导数及其应用

1、专题1函数与导数、不等式第4讲导数及其应用.瞄准高考一、导数的几何意义f'x0)是曲线y=f(x)在点(xo,f(xo)处的切线的斜率,曲线y=f(x)在点(xo,f(xo)处的切线方 程是 y f(xo)=fz x0)(x xo).For pers onal use only in study and research; not for commercial use二、导数运算1. 求导公式(1) C =0(其中 C 为常数);(2)( xn) = nxn 1(n Q) ； (3)(si n x) =cosx; (4)(cosx)= si nx; For pers onal use

2、only in study and research; not for commercial use11XX XX(5)(ln x) =-,(log ax) =-logae; (6)(e ) =e ,(a ) =a ln a.入入2导数的四则运算法则u v uv '(1)( u ±v) =u '泄；(2)( uv) =u'v+ uv (3) v = v(VM 0)三、导数的应用1利用导数判断函数的单调性：在某个区间内，如果f '刈>0(f'刈<0),那么函数f(x)在这个区间内单调递增(减)；如果f(x)在某个区间内是增(减)函数，

3、则导数f ' x) > f( x) w 0.)2求函数的极值.使f( x(=0的根x0不一定是极值点，还必须检验 f( x)在x=x0左右两侧的符号，若左正 右负则有极大值，左负右正则有极小值.3. 求函数的最值.连续函数在闭区间a,b上必有最大值、最小值，先求出使方程 f( x)=0的所有点的函数值，再与端点函数值比较，其中最大的一个为最大值 ，最小的一个为最小值.4. 禾U用导数综合研究函数的性质、函数的零点、方程的根、构造函数证明不等式 等问题.二.解析高考题型一导数的几何意义例 1 (2010 湖北卷)设函数 f(x)=1x3 |x2 + bx+ c,其中 a> 0

4、,曲线 y= f(x)在点 P(0,f(0) 处的切线方程为y=1.(1) 确定b、c的值；(2) 设曲线y=f(x)在点(X1,f(X1)及(X2,f(X2)处的切线都过点(0,2),证明：当X1枚2 时,f( x( f x(.【解答】(1)由 f(x)=3x3 22x2+ bx + c 得 f(0)= c,f( xO=x2 ax + b,f( (0=b.32又由曲线 y=f(x)在点P(0,f(0)处的切线方程为y=1,得f(0)=1, f( (0=0,故b=0,c=1.(2)址)=3 |x2 + 1,f( x)=x2 ax,由于点(t,f(t)处的切线方程为y f(t)=f( t(x t

5、),而点(0,2)在切线上，所以2 f(t)=f( t( t),化简得|t3 |t2 +仁0,即t满足的方程为|t3 ；t2+仁0.下面用反证法证明假设f ')<)=f( x2),由于曲线y=f(x)在点(X1,f(X1)及(X2,f(x2)处的切线都过点(0,2),则下列等式成立错误！由得 Xi + X2=a,由 得 x2 + X1X2 + x；=4a2,(4)222a23?32又 Xi + X1X2 + X2 = (xi + X2) XiX2=Xi + 訂a ,aa故由得Xi = 2，此时X2=2与Xi枚2矛盾，所以f 'x( # 'x(.【点评】 导数几何意

6、义的应用要注意抓住两点：一是切点处的导数就是切线的斜 率；切点坐标同时适合曲线方程和切线方程二是正确区分“过曲线上的点P的切线”与“曲线上的点P处的切线”两个不同的概念及相应不同的解法在以后的解题中，同学们应尽量避免审题和解题失误，以不变应万变，真正达到活学活用的目的.【变式】已知直线I与函数f(x)=lnx的图象相切于点(1,0)，且I与函数g(x)=1x2 + mx+7(m<0) 的图象也相切.则 m的值为.12【解析】/ f'x)=-，直线|是函数f(x)=lnx的图象在点(1,0)处的切线，X.其斜率为k=f' (=!,直线I的方程为y=x 1.fy= x i,i

7、 o9又因为直线I与g(x)的图象相切，由 1 27 ?示2 + (m i)x+ -=0,|y=?x + mx+ -22得 Z=(m 1)2 9=0? m= 2(m=4 不合题意，舍去).题型二利用导数探究函数的单调性2例2 (2009安徽卷)已知函数f(x)=x » a(2 ln x)a>0,讨论f(x)的单调性. X【思维启迪】确定定义域 t求导t对a进行分类讨论 t确定f 'x)的正、负.22 ax ax -P 2【解答】(1)f(x)的定义域是(0, + 0导函数f'x(=1 + -2 a=2.X 设 g(x)=x2 ax+ 2,二次方程 g(x)=0

