平面向量测试题及详解

1、平面向量11 .如图，在矩形OACB中，E和F分别是边 AC和BC的点，满足AC = 3AE, BC= 3BF,若OC一、选择题1已知向量a= (1,1), b= (2, x)，若a + b与4b 2a平行，则实数 x的值为()A2 B. 0C. 1D. 22. 已知点A( 1,0), B(1,3)，向量a= (2k 1,2)，若AB丄a,则实数k的值为()A . 2B. 1C . 1D . 23. 如果向量a= (k,1)与b = (6, k+ 1)共线且方向相反，那么k的值为()1 1A . 3B . 2C . 7D74. 在平行四边形 ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF

2、于H，记AB、BC分别为a 24242424a、b，则 AH = ()A.=aB_a + "bC. ；a + bD. _ab555555555. 已知向量a=(1,1),b= (2,n)，若 |a + b|= a b,贝Un =()A . 3B. 1C . 1D . 36. 已知P是边长为2的正 ABC边BC上的动点，贝U AP (AB + AC)( )A .最大值为8 B.是定值6 C.最小值为2 D .与P的位置有关7. 设a, b都是非零向量，那么命题“a与b共线”是命题“ |a + b|= |a|+ |b|”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D.非充

3、分非必要条件8已知向量 a = (1,2), b = ( 2, 4), |c|= .5，若(a+ b) =号，贝 V a 与 c 的夹角为()A. 30 °B. 60 °C. 120 ° D. 150 °x2 + y2 2x 2y+ 1> 0,9.设O为坐标原点，点 A(1,1)，若点B(x, y)满足1 w x< 2,则OA OB取得最1 w y< 2,大值时，点B的个数是()A . 1B . 2C . 3D .无数10 . a, b是不共线的向量，若 AB =入a+ b, AC = a+ 处(乃，応R),贝U A、B、C三点共线的充

4、 要条件为()A .入=茏=一 1 B .乃=尼=1 C.入入+ 1 = 0D .力茏一 1 = 0=XOE + pOF其中是()53B212 .已知非零向量AB与AC满足AB + AC|AB| |AC|BC= 0AB AC1,且=;，则 ABC的形状为（）|AB| |AC|A .等腰非等边三角形第n卷(非选择题二、填空题等边三角形共90分)13 .平面向量 a与b的夹角为60°, a= (2,0),C .三边均不相等的三角形D .直角三角形|b|= 1，则 |a + 2b|=14 .已知a= (2 +入1), b = (3,为，若a, b为钝角，贝U入的取值范围是 .15 .已知二

5、次函数y= f(x)的图像为开口向下的抛物线，且对任意x R都有f(1 + x)= f(1 x).若向量a = (jm, 1), b=(昕，一2),则满足不等式f(a b)>f( 1)的m的取值范围为 .116.已知向量 a = sin 0, 4，b = (cos 0, 1), c = (2, m)满足 a丄 b 且(a + b) II c,则实数 m =.三、解答题17.已知向量 a = ( cosx, sinx), b= (cosx, . 3cosx)，函数 f(x) = a b, x 0, n (1)求函数 f(x) 的最大值；当函数f(x)取得最大值时，求向量a与b夹角的大小.1

6、8.已知双曲线的中心在原点，焦点Fi、F2在坐标轴上，离心率为.2,且过点(4，. 10).求双曲线方程；若点M(3, m)在双曲线上，求证 mFi MF2 = 0.+ b, b>a.(1)若a>0，写出函数y= f(x)的单调递增区间；若函数y= f(x)的定义域为寺n,值域为2,5，求实数a与b的值.n19. ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，向量 m = (2sinB,2 cos2B), n= (2sin2+?), 1), m± n.(1)求角B的大小；(2)若a= 3, b = 1,求c的值.22 .已知点 M(4,0), N(1,0)，若动点

