第1章随机事件及概率5-6节

1、2021-12-231随机事件的独立性随机事件的独立性与伯努利概型与伯努利概型一、事件的相互独立二、伯努利概型基本内容：第五、六节第五、六节2021-12-232一、事件相互独立一、事件相互独立1. 问题的引入问题的引入设A，B是试验E的两事件，)()()|(BPABPBAP现比较P(A|B)与P(A). 一般地, P(A|B) P(A).只有 B的发生对的发生对A发生的概率无影响发生的概率无影响，才会有才会有P(A|B) =P(A),若P(B)0，可定义这时有)(ABP)(BP)(BP)|(BAP)(AP2021-12-233引例：引例：设Ai表示“第i次取得一等品”,).|()(122AA

2、PAP与)(1AP107)|(12AAP事件事件A1的发生并不影响事件的发生并不影响事件A2发生的概率大小发生的概率大小.)(2AP,107结果表明结果表明:.107设在10个元件中有7个一等品， 放回地连续抽取两次，每次抽取一个元件.分析：分析：由题意知试比较2221107)(AAP有),()|(212APAAP)()()(2121APAPAAP而2021-12-234注：注：对任意两个随机事件A与B,则称事件A与事件B相互独立相互独立 (简称为独立独立).P()P( )P( )ABAB 若2. 事件的两两独立事件的两两独立独立与BA01)()|(, 0)(APBAPBP若定义定义. .)(

3、)()(BPAPABP解释: A与与B相互独立，是指相互独立，是指A(或或B)的发生与的发生与B(或或A)的发生的概率无关的发生的概率无关.2021-12-2352o 独立与互不相容的关系它们是两个不同的概念，无必然的联系.(1) A与B相互独立：P(AB)=P(A)P(B)(2)A与B互不相容:AB意义：意义：A的发生与否对的发生与否对B的发生的的发生的(概率概率)无影响无影响.意义意义: A与与B不能不能同时发生同时发生, 是事件间本身的关系是事件间本身的关系.容易证明，若容易证明，若P(A)0, P(B)0, 则则A, B相互独立与相互独立与A, B互不相容不能同时成立的互不相容不能同时

4、成立的.2021-12-236性质性质:BA与与任何事件都独立.及不可能事件必然事件) 1 (2)(2)若事件若事件A与与B相互独立，相互独立，BA与也相互独立也相互独立.则下列各对事件则下列各对事件BA与推论：若推论：若 这四对事件中这四对事件中, ,只要有只要有一对独立，则其余三对也独立一对独立，则其余三对也独立. .BABABABA,;,;,;,2021-12-237,ABAAB)()()(BAPABPAP)(1)(BPAP只证事件从而由此得因为)(不相容与 BAAB)( BAP)()(ABPAP)()()(BPAPAP).()(BPAP证证(2):,BA与AB2021-12-238例例

5、1.1.一个家庭中有三个小孩, 假定生男孩和女孩是等可能的,A=“一个家庭中有男孩、又有女孩”B=“一个家庭中最多有一个女孩”讨论A与B的独立性？解：解： 有三个小孩的家庭的样本空间为女)女,(女,男),女,(女,女),男,(女,女),女,(男,男),男,(女,男),女,(男,女),男,(男,男),男,(男,2021-12-239男)女,(女,女),男,(女,女),女,(男,男),男,(女,男),女,(男,女),男,(男,A)男男,(女,男),女,(男,女),男,(男,男),男,(男,B于是,4386)(AP,2184)(BP83)(ABP(男)男,(女,男),女,(男,女),男,男,AB有)

6、.()(83)(BPAPABP因此事件A与B相互独立.2021-12-23103. 多个事件的独立性多个事件的独立性(1)(1)三个事件的独立性三个事件的独立性定义定义1. 设三个事件A、B、C， 如果满足下述等式P(AB)= P(A) P(B)P(BC)= P(B) P(C)P(AC)= P(A) P(C)则称事件A、B、C两两独立两两独立.2021-12-2311定义定义2.2.设三个事件A、B、C，如果满足下述等式P(AB)= P(A) P(B)P(BC)= P(B) P(C)P(AC)= P(A) P(C)P(ABC)= P(A)P(B)P(C)则称事件A、B、C相互独立相互独立.注：

