平面几何四大定理

1、.平面几何四个重要定理四个重要定理 ：梅涅劳斯 (Menelaus)定理（梅氏线）A ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线上有点P、Q、 R，RBPCQAR则 P、 Q、 R 共线的充要条件是1。QPCQARBBCP塞瓦 (Ceva)定理（塞瓦点） ABC 的三边 BC、 CA、 AB 上有点 P、 Q、 R，则 AP、 BQ、ARQBPCQARCR 共点的充要条件是1。PC QARBBPCDC托勒密 (Ptolemy)定理四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。AB西姆松 (Simson)定理（西姆松线）A从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件

2、是F该点落在三角形的外接圆上。DCElBP例题：1 设 AD 是 ABC 的边 BC 上的中线，直线CF交AD 于F。求证： AE2AF 。EDFBAFE【分析】 CEF 截 ABD AEDCBF1（梅氏定理）EDCBFA【评注】也可以添加辅助线证明：过A、B、D 之一作 CF 的平行线。BDC2 过 ABC 的重心 G 的直线分别交AB、 AC 于 E、 F，交 CB.A于 D 。求证： BECF1 。EAFA【分析】连结并延长 AG 交 BC 于 M，则 M 为 BC 的中点。DEG 截 ABM BEAGMD1 （梅氏定理）EAGMDBDGF 截 ACM CFAGMD1 （梅氏定理）FAG

3、MDC BECF = GM (DB DC) = GM2MD =1EAFAAGMD2GMMD【评注】梅氏定理3 D 、 E、 F 分别在 ABC 的 BC、CA、 AB 边上，BDAFCEDCFB， AD 、 BE、 CF 交成 LMN 。EA求 SLMN 。【分析】【评注】梅氏定理FGEDBCAFGEDBMCAFLMENBDCACBA4 以 ABC 各边为底边向外作相似的等腰BCE 、 CAF 、 ABG 。求证： AE 、 BF、CG 相交于一点。【分析】GFBCEAGNM FBLCE【评注】塞瓦定理.5 已知 ABC 中， B=2 C。求证： AC 2=AB 2+AB · BC。

4、DA【分析】过 A 作 BC 的平行线交 ABC 的外接圆于 D ，连结BD 。则 CD=DA=AB ， AC=BD 。由托勒密定理， AC· BD=AD · BC+CD · AB。【评注】托勒密定理CBA36 已知正七边形 A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7 。A 2A4111A 1求证：A1A 3。（第 21 届全苏数学竞赛）A 5A1A2A1A4【分析】A 7A 6A 3A 2A 4A 1A 5【评注】托勒密定理A 7A6A7 ABC 的 BC 边上的高 AD 的延长线交外接圆于P，作EPEAB 于 E，延长 ED 交 AC 延长线于 F。D求证：

5、BC· EF=BF · CE+BE ·CF。BC【分析】FP【评注】西姆松定理（西姆松线）8 正六边形 ABCDEF 的对角线AC 、 CE 分别被内分点M、N 分成的比为 AM ：AC=CN ： CE=k ，且 B、M、N 共线。求 k。（23-IMO-5 ）【分析】CBMNDAEFCBMDOAN【评注】面积法EF9 O 为 ABC 内一点，分别以 da、db 、 dc 表示 O 到 BC、CA、AB 的距离，以 Ra、 Rb、 Rc 表示 O 到 A、 B、C 的距离。求证：（ 1） a·Ra b·db+c ·dc;(2) a&#

6、183;R c·d+b ·d;abc(3) Ra+Rb +Rc 2(da+d b+d c)。B【分析】B.AFOEDCAFLEODCK【评注】面积法10 ABC 中， H 、G 、O 分别为垂心、重心、外心。求证： H 、 G、 O 三点共线，且 HG=2GO 。（欧拉线）【分析】AA【评注】同一法11 ABC 中， AB=AC ，AD BC 于 D， BM、BN 三等分ABC，与 AD 相交于 M、N，延长 CM 交 AB 于 E。求证： MB/NE。【分析】CHGOBCHGODBANEMBDCAN4E51M82736BDC【评注】对称变换.12 G 是 ABC 的重心，

7、以 AG 为弦作圆切 BG 于 G，A延长 CG 交圆于 D 。求证： AG 2=GC ·GD 。【分析】DGBCADGB【评注】平移变换13 C 是直径AB=2的 O 上一点， P 在 ABC 内，若PA+PB+PC 的最小值是7 ，求此时 ABC 的面积 S。【分析】CG'CPABB'CP'P【评注】旋转变换费马点： 已知 O 是 ABC 内一点，任一点，求证：PA+PB+PC OA+OB+OCCABAOB= BOC= COA=120 °； P 是 ABC 内。（O 为费马点）O'C'CP'OOPPABAB.【分析】将CR