8、的判别式 z=a2 8. 当 &0即0<a<2 2时,对一切>0都有f'x)>0.此时f(x)是(0, +上的单调递增函数. 当A=0即a=2 2时，仅对x= 2时,有f'x)=0,对其余的>0都有f'x)>0.此时f(x)也是(0, + R上的单调递增函数. 当A>0即 a>22时，方程 g(x)=0 有两个不同的实根a . a2 8 a + . a2 8X1=,X2=,0<X1 <X2.此时f(x)在(0,1)X1(X1,2)X2(X2,+ m)f')十0一0十f(x)极大值极小值a * a

9、0， 2a+ 丁- 8, + m上单调递增，在a+寸a - 8上单.2 丿调递减.【探究提高】 讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况，大多数情况下是归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应，千万不要忽方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的 视了定义域的限制.【变式】若函数g(x)=二匕，且在区间(2,3)上不单调，则实数k的取值范围是 十kee(x2 2x+ k)【解析】 因为g(x)=2，所以g' ()=2十卞,又g(x)在区

10、间(2,3)上不单调，故(x)=e寸：十k=0在区间(2,3)上有根，且不能有两个相等的根.(X 十 K)24 4+ k<0,令 g ' (x)=0,有 x2 2x+ k=0,则&解得3<k<0.9 6+ k>0.题型三利用导数求函数的极值和最值例 3 已知函数 f(x)=2ax2 2xsin2a和函数 g(x)=lnx,记 F(x)=f(x) + g(x).(1) 当a=；时,若 f(x)在1,2上的最大值是f(2),求实数a的取值范围;(2) 当a=1时，判断F(x)在其定义域内是否有极值，并予以证明；卄F(x)在其定义域内既有极大值又有极小值，试求

11、实数a的取值-% 2(3) 对任意的a 6， 3兀丿若范围.【解答】(1) %=刖寸,f(x)=2ax2 |x.3 当a=0时,f(x)= 2人不合题意；13 当a<0时,f(x)=故不合题意；(亠,却上递增,在養，+一3器，；T上递减,而【1,2? 2a，+2a13当 a>0 时,f(x)=2ax2在3OO ，2a13值是 maxf(1),f(2)=f(2)，所以 f(1)唄2),即歹一2W2 3,所以 a > 1.综上所述，实数a的取值范围是1, + o).1 2 2(2) 当 a=1 时,F(x)=2x 2xsin a+ Inx,定义域为(0, + O,1 2 2 2F

12、 'x)=x+ 2sin a-2sin a=2cos a0. 当cosa0时,F 'x)>0,F(x)在(0,+ O上单调递增，从而F(x)在其定义域内没有极值；1X 2 当 cos a=0 时,F 'x)=x + - 2= 一，令 F 'x)=0 有 x=1,但是 x (0,1)时,F 'x)>0,F(x)x单调递增，x (1,+ o寸,F '刈>0,F(x)也单调递增，所以F(x)在其定义域内也没有极值. 综上,F(x)在其定义域内没有极值.1 2 2 2(3) 据题意可知，令 F 'x)=ax+ - 2sin a=

13、0,即方程 ax 2xsin a+ 1=0 在(0, + o上恒有两个= 4sin4 a 4a>0,不相等的实数根.即sin2 a匚厂>0，在 ;3, +二上递增,f(x)在1,2上的最大恒成立,因为 a,sin a 2， 1 "，所以丄x变化时,f'刈,f(x)的变化情况一览表 ，这一点考生容易疏漏.0<咛.【点评】求函数的极值(最值),一般要列出当若不列表，则必须写清导数等于零的两侧导数值的符号【变式】设函数f(x)= 3x3 x2+ 2x .对于任意实数x 1,2,f(x)前恒成立，则m的最 小值为.【解析】令g(x)=3x3- ,2+ 2x,g

14、9;x)=x2 x+ 2>0恒成立.则g(x)在-1 , 2上单调递3 2增.即m的最小值为普.题型四导数的综合应用例4设函数f(x)=x3+ ax2 + bx(x>0)的图象与直线y=4相切于M(1,4).(1)求f(x)=x3+ ax2+ bx在区间(0,4上的最大值与最小值；是否存在两个不等正数s,t(s<t),当x s,t时函数f(x)=x3 + ax2 + bx的值域也是s,t?若存在,求出所有这样的正数s,t;若不存在，请说明理由；【解答】(l)f' x)=3x2 + 2ax+ b.依题意则有：所以所以 f(x)=x3 6x2 + 9x;1 + a+ b=

