20届_(文)_33_推理与证明

1、20届_(文)_3.3推理与证明、解答题。1. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1, 3 , 6, 10,第？个三角形数为 需巴=2? + 2?记第？个？边形数为?(?)(?> 3)，以下列出了 部分？边形数中第？个数的表达式：以下列出了部分？边形数中第？个数的表达式：三角形数？2?3) = 2? + 1?正方形数？?:？?4)= ?,五边形数？2?5) = 3? - ?六边形数?:?6) = 2?字-?可以推测？?？的表达式，由此计算？8,12)=【答案】288【考点】归纳推理【解析】 此题暂无解析【解答】4dQ OA QA. OA. A.原已知式子可化为？2

2、?3)= -?+ 2?=？+？?？?4)= ? = ?+ ？?315-24-56_24-6?(?5) = -? - - ?=? + ？#?6) = 2?- ?=? + ?22 22 2 2由归纳推理可得? = ¥? +竽？故？8,12)= 号 X 82 + 普 X 8 = 288.2. 命题?已知椭圆询+ ?2= 1(?> ?> 0) , ?、？?是椭圆的两个焦点，？为椭圆上的 一个动点，过？?作/ ?的外角平分线的垂线，垂足为？?，则？?的长为定值.类比此命题，在双曲线中也有命题 ?已知双曲线- ?2= 1(?> ?> 0), ?、？?是双曲线的 两个焦点，

3、？为双曲线上的一个动点，过 ？?作/ ?的的垂线，垂足为？?，则?的长定值为.【答案】内角平分线,?【考点】类比推理【解析】此题暂无解析【解答】对于椭圆，延长？?与?的延长线交于？£0r T由对称性知，？?为?？勺中点，且？?= ?,?1从而?/?且 ?= 2 ?而?= ?+ ?= ?+ ?= 2?所以?= ?对于双曲线，过？?作/?内角平分线的垂线，垂足为 ?, 类比可得？?= ?11 1因为?=-?=，（？?. ？?？=亍？2?= ?3. 已知结论：在正 ?，若？?是边？?的中点，？?是厶？?重心，则 丽?= 2 ” .若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体 ?-

4、?,若 ?的中心为？?，四面体内部一点？?到四面体各面的距离都相等”，则?等于（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【考点】类比推理柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】如图，设正四面体的棱长为1，则易知其高？?= J，此时易知点？?即为正四面体内切3球的球心，设其半径为?利用等积法有4 X -?_ - X3 X-6 ? ?= 込,34 34312故？= ? ?=v6v6v63124，故?=迈.迺_4 ' 123: 1 .规律总结：类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性, 有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如

5、等 差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起当然首先是在某些方面 有一定的共性，才能有方法上的类比.4. 若等差数列?勿的首项为?，公差为？前？项的和为？?，则数列鑰为等差数列,且通项为 葺=?+(?- 1)?类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列?专的首项为?，公比为？前？项的积为？?？则数列 为等比数列，通项为【答案】? ?V?,V?= ?(V?"1【考点】类比推理【解析】此题暂无解析【解答】?因为在等差数列?列中前？项的和为？?的通项，且写成了 ?= ?+ (?- 1) ?-'所以在等比数列?中应研究前-项的积为？?勺开-方的形式.等差数列中的求和

6、类比等比数列中的乘积，类比可得：数列?V?为等比数列，通项为?V?5?= ? ?( V?"1 5. 已知 ?的三个内角？ ？-成等差数列，？ ？ ？的对边分别为？ ？ ?求证：113+ =?+? ?+? ?+?+?【答案】证明：要证11_3?+?" ?+?" ?+?+厂“、一 ?+?+?+?+?即证吕+ R?= 3,? ? 也就是丙?+丙?= 1,只需证？?+ ? + ?+ ?=(-打? ?+ ?,需证？+ ? = ? ?，又 ?内角？ ？ ？成等差数列, 故?= 60 °,由余弦定理，得? = ?+ ?- 2?Zos60 °,即? = ?+

7、?_ ?故? + ? = ?成立.于是原等式成立.【考点】类比推理【解析】此题暂无解析【解答】规律总结：综合法和分析法是直接证明常用的两种方法，我们常用分析法寻找解决问 题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候分析法和综合法交替使用.6. 已知?是正数组成的数列，？ = 1，且点(",?+”(?？ ?*)在函数？?=?+ 1的 图象上.求数列?的通项公式； 若数列?满足?= 1, ?+! = ?+ 2?,求证：？办?+2 < ?2?+1.【答案】?= ?证明：由(1)知，？?= ?从而?+1 - ?= 2?= (?- ?-1 ) + (?-1 - ?-2) +?+(?-

8、?) + ?1?=2?-1 + 2?-2 + ? + 2 + 1 = = 2?- 1 .1-2因为?+2 -?2?+1= (2?-1)(2?+2-1) -(2?+1 -1)2= (22?+2-2?+2-2?+ 1)-(22?+2- 2?2?+1 + 1) = -2 ?< 0, 所以?+2 < ?2?+1.【考点】数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】解：由已知得？?+1 = ?+ 1 ,则？?+1- ?= 1，又? = 1,所以数列?扌是以1为首项，1为公差的等差数列.故？?= 1 + (? 1) X 1 = ?略7. 将正整数作如下分组:(1)，(2,3),(4,5,6), (7

9、,8,9,10),(11,12,13,14,15),(16,17,18,19,20,21),(22,23,24,25,26,27,28)分别计算各组包含的正整数的和，如下所示:?=:1,?=2+3=5,?=:4 + 5 + 6 = 15 ,?= 7+ 8+ 9+ 10 = 34,?=：11 + 12 + 13 + 14 + 15 =65 ,?= 16 + 17 + 18 + 19 + 20 +21 =111 ,?=：22 + 23 + 24 + 25 + 26 +27 +28 = 175,试猜测?+ ?+?+? + ?015 =【答案】1008 4【考点】归纳推理数列的应用【解析】此题暂无解析

10、【解答】由题意知，当？?= 1时，?= 1 = 14；当？?= 2 时，?+ ?= 16 = 24 ；当？?= 3时，?+ ?+ ?= 81 = 34；当？?= 4时，?+ ?+ ?+ ? = 256 = 44；猜想：?+ ?+?+? + ?-1 = ?.?+ ?+ ? + ? + ?015 = 1008 4.8. 已知二次函数？?= ?(?的图象经过坐标原点，其导函数为?(?)= 6?- 2，数列?的前？项和为？?？点(?,?讯?？ N?)均在函数？?= ?(?的图象上.求数列?的通项公式；3?设?=莎越,?是数列?孙的前？项和，求使得？?亦对所有？N?都成立的最小正 整数?.【答案】?= 6?- 5(? N?)10【考点】数列的求和导数的运算【解析】 此题暂无解析【解答】 设这二次函数?(?= ?+ ?(背0),则？?(?)= 2?由于？?(?)= 6?- 2 , 得?= 3, ?= -2，所以?(?= 3? - 2?又因为点(?？,？?(?？ ?)均在函数？?= ?(?的图象上, 所以?= 3?- 2?当?> 2 时，？?= ?- ?-1 = (3?2 - 2?)- 3(?- 1)2 - 2(?- 1) = 6?- 5. 当？?= 1 时，？=?= 3 X 12- 2= 6 X 1 - 5,所以，?= 6?- 5(? N?).由(1),知? =3_?+