7、注： 3个事件相互独立个事件相互独立3个事件两两独立个事件两两独立（两两独立）2021-12-2312 例例2:2:一个均匀的正四面体,其第一面染成红色，第二面染成白色,第三面染成黑色,而第四面同时染上红、白、黑三种颜色.现以A, B, C 分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，问 A，B，C是否相互独立?解解: 由于在四面体中红、白、黑分别出现两面, 因此因此,21)()()( CPBPAP又由题意知,41)(ABP伯恩斯坦反例伯恩斯坦反例)(BCP)(ACP2021-12-2313故有因此 A, B, C 不相互独立. ,41)()()(,41)()()(,41)()()(CPA

8、PACPCPBPBCPBPAPABP则三事件 A, B, C 两两独立.由于)(ABCP8141)()()(CPBPAP2021-12-2314(2) (2) n个事件的独立性个事件的独立性),()()(jijiAPAPAAP),3(,21nAAAn设n个事件若其中任意任意两个事件),1 (njiAAji与有则称这n个事件两两独立两两独立.定义定义1.2021-12-2315定义定义2.2.nnnnCCC3201) 11 (nnnCC ),3(,21nAAAn设有n个事件若其中任意任意k个事件个事件),2(,21nkAAAkiii有, )()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAA

9、P则称这n个事件相互独立相互独立.n个事件相互独立需要证多少个等式？12nn注：注： n个事件相互独立个事件相互独立n个事件两两独立个事件两两独立2021-12-2316nAAA,21).()()()(2121nnAPAPAPAAAP则有性质：性质：相互独立，2. 设n个事件1. 若n个事件A1, A2, , An (n2) 相互独立，则将A1, A2, , An中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的n个事件仍相互独立.2021-12-2317事件A表示“系统L-R能正常工作”,例例3.3.).)(4321AAAAA用4个元件组成一个系统如图,各个元件能否正常工作是相互独立的, 每个元件的可

10、靠性(正常工作的概率)为p (0p1), 求系统的可靠性.1234LR解解: :设事件Ai表示“第i个元件能正常工作”(i=1,2,3,4),则由于)()(4321AAAA)()(4321AAAAA2021-12-2318则有)()()(4321AAAAPAP)()()(43214321AAAAPAAPAAP)()()()()()()()(43214321APAPAPAPAPAPAPAP.)1 ()1 (242pp所以)(AP)(1AP)1 ()1 (2142pp42)1 ()1 (21pp.)2()1 (1 2222ppp2021-12-2319二、伯努利概型二、伯努利概型则称E为伯努利试验

11、伯努利试验或伯努利概型伯努利概型. 考虑一个简单的试验, 它只出现 (或只考虑) 两种结果, 如某批产品抽样检查得到合格或不合格;射击手命中目标或不命中; 发报机发出信号0或1;掷一次骰子点数“6”是否出现等.一般地, 试验试验E只有两种结果只有两种结果A和和 A，而P(A)=p(0p1),2021-12-23201. n重伯努利概型重伯努利概型将伯努利试验E独立地重复独立地重复进行n次, 我们把这n次独立重复伯努利试验总起来看成一个试验一个试验,称这种试验为n重伯努利试验重伯努利试验(n重伯努利概型重伯努利概型).注：n重伯努利试验有3个特点：(1)每次试验的结果只能是A或A;(2) A在每

12、次试验中出现的概率p保持不变;(3) 各次试验相互独立;2021-12-2321例例4.4.连续抛掷一枚硬币两次，观察正、反面( )5/6P A 出现的情况.2 2重伯努利概型重伯努利概型例例5.5.抛一颗骰子n次，观察是否“出现3点”.n重伯努利概型重伯努利概型A=正面, A=反面且P(A)=1/2,A=出现3点,A=不出现3点分析：分析：且P(A)=1/6，分析：分析：每次试验有2种结果( )1/2P A 每次试验有2种结果又试验独立重复进行n次又试验独立重复进行2次2021-12-23222. 二项概率公式二项概率公式( )kkn-knnP k = C p q,(0,1, ;)k =n

