三角形“四心”与向量的完美结合(精.选)

1、三角形的“四心”与向量的完美结合三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式 一 知识点总结1)O是ABC 的重心 OAOB OC 0 ;O是ABC 的重心，则 S BOC1S AOC S AOB S ABC AOC AOB 3 ABC2)3)OA OB OC 0 ; uuur uuur uuur故uuurPG 31(PA PB PC)3G 为 ABC 的重心 .O是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA ;O是 ABC ( 非直角三角形 ) 的垂心，则 S BOC： S AOC ：S AOBtan A ：tan B：tan C故 tan AOA tan BOB ta

2、n COC 02 O是 ABC 的外心 |OA| |OB| |OC|(或OA2OB2OC )O 是 ABC 的外心则 S BOC：S AOC： S AOB sin BOC ：sin AOC ：sinAOBsin2A : sin 2B : sin2C故 sin 2A OA sin 2BOB sin 2COC 04)O是内心 ABC 的充要条件是OA ( AB AC ) OB ( BA|AB | AC |BA |BBCC|)OCCA(|CA |CCBB |) 0引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记AB , BC, CA 的单位向量为 e1,e2,e3，则刚才 O是 ABC 内心的充要条件可以写成

3、 OA (e1e3 ) OB (e1e2)OC (e2 e3 ) 0O是 ABC 内心的充要条件也可以是aOA bOB cOC若 O是 ABC 的内心，则 S BOC： SBOCAOC： S AOBa：b ：故 aOAbOB cOC 0或sin AOA sin BOBsin COC0 ;uuur uuur| AB|PCuuur uuur uuur uuur r|BC |PA |CA|PB 0 P ABC的内心 ;uuur uuur向量 （ uAuBuruAuCur ）（ 0）所在直线过 ABC的内心 （是 BAC的角平分线所在直线 ）；|AB| | AC|二 范例（ 一 ） 将平面向量与三角形

4、内心结合考查例 1O 是平面上的一定点， A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点 P满足 OP OAAC0, 则 P 点的轨迹一定通过 ABC 的（）A）外心（ B）内心（ C）重心（ D）垂心AB uuur uuur uuur解析：因为 AB 是向量 AB 的单位向量设 AB 与 AC 方向上解析：因为 AB 是向量 AB的单位向量设 AB与AC方向上的单位向量分别为 e1和 e2， 又OP OA AP ，则原式可化为 平分 BAC ，那么在 ABC 中， AP平分 BAC ，则知选 B.AB，首先 AB 是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它AB的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是

5、简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基 本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”（二） 将平面向量与三角形垂心结合考查垂心定理”例 2 H 是 ABC所在平面内任一点，HA HBHB HC HC HA点 H是 ABC的垂心 .由 HA HB HB HC HB (HCHA) 0HB AC 0HBAC,同理 HC AB，HA BC .故H是 ABC的垂心 .反之亦然（证略）例 3.（ 湖南 ）P 是 ABC所在平面上一点，若 PA PBPB PC PC PA，则 P是 ABC的( D )A

6、外心B内心C重心D垂心解析:由 PA PB PB PC得PA PB PB PC 0.即 PB (PA PC) 0,即 PB CA 0则 PB CA,同理 PA BC,PC AB（三） 将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”所以 P 为 ABC 的垂心 . 故选 D.点评： 本题考查平面向量有关运算， 及“数量积为零， 则两向量所在直线垂直”、 三角形垂心定义等相关知识 将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合。例 4 G是 ABC所在平面内一点， GA GB GC =0 点 G 是 ABC的重心 .证明 作图如右，图中 GB GC GE

7、连结 BE和 CE，则 CE=G，B BE=GC BGCE为平行四边形D是 BC的中点， AD为 BC边上的中线将 GB GC GE 代入 GA GB GC =0 ，得 GA EG =0 GA GE 2GD ，故 G是 ABC的重心 . （反之亦然（证略） ）例 5 P是 ABC所在平面内任一点 .G是 ABC的重心PG 同理 OP2· OP3 =OP3 ·OP1 = ，(PA PB PC).3证明 PG PA AG PB BG PC CG 3PG (AG BG CG) (PA PB PC) G是 ABC的重心 GA GB GC =0 AG BG CG =0，即 3PG P

8、A PB PC例 6若O 为ABC 内一点， OAOB OC0 ，则 OA内心B 外心心D 重心uuuruuur uuur r uuuruuuruuur解析：由 OAOB OC 0 得 OBOCOA ，如图以uuur uuur uuuruuur由此可得 PG 1（PA PB PC）. （反之亦然（证略） ）3 uuur uuur uuur r四边形，则 OB OC OD ，由平行四边形性质知 OE它两边上的这个性质，所以是重心，选D。例 7 若 O 为 ABC 内一点，uuurOAuuurOBuuurOC ，则 O 是 ABC 的( )点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平

9、分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点，所分这比为1| P1P2 |=| P2P3 |=| P3P1 |= 3 ，从而 P1P2P3是正三角形 .。本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。（ 四 ） 将平面向量与三角形外心结合考查A内心B 外心C垂心D 重心解析：由向量模的定义知 O到 ABC 的三顶点距离相等。故 O 是 ABC 的外心 ，选 B。 点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。（五） 将平面向量与三角形四心结合考查例 8已知向量 OP1 ， OP2 ， OP3 满足条件 OP1 +