7、P满足MN MP =6|PN|.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)设过点N的直线l交轨迹C于A, B两点，若-T8 NA NB< 茅 求直线丨的斜率的 取值范围.20.已知向量 a = cos3X, sin3X , b= cos|, sin号，且 x 才,n. (1)求 a b 及|a + b|;平面向量答案(2)求函数f(x)= a b + |a + b|的最大值，并求使函数取得最大值时x的值.21.已知 O)A= (2asin2x, a), OB = (1,2 ,3sinxcosx+1), O 为坐标原点，a* 0，设 f(x) = O)A OB1f f1 2入b, v AH与AF

8、共线且a、"=2a+ 4b.3x+ 11. 解 a+ b= (3, x+ 1), 4b 2a = (6,4x 2), v a+ b 与 4b 2a 平行，二石=4X2，二 x= 2,故选D.2. 解AJB= (2,3), v AB± a,. 2(2k 1) + 3 X 2 = 0,. k= 1 ,二选 B.k= 6入3. 解由条件知，存在实数<，使a= ?b,A (k,1)= (6入(k+ 1)加 二，二k= 3,k+1 = 1故选A.-> 1-> 1 -> ->-> 1-> -> ->4. 解析AF = b + 2a,

9、DE = a qb，设 DH= QE，贝VDH =山? ?b，二AH = AD + DH =扫+1.9. 解析x2 + y2 2x 2y+ 1 > 0,即(x 1)2+ (y 1)2> 1,画出不等式组表示的平面区域如图,办 2b 不共线，1 = 1，二=-,25. 解析v a + b= (3,1 + n), |a + b|= '9+ n+ 1 2= n2+ 2n+ 10,又 a b= 2 + n,v |a + b|= a ,n2+ 2n+ 10 = n + 2，解之得 n= 3，故选 D.6. 解析设 BC 边中点为 D，则 AP (AB+ AC)= AP (2AD) =

10、 2|AP| |AD| cos/ PAD = 2RD|2= 6.7. 解析|a+ b|= |a|+ |b|? a与b方向相同，或a、b至少有一个为 0;而a与b共线包括a与b 方向相反的情形，v a、b都是非零向量，故选B.58. 解析由条件知 |a|= .5 |b|= 25, a+ b = ( 1, 2),. |a + b|= ,：5, v (a+ b) c= ：5X _;5 cos0= 2，其中 B为 a+ b 与 c 的夹角， 0= 60°. va+ b = a,. a+ b 与 a 方向相反,a与c的夹角为120 °1 =入认即a + Ab= ?(Aa + b),由

11、于a, b不共线，根据平面向量基本定理得，消去 入得A A =尼=入1.-f -f -f -f 1 -f -f -f -f -f 1 -f11. 解析OF = OB + BF = OB +OA, OE = OA + AE = OA +rOB ,33相加得 OE + OF = f(OA+ OB) = 4OC, OC=3OE +*OF , + 尸号+彳=_3.-f-f12. 解析根据-AB +_AC E3C = 0知，角A的内角平分线与 BC边垂直，说明三角形是等腰三|AB| |AC|-f -f角形，根据数量积的定义及響-AC = 2可知A= 120°.故三角形是等腰非等边的三角形.|A

12、B| |AC|113. 解析a b = |a| | b|cos60 =2X 1X?= 1, |a + 2b|2= |a|2+ 4|b|2 + 4a b= 4 + 4 + 4X 1= 12, a + 2b|= 2,3.314. 解析v a, b为钝角， a b= 3(2 + ?)+ A= 4H 6<0 , X纟，当a与b方向相反时，3 口、 -A= 3, ?< "2且 3.15. 解析由条件知f(x)的图象关于直线 x= 1对称， f( 1) = f(3), v m> 0, a b = m+ 2 >2, 由 f(a b)>f( 1)得 f(m+ 2)>