13、q = 1- p定理定理. . 在伯努利概型伯努利概型中, 设事件A在各次试验中A恰好出现k次的概率为发生的概率为P(A)=p (0p1), 则在n次试验中,01.nkkn knkC p q且2021-12-2323证明：AAA在n重伯努利概型中，事件A恰好出现k次：共有Cnk种方式,p k (1-p) n - k = p k q n - k ;AAAAAA;AAAAAk次n-k次k-1次n-k-1次且两两互不相容. 每一种方式发生的概率均为2021-12-2324因此事件A在n次试验中发生k次的概率为由于( ),kkn knnP kC p q0,1, ,1.kn qp 0nkkn knkC

14、p q00110nnnnnnnC p qC pqC p q()npq1.故称此公式为二项概率公式二项概率公式. .2021-12-2325设某种药对某种疾病的治愈率为80%,设Ak表示“恰好有k个人被治愈”, 现有10个患这种疾病的病人同时服用这种药，(2) 至少有6人被治愈的概率。求解：解：例例6. .3. 应用应用(1) 恰有6人被治愈的概率；A6表示“恰好有6个人被治愈”, 据题意分析知,该模型属于10重伯努利模型.)(6AP113. 0466102 . 08 . 0C2021-12-2326设某种药对某种疾病的治愈率为80%,设Ak表示“恰好有k个人被治愈”, )()(1076AAAP

15、AP10610102 . 08 . 0kkkkCA表示“至少有6人被治愈”.由于1076,AAA所以,1076AAAA106)(kkAP现有10个患这种疾病的病人同时服用这种药，(2)至少有6人被治愈的概率。求互不相容， 且.967. 0解：解：例例6(续续). .2021-12-2327内容小结内容小结2. 掌握伯努利概型及二项概率公式, 并熟练利用)()(n,0,1,2,k,qpCkPknkknn1. 理解事件的独立性定义；熟练掌握利用独立性计算事件的概率；)()()(APB|AP0,BP若若)()()(BPAPABP此公式计算事件的概率。2021-12-2328作业作业习题一(28)：2

16、4、26、27、282021-12-2329备用题备用题在下列情况下已知, 8 . 0)(, 5 . 0)(. 1BAPAP: )(BP求.)3(,)2(,) 1 (BABABA；相互独立不相容解: (1) 因为A，B不相容，所以)()()(BPAPBAP3 . 05 . 08 . 0)()()(APBAPBP所以2021-12-2330(2) 因为A，B独立，所以)(5 . 05 . 08 . 0)()()()()(BPBPAPAPBAPBP. 6 . 0)(BPBBABA所以因为,)3(8 . 0)()(BAPBP2021-12-23312. (血型问题血型问题)A, B, AB型的概率分

17、别为0.46，0.40，0.11，0.03.现任选五人，求下列事件的概率：(1) 两个人为O型, 其他三人分别为其他三种血型；(2) 三人为O型, 两人为A型；(3) 没有一个人为AB型；解解：设事件A= “两个人为O型, 其他三人分别为其他三种血型”；事件B=“三人为O型,两人为A型”某国家的统计数据显示，一个人的血型为O,2021-12-2332事件C=“没有一个人为AB型”, 则03. 011. 040. 046. 0)() 1 (2333325ACCAP;0168. 0;1557. 040. 046. 0)()2(2335 CBP.8587. 0)11. 040. 046. 0()()3(5CP2021-12-23333.向单位圆 x2+y2 1内随机地投下3点, 则这3点中恰有2点落在第一象限中的概率为多少？解：“投下的每一点”可看作有两种可能结果：A表示点落在第一象限中;第一象限中,落下3点相当于3重伯努利试验，于是所求概率为139.4464( )(