15、 4,3 + 2a + b = 0,a = 一 6解得<b = 9,f'x)=3x2 12x+ 9=3(x 1)(x 3),由 f'x)=0 可得 x=1 或 x=3.f x),f(x)在区间(0,4上的变化情况为:x0(0,1)1(1,3)3(3,4)4f'x)+0一0+f(x)0增函数4减函数0增函数4所以函数f(x)=x3 6x2 + 9x在区间0,4上的最大值是4最小值是0.由函数的定义域是正数知,s>0,故极值点(3,0)不在区间s,t上;若极值点 M(1,4)在区间s,t上,此时0<sw K t<，在此区间上f(x)的最大值是4,不可

16、能等于t,故在区间s,t上没有极值点；若 f(x)=x 3 6x2 + 9x 在s,t上单调递增，即 0<s<t wi或 3<s<t,=s,=t,s 6s?+ 9s= s, t3 6t2 + 9t= t,解得F=2,不合要求;t = 4,若f(x)=x6x2 + 9x在s,t上单调递减，即1<s<t<3,则丫=t,=s,两式相减并除以s t得：(s+1)2 6(s+1) st+ 10=0,两式相除并开方可得s(s 3)2=t(t 3)2,即s(3 s)=t(3 t),整理并除以s t得,s+ t=3,代入有st=1,与1<s<t<3矛

17、盾，不存在这样的正数s、t.【变式】第(2)问改为：设存在两个不等正数s,t(s<t),当 x s,t时，函数f(x)=x3+ ax2 + bx的值域是ks,kt,求正数k的取值范围.【解析】同(2),极值点(3,0)不可能在区间s,t上;若极值点 M(1,4)在区间s,t上,此时0<sw 1 w t<,30<s w 1 w t<30<s w 1 w t<3kt = 4,kt = 4,故有(i)$或(ii) pks=,ks=,s <f rIf s >f t .(i) 由 k=*1w t<3知,k 3, 4，当且仅当 t=1 时,k=4

18、;再由 k=(s 3)2,0<s wi知,k 4,9),当且仅当 s=1 时,k=4.由于sm,故不存在满足要求的k值.1 t I J t k(ii) 由 s=f(t)= f(t)= 2，及 0<swi可解得 2w t<3所以 k=；2w t<3知,k 3, 2 ;即当 k g, 2 时,存在 t=4 2,3),s=1f(tJ 叮 比(0,1,4且 f(s) >=Sf(t)>f(t),满足要求.若函数f(x)在区间s,t上单调递增，则 0<s<twi或 3<s<t,=ks且匸：,故s,t是方程X2 6x + 9=k的两根,=kt由于此

19、方程两根之和为3,故s,t不可能同在一个单调增区间内；=kt若函数f(X)在区间S,t上单调递减，则1<S<t<3,上',=ks两式相减并整理得s2(s 3)3=t2(t 3)2,由1<s<t<3知s(s 3)=t(t 3),即 s+ t=3,再将两式相减并除以s t得k=(s2+ st+12) 6(s+1) + 9=(s+1)2 6(s+1) + 9 st= st,即k=st,所以s,t是方程x2 3x + k=0的两根，令 g(x)=x2 3x + k,i = 9 4k>0 ,则g 1汕， 解得2<k<4,即存在s=3叮4k,s

20、=3 +律4k满足要求.1422,综上可得，当 4<k<9时，存在两个不等正数 s,t(s<t),使x s,t时屈数f(x)=x 3 6x2+ 9x的值34域恰好是ks,kt.三.感悟高考1 熟练记忆基本求导公式和函数的求导法则，是正确进行导数运算的基础.2. 解单调性的题目时要注意判断端点能否取到，用导数求单调函数的最值时要注意由极值到最值的过渡.3 本单元重点体现了函数思想及等价转化的思想，在学习过程中应用心体会利用导数解有关函数的单调性、极值、最值的问题是本节的主要题型，也是高考考查的重点，复习时应引起足够的重视.四备战高考1. 曲线y=x x3在点(一1,0)处的切线

21、与两正坐标轴所围成的图形的面积是.【解析】 C y =1 3x2,故曲线在点(1,0)处的切线斜率是 2,故其切线方程是 y= 2(x+ 1),令x=0,得y= 2.所围成的三角形的三个顶点坐标是(0,0),( 1,0),(0, 2),这个三角形的面积是 1.2. 已知全集 I=R,若函数 f(x)=x2 3x+ 2,集合 M=x|f(x) < 0N=x|f'x)<0,则 M Q (N)等于解析 由 f(x) w解得 1X2故 M=1,2 ;f 'x)<0,即 2x 3<0,即 x<|,故 n=(谒),？卜=3, + 7故 3M A?iN)=,2.

