知道粒子的能级

4、和简并度，就可以求出一所以：知道粒子的能级和简并度，就可以求出一切的热力学函数，确定系统的平衡性质：切的热力学函数，确定系统的平衡性质：lnkTJlnNlnUln1VPlnkTJlnlnlnkS(二二)、弱简并的玻色和费米气体、弱简并的玻色和费米气体我们知道，普通气体满足经典极限条件，可以用玻我们知道，普通气体满足经典极限条件，可以用玻尔兹曼分布处置。这种气体称为非简并性气体。需尔兹曼分布处置。这种气体称为非简并性气体。需求利用玻色和费米分布讨论的气体称为简并气体。求利用玻色和费米分布讨论的气体称为简并气体。首先，讨论弱简并的玻色、费米气体的特性。首先，讨论弱简并的玻色、费米气体的特性。为了简

5、单，不思索分子的内部构造。只需平动自在度，为了简单，不思索分子的内部构造。只需平动自在度，分子的能量为：分子的能量为： 。在体积在体积V内，在能量从内，在能量从 到到 d 的范围内，分子能够的的范围内，分子能够的形状数目为：形状数目为：22221zyxpppm dmhVgdD2/12/3322g为粒子的自旋自为粒子的自旋自在度引入的简并度在度引入的简并度02/12/33122demhVgN系统的总分子数满足：据此可以求出系数系统的总分子数满足：据此可以求出系数 。02/32/33122demhVgUx系统的内能系统的内能U为：为：两个被积函数的分母可以写成：两个被积函数的分母可以写成：令：令：

6、在在e 1的情况下，的情况下， e- -x是是一个小量，因此可以将右式一个小量，因此可以将右式中括弧内的项展成级数。只中括弧内的项展成级数。只取前两项，有：取前两项，有：xxxeee1111xxxeee111eehmkTgkTVU2/52/32211223eehmkTgVN2/32/322112两式相除得到右式：两式相除得到右式：eNkTU241123上式中第一项为哪一项根据玻尔兹曼分布得到的内能；第二上式中第一项为哪一项根据玻尔兹曼分布得到的内能；第二项是在思索弱简并情况下，由微观粒子的全同性原理引起的项是在思索弱简并情况下，由微观粒子的全同性原理引起的粒子统计关联所导致的附加内能。值得留意

7、的是：该附加内粒子统计关联所导致的附加内能。值得留意的是：该附加内能对玻色气体为负；对费米气体为正。可以以为：粒子的统能对玻色气体为负；对费米气体为正。可以以为：粒子的统计关联使得费米粒子出现排斥作用，玻色粒子出现等效的吸计关联使得费米粒子出现排斥作用，玻色粒子出现等效的吸引作用。引作用。eNkTPV2411UPV32(三三)、玻色爱因斯坦凝聚、玻色爱因斯坦凝聚前面讨论过非简并和弱简并玻色气体的情况。如今我们讨论前面讨论过非简并和弱简并玻色气体的情况。如今我们讨论简并理想玻色气体的情况以及其在动量空间中的凝聚景象。简并理想玻色气体的情况以及其在动量空间中的凝聚景象。为了简单，假设粒子的自旋量子

8、数为零，根据玻色分布，有：为了简单，假设粒子的自旋量子数为零，根据玻色分布，有：1leallkTkT ;1由于处在恣意能级上的粒子数由于处在恣意能级上的粒子数目不能为负数。所以：目不能为负数。所以：01expkTalll00l理想玻色气体的化学势必需低于粒子最低能级的能量。理想玻色气体的化学势必需低于粒子最低能级的能量。假设假设粒子的最低能级基态能量假设假设粒子的最低能级基态能量0，那么有：那么有： 0，可以求出：，可以求出：nVNkTVlll1exp1化学势化学势为温度为温度T和粒子和粒子数密度数密度n的函数。的函数。化学势化学势为温度为温度T和粒子数密度和粒子数密度n的函的函数。在粒子数密

9、度数。在粒子数密度n不变的情况下，温不变的情况下，温度越低，化学势越高。度越低，化学势越高。nkTdmh02/12/331exp22假设上式可以用积分替代，那么有：假设上式可以用积分替代，那么有：化学势随着温度的下降而上升。当温度趋于化学势随着温度的下降而上升。当温度趋于某一临界温度某一临界温度Tc时，化学势将趋于零假设时，化学势将趋于零假设基态能量基态能量0。nkTdmhc02/12/331/exp222/323/23/52nmkTc当温度降低到临界温度当温度降低到临界温度Tc时，时，临界温度临界温度Tc由下式计算：由下式计算：00粒子能级T， 这阐明，在利用积分式求化学势这阐明，在利用积分

10、式求化学势时，当温度低于时，当温度低于Tc后，我们不能够获得负的化学势。这显然与理想玻色后，我们不能够获得负的化学势。这显然与理想玻色气体的化学势一直为负值相矛盾。气体的化学势一直为负值相矛盾。式中，实践上基态能量式中，实践上基态能量0的能级的能级的奉献被忽略了。在温度足够高时，的奉献被忽略了。在温度足够高时，问题不大。由于基态上的粒子数目问题不大。由于基态上的粒子数目很小。很小。nkTdmh02/12/331exp22在低温情况下，粒子将尽能够占据能量低的能级。由在低温情况下，粒子将尽能够占据能量低的能级。由于玻色子在能级上的占据数目不受限制，因此在温度于玻色子在能级上的占据数目不受限制，因