13、;f (3), v f(x)在1 , +)上为减函数，二 m+ 2<3,. m<1 ,v m> 0, 0 < m<1.11516.解析v a 丄 b, si n0cos0+ 4= 0, sin 2 0=-，又v a + b = sin 0+ cos 0, ： , (a + b) / c,1(sin 0+ cos 0)2= 1 + sin2 0=?sin 0+ cos 0=55 m(sin 0+ cos 0) = 0,二 m =2 2 sin 0+ cos 0OA OB = x+ y,设x+ y=t，则当直线y= x平移到经过点C时，t取最大值，故这样的点 B有1个

14、，即C点.1 311n17.解析(1)f(x) = a b= cos2x+ , 3sinxcosx=sin2x?cos2x?= sin 2xv x 0 ,12118.解析1 nn2 , a= 3.因此，两向量a与b的夹角为3.(1)解：/ e= 2，可设双曲线方程为 x2 y2= X, 过(4, 10)点，16 10=人 双曲线方程为x2 y2= 6.函数y= f(x)的单调递增区间是kn-n, kn+-n(k Z)3 6n 卄n厂 r7 n 13 nn 厂1 r,(2)x §, n 时,2x+ - 吋, ,sin 2x+石 1,-当 a>0 时,f(x) 2a + b , a

15、 +(2)证明：F1( 2羽,0), F2(2萌，0), MF1 = ( 3 2爭,m), MF2= ( 3 + 2护，一m),MIF1 MlF2= 3 + m2，又 M点在双曲线上，9 m2= 6，即 m2 3= 0, MF 1 MF2= 0,即MF1± MF2.2a + b= 2a = 1a + b= 2b a，得，当 a<0时,f(x) a + b , 2a+ b 得a + b= 5b = 42a+ b= 5a= 1a= 1a= 1综上知，或b = 3b= 3b= 422.解析设动点P(x, y),贝U MP = (x 4,y),MN = ( 3,0), PN= (1 x

16、,y).19.解析(1) / m 丄 n , m = 0, 4sinB2sin2n+ B + cos2B 2= 0,42n 2sinB1 cos + B + cos2B 2= 0, 2sinB + 2sin2b+ 1 - 2sin2B 2= 0,1 n 5 sinB = -,v 0<B<n, B = n或；n.2 6 6由已知得一3(x 4) = 6.1 x 2+ y2，化简得 3x2 + 4y2= 12，得匸 +专=12 2所以点P的轨迹C是椭圆，C的方程为+善=1.(2)由题意知，直线I的斜率必存在，不妨设过 N的直线I的方程为y= k(x 1),设A , B两点的坐标分别为A

17、(X1, y1) , B(x2 , y2). T a= b = 1, a>b,此时 B=方法一：由余弦定理得:b2= a2+ c2 2accosB,. c2 3c+ 2= 0,二 c= 2 或 c= 1.y= k x1 ,由 x2 y2消去 y 得(4k2 + 3)x2 8k2x + 4k2 12= 0.+ = 14 3方法二：由正弦定理得sinB si nA'-1=snA， sinA=h，t 0<A<n， A=評条，2若A=n因为B=n，所以角c=n，边 c= 2;若 A= |n,则角 C = n |n7=-；,33668 k2 x1+ x2= 3 + 4 k2，

18、因为N在椭圆内，所以 >0所以24k2 12X1X2=小2 .3+ 4k2边 c = b,. c= 1.综上 c= 2 或 c= 1.3x x 3x x20.解析(1)a b= coscos sinsin = cos2x, |a+ b| =3x x3x . x ocosy + cos2 2+ sin sin2 2 =因为 NA NB =(X1 1)(x2 1) + y1y2 = (1 + k2)(x1 1)(x2 1) = (1 + k2)x1X2 (X1 + X2)+ 1=(1 + k2)-4k2 12 8k2+ 3+ 4k23+ 4 k29 1 + k23+ 4 k2所以-齐9 1 + k23+ 4k23x x . 3x x n；2 + 2 cos"2"cos2 sinysin =2 + 2cos2x= 2|cosx|, t x 5, n cosx<