22、3. (2010 江西卷)若函数 f(x)=ax4 + bx2 + c满足 f' (1=2,则 f' 1)等于.解析由题意知f 'x)=4ax3+ 2bx,若 f' (=)2, 即 f' (1=4a+ 2b=2,从题中可知f'x)为奇函数，故f'1)= f' (1 4a 2b= 2,故选 B.4. (2010镇江模拟)设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时,f'x)g(x) +f(x)g'x)>0,且 g( 3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是解析 设F(x

23、)=f(x) g(x),由题意知F(x)是奇函数，所以F(x)的图象关于原点对称，由f'x)g(x) + f(x)g'x)>0 知,F ' x(>0,即当x<0时,F(x)是增函数.又T g( 3)=0,F(x)的图象大体如 图所示， f(x)g(x)<0 的范围为(一7 3)U (0,3).4.设a R,若函数y=ex+ ax,x R有大于零的极值点，则a的取值范围为.解析 T y=ex+ ax,. y'=ex + a.当a时,y不可能有极值点，故a<0.由ex+ a=0 得 ex= a, x=ln( a), x=ln( a)即为

24、函数的极值点， In( a)>0,即 ln( a)>ln 1, a<-1.1 25. 已知函数f(x)=2mx + In x 2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为 解析 f'x)=mx+ 20寸一切 x>0 恒成立,m (-)2 + 一，令 g(x)= (_)2 + 2,则当 -=1 时,xx xx xx函数g(x)取得最大值1,故m1.32” ，6. (2010扬州模拟)若函数f(x)=§x a x满足：对于任意的X1,X2 0,1都有|f(x1) f(x2)| <1恒成立，则a的取值范围是 .解析冋题等价于在0,1内f(x)maxf(

25、x)min<1'x)=X2a函数f(x)=§x'a?x的极小值点是x=|a|若|a|>1,则函数f(x)在0,1上单调递减，故只要f(0) f(1) <即可，即 a2<3,即 1<|a|务3;7.给出定义：若函数f(x)在 D上可导，即 f'x)存在，且导函数f'x)在D上也可导，则称f(x)在D 上存在二阶导函数，记f x)=(f' x)若f x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数.以 下四个函数：f(x)=sinx+ cosx;f(x)=lnx 2x;f(x)= x3 + 2x 1;f(x)=x

26、ex.在 亦 上不是凸函数的是. 【解析】若 f(x)=sinx + cosx,则 f" x)= sinx cosx,在 x 0, n上，恒有 f x)<0；若 f(x)=lnx 一c,则 f" x)= 1 在 x 0,扌上，恒有 f" x)<0；若 f(x)= x3 + 2x 1,则 f" x)= 6x,在 x 0, n 上，恒有 f x)<0 ；若 f(x)=xex,则 f" x)=(2+x)ex,在 x0,才上,恒有fx)>0,故不是.8.函数 g(x)=ax3 + 2(1 ajx2 3ax 在区间m, 3内单调递

27、减,则a的取值范围是【解析】 g(x)在区间一s，a内单调递减，二 g'x)=3ax2+ 4(1 a)x 3a 在30 a 一a3 4数值非正，由于a<0,对称轴x=3a>0，故只需g'3=§ +尹(1 a) 3a<Q注意到a<0, a2 + 4(1 a) 9>Q得a< 1或a>5舍去).故所求a的取值范围是(一壬一1.9. (2010 全国卷)设函数 f(x)=x(ex 1) ax2.1(1) 若 a=2,求f(x)的单调区间；(2) 若当x0寸,f(x) >求 a的取值范围.解 a=2 时,f(x)= x(ex 1)

28、扩，f'x)=ex 1 + xexx=(ex 1)(x+ 1).当 x (一1)时,f'x)>0 ； 当 x ( 1,0)时,f' x)<0 ;当 x (0,+ 时,f'x)>0.故f(x)在(十一1),(0, + s上单调递增，在( 1,0)上单调递减.(2)f(x)=x(ex 1 ax),令 g(x)=ex 1 ax,g' x)=ex a.若 a<1 则当 x (0,+ 1时,g'x(>0,g(x)为增 函数，而 g(0)=0,从而当 x0寸,g(x) >Q即 f(x) >0.若a>1,则当x (0,ln a)时,g'刈<0,g(x)为减函数,而 g(0)=0,从而当 x (0,ln a)时,g(x)<0,即 f(x)<0.综上,a的取值范围为(一8,1.2 2ax a + 1,.10. 已知函数 f(x)=x2 + 1 (x R),其中 a R.(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f( 1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的 面积；(2)当a0时，求函数f(x)的单调区间与极值.112x1【解答】 当a=0时,f(x)=x?轩,f( 1)=2,