11、此在温度趋于绝对零度时，基态上的粒子数目将会很大。因此趋于绝对零度时，基态上的粒子数目将会很大。因此不能忽略。在不能忽略。在TTc时，有：时，有：nkTdmhTn02/12/3301/exp22)(第一项为基态的奉献；第二项第一项为基态的奉献；第二项为激发态的奉献。计算中取为激发态的奉献。计算中取 =0。首先我们计算在首先我们计算在TTc时激发态对粒子数密度的奉献时激发态对粒子数密度的奉献n。2/302/12/3301/exp22cTTnkTdmhn那么基态对离子数密度的那么基态对离子数密度的奉献为：奉献为：2/3001)(cTTnnnTn这阐明，在这阐明，在TTc时，玻色粒子将在基态能级时，

12、玻色粒子将在基态能级0上凝聚。上凝聚。其粒子数密度其粒子数密度n0与总的粒子数密度与总的粒子数密度n具有一样的量级。这一景具有一样的量级。这一景象称为玻色爱因斯坦凝聚象称为玻色爱因斯坦凝聚Bose-Einstein-Condensation)，温度温度Tc称为凝聚温度。凝聚在基态上的粒子的能量和动量均为称为凝聚温度。凝聚在基态上的粒子的能量和动量均为零、系统的熵也为零：动量空间的凝聚。零、系统的熵也为零：动量空间的凝聚。在在T0上的粒子的能上的粒子的能量和。量和。2/302/32/33770. 01/exp22cTTNkTkTdmhVU2/3925. 1cTVTTNkVUC定容热容量为：定容热

13、容量为：在在TkT，e0K时，有：时，有：温度不为零时，在与温度不为零时，在与相差相差kT量级的量级的范围内分布函数发生了变化。热激发范围内分布函数发生了变化。热激发将电子激发到能量稍高一些的能级上。将电子激发到能量稍高一些的能级上。 0FkT 2/10 2/1 12/1fff从图中看出，温度从图中看出，温度T下，同下，同0K时相比，只需在费米能级附近时相比，只需在费米能级附近的分布发生了改动。所以：只需费米能级附近的电子对热容的分布发生了改动。所以：只需费米能级附近的电子对热容量有奉献。量有奉献。粗略估计以下。假设对热容粗略估计以下。假设对热容量有奉献的电子数目为：量有奉献的电子数目为：Nk

14、TNeff利用能量均分定理，金属中自在利用能量均分定理，金属中自在电子对热容量的奉献为：电子对热容量的奉献为：FeffeVTTNkkTNkkNC232323在室温范围内，在室温范围内，T/TF1/260，所以，电子的奉献很小，可忽略。，所以，电子的奉献很小，可忽略。对自在电子气体的热容量进展定量计算。化学势由下式决议。对自在电子气体的热容量进展定量计算。化学势由下式决议。利用右式求出化利用右式求出化学势后，可以计学势后，可以计算系统的内能：算系统的内能：对于粒子数和内能分别为：对于粒子数和内能分别为：NkTdmhV02/12/331exp 2402/32/331exp 24kTdmhVU这两个

15、积分式子这两个积分式子可以写成：可以写成： 01exp kTdI 2/32/1 ;CC2/3324mhVCkTx令粒子数和内粒子数和内能分别为：能分别为：可以证明：可以证明： .6.12220020kTddxexkTdIx222/38132kTCNkTx有：kTdxdkTx222/585152kTCU3/2223/28123kTCN当T0K时，利用利用kT/(0)替代替代 kT/ ，有：，有： 0322423233/2223/22/ 333/2VNmmVhNCN 223/222012100810kTkT 2201251053kTNU系统的内能近似为：系统的内能近似为：热容量近似为：热容量近似为

16、： 022kTNkTUCVeVFeffeVTTNkkTNkkNC232323前面的粗略估计为：前面的粗略估计为：两者相差一个系数。两者相差一个系数。由于费米温度很高，在常温下电子对热容由于费米温度很高，在常温下电子对热容量的奉献可以忽略不计。但是当温度很低量的奉献可以忽略不计。但是当温度很低时，由于离子振动的奉献按照时，由于离子振动的奉献按照T3衰减，衰减，电子热容量不能忽略不计。以电子热容量不能忽略不计。以Cu为例，为例，D345K，TF7.8X104 K。 022kTNkTUCVeV34543DiVTNkC单位时间内，碰到单位面积的金属外表上，动量在单位时间内，碰到单位面积的金属外表上，动量在dpxdpydpz范围内的电子数目为：范围内的电子数目为：满足满足x的电子可以摆脱的电子可以摆脱金属的束缚到达金属外。发金属的束缚到达金属外。发射电流为：射电流为：12222213zyxpppmzyxxxedpdpdpvhdnv1222213zyxppmzyxxedpdpdhdnv(六六)、热电子发射、热电子发射