10、OP2 +OP3 =0，| OP1 |=| OP2 |=| OP3 |=1， 求证 P1P2P3是正三角形 . （数学第一册（下） ，复习参考题五 B组第 6题）1证明 由已知 OP1 + OP2 =- OP3 ，两边平方得 OP1 · OP2 = ，即 O 是 ABC所在平面内一点，OP1 +OP2 +OP3 =0且| OP1 |=| OP2 |=| OP3|点O是正P1P2P3的中心 .设 A(0,0) 、B(x1,0)、C(x2,y 2)，例 9在 ABC中，已知 Q、G、H 分别是三角形的外心、 重心、垂心。求证：Q、G、H 三点共线， 且 QG:GH=1:2。 【证明】：以

11、 A为原点， AB所在的直线为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系。D、E、F 分别为 AB、 BC、AC的中点，则有：D(x1 ,0)、E(x1 x222 由题设可设 Q( x1 ,y3)、 y32) uuury22)、F(x22H (x2,y4) ,y22)x1 x 2G( 1 3 2 uuuur AH(x 2,y 4)，QF(x22x1 y 22,2y3)uuurBC (x 2 x1,y 2) uuuur uuurQAH BCuuuur AHuuur ?BCy4x2uuuruuuurQQFACuuuruuuurQF ?ACx2(x2 (x2 x1) y2x1)y2y4y3x (x 2x 2

12、( 2 x2(x 2 x1)2y 2x21)y22y2(y22y3)uuuurQH(x2x121,y4y3)2x22x13x2(x 2x1)2y2uuurQG(x23x1x1y23y 3) (2x 26x1 , y 23(2x 2 x1(63x 2(x 2x1)6y2y 2) 1(2x 26 3 2y22)x2(x 2 x1)x12y23x2(x 2y22)x1)2y2y22)求证OH OA OB OC .1 uuuur = QH3uuuur uuur即QH =3QG ，故 Q、G、H三点共线，且 QG：GH=1： 2【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而

13、借用向量的坐标形 式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起，从而，很多对称、共线、 共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。例 10若 O、H 分别是 ABC的外心和垂心 .证明 若 ABC的垂心为 H，外心为 O，如图 .连 BO并延长交外接圆于 D，连结 AD， CD. AD AB ， CD BC . 又垂心为 H， AH BC ， CH AB ， AHCD，CHAD，四边形 AHCD为平行四边形， AH DC DO OC ，故 OH OA AH OA OB OC . 著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置关系：

14、（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到 外心距离的 2 倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题 .例 11 设 O、 G、H分别是锐角 ABC的外心、重心、垂心 .求证1OG 1OH3证明按重心定理G是 ABC的重心 OG11(OA3OB OC)按垂心定理OH OA OB OC1由此可得 OG OH .3补充练习1已知 A、 B、C是平面上不共线的三点，O是三角形 ABC的重心，动点P满足1 11OP = ( OA+ OB +2OC ), 则点3 22P 一定为三角形 A

15、BC的( B）A.AB 边中线的中点B.AB边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB边的中点1. B 取 AB 边 的 中 点 M， 则 OA1OB 2OM ， 由 OP =3( 1 OA21+ OB +2 OC ) 可 得23OP 3OM 2MC ， MP 2MC ，即点 P 为三角形中 AB边上的中线的一个三等分点，且点P不3过重心，故选 B.uuuuur uuuuuur uuuuuur uuuuur uuuuuur uuuuuur 2 2 2 2 2 2 2在同一个平面上有 ABC及一点满足关系式： OA2 BC 2 OB2 CA2 OC2 AB2 ，则为 ABC 的（ D ）外心 内

16、心 C重心D垂心uuuruuur uuur2已 知 ABC 的三 个顶 点A、 B、C及平 面内 一点 P 满足 ： PAPB PC 0 ， 则 P 为 ABC 的（C )外心 内心 C重心D垂心3已知 O 是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点 P满足：外心 内心C重心 D垂心4已知ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P 满足：uuur uuur PA?PCuuur uuur uuur uuur PA?PB PB?PC0 ，则 P 点为三角形的(D )外心 内心C重心 D垂心5已知ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点uuur P 满足： a PAuuur b PBu

17、uur c?PC0 ，则 P 点为三角形的(B)外心 内心C重心 D垂心6在三角形ABC 中 ，动点P 满足 ：2 CA2CB 2AB?CP， 则 P点轨迹一定通过 ABC的：(B )外心 内心C重心 D垂心)COP OA (AB AC)，则 P的轨迹一定通过 ABC的7. 已知非零向量 AB与AC满足 ( AB + AC )|AB| |AC|ABBC=0 且 |AB|AC 12 ,|AC|则 ABC为( )A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形uuur uuur解析：非零向量与满足 ( uAuBuruAuCur ) ·=0，即角 A的平分线垂直于|AB

18、| |AC |D. 等边三角形BC， AB=AC，又 cosAuuur uuurAB AC 1 uuur uuur =2 ， |AB| | AC | 2m(OA OB OC) ，则实数 m = 1 A= ，所以 ABC为等边三角形，选 D38. ABC的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为H， OH9.点O是三角形 ABC所在平面内的一点，满足 OA OB OBOC OC OA ，则点 O是 ABC 的(B )A)C)三个内角的角平分线的交点三条中线的交点B)D)三条边的垂直平分线的交点三条高的交点10. 如图1，已知点 G 是ABC 的重心，过 G作直线与AB，AC两边分别交于uuuuv uuuvM， N 两点，且 AM xABuuuvANuuuvyAC ，11则 1 1xy3。G是uuuvABC 的重心，知 GAuuuv uuuvGB GCO，uuu