平面向量的数量积和坐标运算复习

1、平面向量的数量积及坐标表示复习（适合高一）教学目的：1 掌握平面向量的数量积及其几何意义；2 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4 掌握向量垂直的条件 .教学重点： 平面向量的数量积定义教学难点： 平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用讲解概念：1两个非零向量夹角的概念已知非零向量 与 ，作 OA ， OB ，则 （ ）叫 与的夹角 .说明：（1）当 时， 与 同向；（ 2）当 时， 与 反向；（ 3）当 时， 与 垂直，记 ；2（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围 0180C特别注意的是三角

2、形中向量的夹角2平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与 ，它们的夹角是 ，则数量| a|b|cos叫与的数量积，记作ab，即有ab= |a|b|cos，（ ） 并规定0 与任何向量的数量积为0.探究：两个向量的数量积与向量同实数积的区别（ 1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.（ 2）两个向量的数量积称为内积，写成两个向量的数量的积，书写时要严格区分也不能用“×”代替.a b；今后要学到两个向量的外积 a× b，而 a 符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，b 是（ 3）在实数中，若能推出 b=0 因为其中acos0

3、，且 ab=0，则有可能为 0.b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不（ 4）已知实数、 (b0)，则ab=bca=c但是a b=bca=ca bc如右图： ab = |a|b|cos= | b|OA| ， bc = |b| c|cos=| b|OA|ab = bc但 ac(5)在实数中，有( ab) c =a( bc) ，但是 ( ab) ca( bc)显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3“投影”的概念：作图定义： | b|cos叫做向量b 在 a 方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为直角时投影为0；

4、当= 0时投影为 | b| ；当= 180为钝角时投影为负值；当时投影为| b|.4向量的数量积的几何意义：数量积 ab 等于 a 的长度与b 在a 方向上投影|b|cos的乘积.5两个向量的数量积的性质：设 a、b 为两个非零向量，e 是与 b 同向的单位向量.1ea =ae =| a|cos2a bab = 0重点！3当 a 与 b 同向时， ab = |a| b| ；当 a 与 b 反向时， a b =| a| b|.特别的 aa = |a| 2或 | a | a a重点！4cos=a b重点！| a | b |5| a b| | a| b|6. 数量积的坐标表示：向量的模（模长公式）设

5、 a2y2或 | a |x 2y2( x, y) ，则有 a x 2平面内两点间的距离公式设 A(x1, y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，则 AB (x2x1 , y2y1 )| AB|(x1 x2 )2( y1y2 ) 2两向量垂直的坐标表示的判断条件设 a( x1 , y1 ) ， b( x2 , y2 ) ，则 a bx1 x2y1 y20两向量的夹角的坐标表示公式设 非 零 向 量 a( x1, y1 ) ， b ( x2 , y2 )，为 a 与 b 的 夹 角 ， 则cosa bx1 x2y1 y2| a | | b |2222x1y1x2y27. 平面向量数量积的运算律

6、 交换律： ab =ba 数乘结合律： (a )b=( a b ) =a ( b ) 分配律： ( a +b )c =ac + bc三、讲解范例：例 1 判断正误（ 易错点） · 0 0； 0· ； · ；若 0，则对任一非零有 ·； ·，则 与 中至少有一个为 0；对任意向量 ， ，都有（·） （· ）； 与是两个单位向量，则 a 2a 2总结： 实数中的好多结论在向量中是不成立的。如： 若 a b0 ，则 a0 或 b0 ；若 a b c b ，且 b0 ，则 ac ；若abab2 ，则；b22 ab abab；2 2

7、(a b)2 a b若 ab ，则 a cb c练习： 1.下列命题中真命题是（）(A)a b0a0或b 0(B)a / ba在b 上的投影为 aaba b2a cb c ab(C)a b(D)2. 下面给出的关系式中正确的个数是（） 0 a 0 a b b a a2a 2 (a b )c a(b c ) a b a b(A) 0(B) 1(C) 2(D) 33. 下列说法中正确的序号是（）一个平面内只有一对不共线的向量可作为基底；两个非零向量平行，则他们所在直线平行；零向量不能作为基底中的向量；两个单位向量的数量积等于零。(A) (B)(C)(D)4. 判断下列各题是否正确（ 1）若 a0

8、，则对任意向量b ，有 a b0（ 2）若 a0 ，则对任意非零量b ，有 a b0（ 3）若 a0 ，且 a b0 ，则 b 0（ 4）若 a b0 ，则 a0 或 b 0（ 5）对任意向量 a 有 a 22a（ 6）若 a0 ，且 a ba c ，则 b c例 2 （易错点）已知ABC中， ， ， °，求BC · CA .总结：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.例 3 （数量积公式的应用）已知 ， ，当 ， ， 与的夹角是 60°时，分别求 · .总结：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是有 0°或 180&#

9、176;两种可能 .0°， 180°，因此，当 时，例4（数量积的坐标表示的应用、模长公式的应用、向量夹角公式）已知a( 1,3)，b( 3, 1) ，求 a b ， | a |，| b |，a 与b 的夹角.练习： 1.若 a( 4,3), b(5,6) ，则 3 | a |24a b2. 若 a(3,1), b( x, 3)，且 ab ，则实数 x3. 若 a (4,2) ，则与 a 垂直的单位向量的坐标是4. 已知向量 a 3,b(1,2) ，且 ab ，则 a 的坐标是 _例 5（投影的概念）若 a (2,3), b( 4,7) ，求 a 在 b 方向上的投影例 6

10、（数量积的性质的应用）若 a 2 1,b 2 2, a b a 0 ， 求 a与b 的夹角练习： 1.若 a1, b2, ca b , 且 ca , 则向量 a 与向量 b 的夹角为 ( )A. 300B.600C.1200D.15002. 已知 a(1,2), b(4, 2) , a与 ( ab) 夹角为, 则 cos.例 7（模与数量积的关系）已知向量 a 3e12e2 , b4e1 e2 ,其中 e1 (1,0), e2 (0,1)求 （） a b ; ab 的值；（ ）a与 b 的夹角12练习： 1. 已知向量 a, b 满足 a6, b4 , 且 a与b 的夹角为 600 , 求 ab 和 a3b .2. 已知 a2, b3, ab7 , 求向量 a 与向量 b 的夹角 .3. 已知 a, b 是两个非零向量, 同时满足abab , 求 a与 ab 的夹角 .4.已知向量 a( 2, 2), b(5, k ) , 若 a b不超过 5, 则 k 的取值范围 ()A.4,6B.6,4C.6,2D. 2,65.已知 a与b 的夹