8、 (B, 600)C'，OR(B, 600)O'， PR(B, 600 )P'，连结 OO' 、PP'。则 B OO' 、 B PP'都是正三角形。 OO'=OB ， PP' =PB 。显然 BO'C' BOC， BP'C' BPC。由于 BO'C'= BOC=120 ° =180° - BO'O ， A 、 O、 O'、 C'四点共线。 AP+PP'+P'C' AC'=AO+OO'+O

9、9;C'，即 PA+PB+PC OA+OB+OC。14 (95 全国竞赛 ) 菱形 ABCD 的内切圆 O 与各边分别交于 E、F、 G、 H ，在弧 EF 和弧 GH 上分别作 O 的切线交 AB 、 BC、 CD、DA 分别于M 、N 、P、 Q。AQMB求证： MQ/NP。【分析】由AB CD 知：要证 MQ NP，只需证N AMQ= CPN ，A结合 A= C 知，只需证E AMQ CPN AMCP ， AM· CN=AQ ·CP。MAQCNBO连结 AC 、BD ，其交点为内切圆心O 。设MN 与O 切于 K，连结 OE、LOM 、 OK 、 ON 、 O

10、F。记 ABO= ，N MOK= ，KON= ，则FC EOM= ，FON= ，EOF=2 +2 =180 °-2。 BON=90 ° -NOF- COF=90 ° -= CNO= NBO+ NOB= + = AOE+ MOE= AOM又 OCN= MAO ， OCN MAO ，于是 AMAO ，COCN AM ·CN=AO · CO同理， AQ · CP=AO · CO。【评注】15 (96 全国竞赛 )O 1 和 O2 与 ABC 的三边所在直线都相切， E 、 F、G、 H 为切点， EG 、 FH 的延长线交于P。求

11、证： PA BC。O 1【分析】ODPCHQDPGPGHAO 2EBCF.P1 2G3H4O 1O 2A【评注】16 (99 全国竞赛 )如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 平分 BAD 。在 CD 上取一点 E， BE 与 AC 相交于 F，延长 DF 交 BC 于 G。求证： GAC= EAC 。证明：连结 BD 交 AC 于 H 。对 BCD 用塞瓦定理，可得CGBHDE1GBHDEC因为 AH 是 BAD 的角平分线，由角平分线定理，可得 BHAB ，故CGABDE1。HDADGBADEC过 C 作 AB 的平行线交 AG 的延长线于I，过 C作 AD的平行线交AE 的延长线于

12、J。则CG CI,DE AD ，GBABECCJ所以 CIABAD1，从而 CI=CJ 。ABADCJEBDCFADEFBGCADHEFBGCJI又因为 CI/AB， CJ/AD ，故 ACI= - BAC= - DAC= ACJ。因此， ACI ACJ，从而 IAC= JAC，即 GAC= EAC 。已知 AB=AD ， BC=DC ，AC 与 BDAA交于 O，过 O 的任意两条直线EF和GHEE 'E与四边形 ABCD 的四边交于E、 F、 G、GGH 。连结 GF 、EH ，分别交 BD 于 M、N 。 BMONDBMON D求证： OM=ON 。（ 5 届 CMO ）HH&#

13、39;H证明 ：作 EOHS(AC ) E'OH' ，FF则只需证 E' 、M、H' 共线，即 E'H' 、 BO、GF 三线共点。CC.记 BOG= ，GOE'= 。连结 E'F 交 BO 于 K 。只需证 E' GBH 'FK=1（ CevaGBH' FKE '逆定理）。E'GBH'FKS=GBH'FKE'SOE 'GOGBSSOBH 'SOFK =OE'sinOB sinOFOB sinOFsin=1OH 'FS OKE'

14、OE'注：筝形 ：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形。对应于 99 联赛 2： E'OB= FOB ，且 E'H' 、 GF 、 BO 三线共E'点。求证： GOB= H'OB 。G事实上，上述条件是充要条件，且M 在 OB 延长线上时结论仍然成立。证明方法为：同一法。蝴蝶定理 ：P 是 O 的弦 AB 的中点，过 P 点引 O 的两弦 CD 、EF ，连结 DE 交 AB 于 M，连结 CF 交 AB 于 N 。求证： MP=NP 。BMOH'FFHFF'DDOOANPMBANPMBCECGE【分析】 设 GH 为过 P 的直径， FS(GH)F'F，显然 ' O。又 PGH ， PF'=PF 。 PFS(GH )PF'， PAS(GH )PB， FPN= F'PM ，PF=PF' 。又 FF' GH ， AN GH ， FF'AB 。 F'PM+ MDF'= FPN+ EDF'=