平面向量的数量积（一）课件

1、平面向量的数量积（一）平面向量的数量积平面向量的数量积（一）如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为:表示力F的方向与位移S的方向的夹角。位移SOA问题情境FFSW=FW=FS SCOSCOS平面向量的数量积（一）平面向量的数量积学习目标：1、掌握平面向量的数量积的定义及几何意义2、掌握平面向量数量积的性质下面请同学们看课本并思考如下问题：平面向量的数量积（一）看课本116117页并思考如下问题：1、向量的夹角是如何定义（规定）的？2、向量的数量积如何定义，它与物理中力做功有什么联系？3、向量的数量积是向量吗？向量在方向上的投影是向量吗？4、平面向量的数量积有什么样的几何意义？平面

2、向量的数量积（一）1、向量的夹角 已知两个非零向量a和b，在平上任取一点O，作OA=a,OB=b,则 叫做向量a与b的夹角)1800(AOB(1)中OA与OB的夹角为0（2）中OA与OB的夹角为180（3）中OA与OB的夹角为AOB（当 时，a与b；当 时，a与b；当 时，a与b，记作）018090（4）中OA与OB的夹角为反向同向ba 垂直指出下列图中两向量的夹角AOABBBB.AAOOO.（2）（4）（3）（1）平面向量的数量积（一）思考1：在平面向量的数量积定义中，它与两个向量的加减法有什么本质区别？向量的加减的结果还是向量，但向量的数量积结果是一个数量（实数）。（这个数量的大小与两个向

3、量的长度及其夹角有关）2、数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为 ，我们把数量叫做向量a与b的数量积（或内积）记作即 并规定 cosbabacosbaba00a平面向量的数量积（一）b bCOSCOS叫做向量b在向量a上的投影。1B)(1B1B（1）思考2：在下列各图中作出b bCOSCOS的几何图形，并说明它的几何意义是什么？OAB（2）abOAB（3）ababAO过b的终点B作OAa的垂线段 ，垂足为 ，则由直角三角形的性质得 =b bCOSCOS1BB1B1OB投影是向量吗投影是一个数值（实数），当为锐角时，它是正值；当为钝角时，它是负值。时时b bCOSCOS时时b bCOS

4、COS时时b bCOSCOS018090b bb b0平面向量的数量积（一）数量积ab等于a的长度aa与b在a的方向上的投影b bCOSCOS的积ab的几何意义：3、向量数量积的几何意义ab=aab bCOSCOSa ab bOBOB b bCOSCOS平面向量的数量积（一）4、向量数量积的性质设a a,b b都是非零向量，e e是与b b的方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则 (1)e ea a=_;a ae e=_ (2)a ab b_a ab b=0(3)当a a与b b同向时，a ab b=_ 当a a与b b异向时，a ab b=_ a aa a=_ (4) a ab _b _ a

5、ab b(5)cos _a aCOSCOSa aCOSCOSaab b-a-ab b2ababaab=aab bCOSCOSe ea a=a ae e=a aCOSCOS性质4平面向量的数量积（一）ab=aab bCOSCOS（1）若a=0a=0，则对任意向量b b，有a ab=b=0 （）（2）若a 0a 0，则对任意非零向量b b，有a a b b 0 ( )（3）若a 0a 0，且a ab b=0，则b=0 0 （）（4）若a ab b=0 ，则a=0a=0或b=0b=0 （）（5）对任意向量a a有 （）（6）若a 0a 0，且a ab= ab= ac c ，则b=c b=c （）5、

6、反馈练习:判断正误a a=|a|=|a|向量的数量积是向量之间的一种乘法，与数的乘法是有区别的平面向量的数量积（一） ,1:平行且方向相同与因为解BCAD.0的夹角为与BCAD91330cosBCADBCAD6 6、典型例题分析、典型例题分析92ADBCAD或 BCAD.1:,60DAB3,AD4,ABABCD,图求中，在平行四边形如 CDAB.2 DAAB.3ab=aab bCOSCOSBACD60平面向量的数量积（一） 且方向相反平行与,.2CDAB180的夹角是与CDAB16144180cosCDABCDAB162ABCDAB或 ,60.3的夹角是与ADAB120的夹角是与 DAAB62

7、134120cosDAABDAAB例题例题 CDAB .2 DAAB.3BACD60120进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角ab=aab bCOSCOS平面向量的数量积（一）24135钝角直角2323020254ab=aab bCOSCOS7、课时作业：1、已知|p p|8，|q q|6，p p和q q的夹角是60，求p pq q2、设|a a|12，|b b|9，a ab b ，求a a和b b的夹角3、已知 中，ABa a，ACb b 当a ab b0时， 是三角形； 当a ab b=0时， 是三角形4、已知|a a|6，e e为单位向量，当它们的夹角分

8、别为 45、90、135时，求出a a在e e方向上的投影5、已知 中a5，b8，C60，求BCCAABCABCABCABC作业5平面向量的数量积（一）8 8、总结提炼、总结提炼（1 1）本节课主要学习了平面向量数量积的定义、）本节课主要学习了平面向量数量积的定义、 几何意义及其性质几何意义及其性质（2 2）向量的数量积的物理模型是力做功）向量的数量积的物理模型是力做功（3 3） a ab b的结果是一个实数（标量）的结果是一个实数（标量）（4 4）利用）利用a ab=ab=ab bCOSCOS ，可以求两向量，可以求两向量 的夹角，尤其是判定垂直的夹角，尤其是判定垂直（5 5）两向量夹角的范

9、围是）两向量夹角的范围是（6 6）五条基本性质要掌握）五条基本性质要掌握 (7) (7) 德育与美育的渗透德育与美育的渗透1800ab=aab bCOSCOS平面向量的数量积（一）9、作业布置优化设计P82随堂训练1、4、6P83强化训练2、8平面向量的数量积（一）谢谢大家！谢谢大家！平面向量的数量积（一）1800或ab=aab bCOSCOS证明向量数量积性质4(4) a ab b aab b因为a ab=ab=ab bCOSCOS 所以aab =ab =ab bCOSCOS又又COSCOS1 1所以 a ab b aab b思考：在什么情况下取等号？返回练习平面向量的数量积（一）ab=aab bCOSCOS反馈练习（2）若a 0a 0，则对任意非零向量b b，有a a b b 0吗？分析：对两非零向量a、b ，当它们的夹角时a ab=b=090返回练习平面向量的数量积（一）反馈练习（6）若a 0a 0，且a ab= ab= ac c ，则b= c(b= c( ) )ab=aab bCOSCOS分析：由右图易知，虽然a ab= ab= ac c ，但