微积分地四章第三节课件

1、微积分地四章第三节1ln, arctan,sinxxdxxdxexdx定理1 设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续的导数,则udvuvvdu直接积分和换元积分法可以解决大量的不定积分的计算问题;但对形如等类型的不定积分,采用这两种方法却无法.换元积分法是在复合函数求导法则的基础上得到的,下面利用两个函数乘积的求导法则来推得分部积分法.证 由 d(uv)=vdu+udv, 得 udv= d(uv)vdu ,对此式两边同时求不定积分, 得4.3 4.3 分部积分法分部积分法微积分地四章第三节2而不定积分 易于计算,udvvdu则可采用分部积分公式,使计算大为简化.udvuvvduuv dxuv

2、vu dx注1:不定积分 不易计算,例1 求(1) ln(2)xdxarctgxdx解 (1) 设u=lnx,dv=dx,则v=x ,由分部积分公式得lnlnlnxdxxxxdx(2)arctanarctanxxxdx原式1lnlnxxxdxxxxCx2arctan1xxxdxx21arctanln(1)2xxxC微积分地四章第三节3(2). 要比 容易积出.( ) ( ).f x g x dxvduudv一般按“反对幂指三”的顺序,后者先凑入的方法确定u和v .注2:分部积分法是基本积分法之一,常用于被积函数是两种不同类型函数乘积的积分这类积分在具体计算过程中,如何正确地选定u和v却显得非常

3、重要.一般说来要考虑以下两点:(1). V要容易求得;例2 求cosxxdx cossinxxdxxdx解sinsinsincosxxxdxxxxC微积分地四章第三节4比原积分更难积出.例3 求下列不定积分(1)(2)arctanxxe dxxxdxxxxe dxxde(1)解21 (2)arctan2xdx原式否则若 2221coscoscossin222xxxxdxxdxxxdxxxxxxee dxxeeC221arctanarctan 2xxx dx2221arctan21xxxdxx222111arctan21xxxdxx21arctanarctan .2xxxxC微积分地四章第三节5

4、22ln(1)1xdxxxxx2(3) ln(1)xxdx22ln(1)ln(1)xxxxdxx解原式222212 1ln(1)1xxxxxxdxxx2221(1)ln(1)21dxxxxx1222ln(1)(1)xxxxC微积分地四章第三节61122lnln2 lnxdxxxdxxdxx解ln(4).xdxx2ln2lnxxxdx122ln2xxxdx练习：22(1)(2) (2)cosxx e dxxxdx2ln4.xxxC微积分地四章第三节7例4 求sinxexdx sinsinxxexdxxde解这是一个关于 的方程,移项并两边同除以2,得sinxexdx1sin(sincos )2x

5、xexdxexxC注:有些不定积分需要将积分的几种方法综合起来使用.sinsinxxexe dxsincosxxexexdxsincosxxexxdesincossinxxxexexexdx微积分地四章第三节83cos(2)sinxxdxx例5 求(1)xedx解 令2, ,2xtxtdxtdt则2tetdt原式2ttde22ttteeC22tttee dt22111csc2sin2xdxdxx 3sin sinxdxx解 原式221( csccsc)2xxxdx 21( csccot )2xxxC 22xxxeeC微积分地四章第三节9arcsin2arcsin(3)1xx edxxarcsi

6、narcsinarcsinxx edx解 原式arcsinarcsinxxdearcsinarcsinarcsinarcsinxxxeedxarcsinarcsinarcsinxxxeeC(4)设 f(x) 有连续的二阶导函数，求 1(2 ).(2 )2xfx dxxdfx解(2 ).xfx dx11(2 )(2 )22xfxfx dx11(2 )(2 )24xfxfxC微积分地四章第三节10sin xx( )xfx dx是f(x)的一个原函数, 求解 ( )( )( )xfx dxxf xf x dx又已知(5)已知sin xx是f(x)的一个原函数 1sin( )xf x dxCx即1co

7、ssinsin ( )()xxxxxfx dxC CCxx 2sincossin( )()xxxxf xxxcos2sinxxxCx微积分地四章第三节11一般一般可用分部积分法求积分的类型可用分部积分法求积分的类型: :( ),(sin,cos).kxu xdve dxdvaxdx dvaxdx0 01 1 若若被被积积函函数数是是幂幂函函数数与与指指数数函函数数或或三三角角函函数数的的乘乘积积, ,一一般般选选取取为为幂幂函函数数 将将指指数数函函数数或或三三角角函函数数凑凑微微分分即即或或2( ),( )ln ,arcsin ,arctan ,( )nu xu xxxxdvP x dx0 0若若被被积积函函数数是是幂幂函函数数与与对对数数函函数数或或反反三三角角函函数数的的乘乘积积, ,一一般般选选取取为为对对数数函函数数或或反反三三角角函函数数 将将幂幂函函数数凑凑微微分分即即3u xu x( )( ),0 0若若被被积积函函数数是是指指数数函函数数与与三三角角函函数数的的乘乘积积, ,即即可可选选取取为为指指数数函函数数, ,也也可可选选取取为为三三角角函函数数积积分分要要进进行行两两次次 出出现现循循环环方方程程. .微积分地四章第三节12()直接